КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 22-71-00101
НазваниеТеоретико-числовые и вычислительные проблемы для якобианов гиперэллиптических кривых и их приложения
Руководитель Федоров Глеб Владимирович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования "Научно-технологический Университет "СИРИУС" , Краснодарский край
Конкурс №70 - Конкурс 2022 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-103 - Теория чисел
Ключевые слова Гиперэллиптические поля, фундаментальные единицы, S-единицы, функциональные непрерывные дроби, якобиан, точки кручения, дивизоры, группа классов дивизоров, представление Мамфорда, высокопроизводительные вычисления, быстрые алгоритмы
Код ГРНТИ27.15.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и построения фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и построения S-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения (функционального уравнения типа Пелля) с дополнительными условиями на вид уравнения и его решения. Существует глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными S-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного академиком В. П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для мирового математического сообщества многие годы остается недоступным решение проблемы кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Эту проблему можно отнести к важнейшим фундаментальным проблемам теории чисел и алгебраической геометрии. Ей посвящено огромное количество исследований, проводимых с начала XX века.
Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода 2 и 3.
Современное состояние исследований по поставленным проблемам и основные направления мировых исследований описано в серии работ научного коллектива под руководством В.П. Платонова 2015-2021 годов. Далее кратко приведем наиболее важные результаты, полученные нами к настоящему моменту в рамках исследования проблем настоящего проекта.
За последние несколько десятилетий теория функциональных непрерывных дробей стала мощным инструментом в проблеме поиска фундаментальных единиц и в проблеме поиска фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях, не смотря на то, что классическая проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей имеет большую и глубокую историю. Удивительный результат был получен в статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559) для квадратичных расширений, определяемых кубическими многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел Q: за исключением тривиальных случаев с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над Q, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов Q((x)).
Исходя из этого результата была сформулирована гипотеза о классификации эллиптических и гиперэллиптических полей вида L=Q(x)(\sqrt{f}) по признаку перидичности непрерывной дроби элемента \sqrt{f}: для каждого d>2 существует только конечное число свободных от квадратов многочленов f степени не выше d и определенных над Q, с периодическим разложением \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле Q((x)) с точностью до эквивалентности, заданной заменой многочлена f на многочлен a^2f(bx^n) для некоторых натуральных n и рациональных отличных от нуля чисел a, b.
В статье Fedorov G. V. “On the classification problem for polynomials f with a periodic continued fraction expansion of √f in hyperelliptic fields” (Izvestiya. Mathematics. 2021. Vol. 85, no. 5. P. 972–1007) эта гипотеза решена для эллиптических полей (d=3 и d=4), а именно, полностью решена проблема классификации многочленов f, с периодическим разложением √f в непрерывную дробь для эллиптических полей с полем рациональных чисел в качестве поля констант.
В работах Howe E. W. «Genus‐2 Jacobians with torsion points of large order» (Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Т. 47. №. 1. С. 127-135) и Nicholls C. «Descent methods and torsion on Jacobians of higher genus curves» (дис. – University of Oxford, 2018) приведено актуальное состояние множества известных реализуемых порядков кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода 2 над полем рациональных чисел. В статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov “An Infinite Family of Curves of Genus 2 over the Field of Rational Numbers Whose Jacobian Varieties Contain Rational Points of Order 28” (Dokl. Math., 98:2 (2018), 468–471) впервые найдено бесконечное семейство неизоморфных гиперэллиптических кривых рода 2 над полем Q рациональных чисел, якобиевы многообразия которых содержат Q-точки порядка 28. Отметим, что для порядков 27 и 29 на данный момент бесконечных семейств не найдено.
В статьях Platonov V. P., Fedorov G. V. “On s-units for linear valuations and periodicity of continued fractions of generalized type in hyperelliptic fields” (Doklady Mathematics. 2019. Vol. 99, no. 3. P. 277-281), Fedorov G. V. “On the s-units for the valuations of the second degree in hyperelliptic fields” (Izvestiya. Mathematics. 2020. Vol. 84, no. 2. P. 392–435), Fedorov G. V. On fundamental s-units and continued fractions, constructed in hyperelliptic fields by two linear valuations (Doklady Mathematics. 2021. Vol. 103, no. 3. P. 151–156) найдены критерии существования фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях для следующих трех случаев: А) множество S состоит из двух сопряженных линейных нормирований или из бесконечного нормирования и одного конечного несамосопряжённого нормирования первой степени; Б) множество S состоит из двух сопряженных нормирований второй степени; В) множество S состоит из двух различных конечных несамосопряжённых нормирований первой степени. В соответствии с найденными связями о наличии нетривиальных S-единиц в гиперэллиптическом поле и квазипериодическими функциональными непрерывными дробями обобщенного типа указанные результаты позволили сформулировать полное алгоритмическое решение проблемы кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода два.
В статье Fedorov G. V. «On the period length of a functional continued fraction over a number field» (Doklady Mathematics. 2020. Vol. 102. P. 513–517) на основании полного исследования мультипликативной структуры последовательности циклотомических многочленов специального вида найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей в K((1/x)) ключевых элементов вида \sqrt{f}/x^s (s - целое число) гиперэллиптических полей над числовыми полями K. Аналогичные оценки справедливы для длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов, построенных в поле формальных степенных рядов K((x)).
В последнее время проблемы, рассматриваемые в рамках настоящего проекта, получили особую практическую актуальность в связи с активным развитием цифровых технологий, компьютерной техники, высокопроизводительных вычислительных систем, новых криптографических протоколов, интеллектуальных систем защиты информации. Основанием рассматриваемой тематики можно считать классические работы Абеля и Чебышева. В дальнейшем фундаментальные результаты получены в работах E. Artin, B. Mazur, J. Tate, J.-P. Serre, G. Faltings, D. Mumford, D. Cantor, D. Kubert, J. Igusa и др. Среди современных исследований можно отметить значительные достижения научной школы академика В.П. Платонова, а также работы таких авторов как U. Zannier, N. Elkies, E. Flynn, F. Leprevost, H. Ogawa, E. Howe, W. Schmidt, B. Poonen, T. Berry, A. Stein, M. Sadek, A. Poorten и др. Каждый год представляются к защите PhD диссертации на близкие темы (для примера, Z. Scherr, University of Michigan, 2013; K. Daowsud, Oregon State University, 2015; O. Mercert, Scuola Normale Superiore, 2016; F. Malagoli, Universita di Pisa, 2017; C. Nicholls, University of Oxford, 2018).
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ