КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 22-71-00101
НазваниеТеоретико-числовые и вычислительные проблемы для якобианов гиперэллиптических кривых и их приложения
РуководительФедоров Глеб Владимирович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования "Научно-технологический Университет "СИРИУС", Краснодарский край
| Период выполнения при поддержке РНФ | 07.2022 - 06.2024 |
Конкурс№70 - Конкурс 2022 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-103 - Теория чисел
Ключевые словаГиперэллиптические поля, фундаментальные единицы, S-единицы, функциональные непрерывные дроби, якобиан, точки кручения, дивизоры, группа классов дивизоров, представление Мамфорда, высокопроизводительные вычисления, быстрые алгоритмы
Код ГРНТИ27.15.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и построения фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и построения S-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения (функционального уравнения типа Пелля) с дополнительными условиями на вид уравнения и его решения. Существует глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными S-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного академиком В. П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для мирового математического сообщества многие годы остается недоступным решение проблемы кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Эту проблему можно отнести к важнейшим фундаментальным проблемам теории чисел и алгебраической геометрии. Ей посвящено огромное количество исследований, проводимых с начала XX века.
Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода 2 и 3.
Современное состояние исследований по поставленным проблемам и основные направления мировых исследований описано в серии работ научного коллектива под руководством В.П. Платонова 2015-2021 годов. Далее кратко приведем наиболее важные результаты, полученные нами к настоящему моменту в рамках исследования проблем настоящего проекта.
За последние несколько десятилетий теория функциональных непрерывных дробей стала мощным инструментом в проблеме поиска фундаментальных единиц и в проблеме поиска фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях, не смотря на то, что классическая проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей имеет большую и глубокую историю. Удивительный результат был получен в статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559) для квадратичных расширений, определяемых кубическими многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел Q: за исключением тривиальных случаев с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над Q, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов Q((x)).
Исходя из этого результата была сформулирована гипотеза о классификации эллиптических и гиперэллиптических полей вида L=Q(x)(\sqrt{f}) по признаку перидичности непрерывной дроби элемента \sqrt{f}: для каждого d>2 существует только конечное число свободных от квадратов многочленов f степени не выше d и определенных над Q, с периодическим разложением \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле Q((x)) с точностью до эквивалентности, заданной заменой многочлена f на многочлен a^2f(bx^n) для некоторых натуральных n и рациональных отличных от нуля чисел a, b.
В статье Fedorov G. V. “On the classification problem for polynomials f with a periodic continued fraction expansion of √f in hyperelliptic fields” (Izvestiya. Mathematics. 2021. Vol. 85, no. 5. P. 972–1007) эта гипотеза решена для эллиптических полей (d=3 и d=4), а именно, полностью решена проблема классификации многочленов f, с периодическим разложением √f в непрерывную дробь для эллиптических полей с полем рациональных чисел в качестве поля констант.
В работах Howe E. W. «Genus‐2 Jacobians with torsion points of large order» (Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Т. 47. №. 1. С. 127-135) и Nicholls C. «Descent methods and torsion on Jacobians of higher genus curves» (дис. – University of Oxford, 2018) приведено актуальное состояние множества известных реализуемых порядков кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода 2 над полем рациональных чисел. В статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov “An Infinite Family of Curves of Genus 2 over the Field of Rational Numbers Whose Jacobian Varieties Contain Rational Points of Order 28” (Dokl. Math., 98:2 (2018), 468–471) впервые найдено бесконечное семейство неизоморфных гиперэллиптических кривых рода 2 над полем Q рациональных чисел, якобиевы многообразия которых содержат Q-точки порядка 28. Отметим, что для порядков 27 и 29 на данный момент бесконечных семейств не найдено.
В статьях Platonov V. P., Fedorov G. V. “On s-units for linear valuations and periodicity of continued fractions of generalized type in hyperelliptic fields” (Doklady Mathematics. 2019. Vol. 99, no. 3. P. 277-281), Fedorov G. V. “On the s-units for the valuations of the second degree in hyperelliptic fields” (Izvestiya. Mathematics. 2020. Vol. 84, no. 2. P. 392–435), Fedorov G. V. On fundamental s-units and continued fractions, constructed in hyperelliptic fields by two linear valuations (Doklady Mathematics. 2021. Vol. 103, no. 3. P. 151–156) найдены критерии существования фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях для следующих трех случаев: А) множество S состоит из двух сопряженных линейных нормирований или из бесконечного нормирования и одного конечного несамосопряжённого нормирования первой степени; Б) множество S состоит из двух сопряженных нормирований второй степени; В) множество S состоит из двух различных конечных несамосопряжённых нормирований первой степени. В соответствии с найденными связями о наличии нетривиальных S-единиц в гиперэллиптическом поле и квазипериодическими функциональными непрерывными дробями обобщенного типа указанные результаты позволили сформулировать полное алгоритмическое решение проблемы кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода два.
В статье Fedorov G. V. «On the period length of a functional continued fraction over a number field» (Doklady Mathematics. 2020. Vol. 102. P. 513–517) на основании полного исследования мультипликативной структуры последовательности циклотомических многочленов специального вида найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей в K((1/x)) ключевых элементов вида \sqrt{f}/x^s (s - целое число) гиперэллиптических полей над числовыми полями K. Аналогичные оценки справедливы для длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов, построенных в поле формальных степенных рядов K((x)).
В последнее время проблемы, рассматриваемые в рамках настоящего проекта, получили особую практическую актуальность в связи с активным развитием цифровых технологий, компьютерной техники, высокопроизводительных вычислительных систем, новых криптографических протоколов, интеллектуальных систем защиты информации. Основанием рассматриваемой тематики можно считать классические работы Абеля и Чебышева. В дальнейшем фундаментальные результаты получены в работах E. Artin, B. Mazur, J. Tate, J.-P. Serre, G. Faltings, D. Mumford, D. Cantor, D. Kubert, J. Igusa и др. Среди современных исследований можно отметить значительные достижения научной школы академика В.П. Платонова, а также работы таких авторов как U. Zannier, N. Elkies, E. Flynn, F. Leprevost, H. Ogawa, E. Howe, W. Schmidt, B. Poonen, T. Berry, A. Stein, M. Sadek, A. Poorten и др. Каждый год представляются к защите PhD диссертации на близкие темы (для примера, Z. Scherr, University of Michigan, 2013; K. Daowsud, Oregon State University, 2015; O. Mercert, Scuola Normale Superiore, 2016; F. Malagoli, Universita di Pisa, 2017; C. Nicholls, University of Oxford, 2018).
Ожидаемые результаты
В данном проекте мы продолжим исследования, широко развитые научным коллективом под руководством В.П. Платонова. Мы собираемся существенно улучшить и углубить предложенные ранее идеи, обобщить и систематизировать их, предложить новые методы и новые эффективные алгоритмы. Мы планируем получить большие продвижения в проблеме ограниченности степеней фундаментальных S-единиц, проблеме поиска новых фундаментальных S-единиц, проблеме кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и их связи с функциональными непрерывными дробями.
В рамках настоящего проекта планируется продолжить исследование проблемы описания эллиптических полей с периодическим разложением \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле K((x)), где поле K является расширением поля рациональных чисел степени 2. Мы рассчитываем получить полное решение этой задачи над квадратичными числовыми полями K, тем самым доказать приведенную гипотезу для эллиптических полей над квадратичными полями констант.
В качестве второго результата настоящего проекта мы планируем получить результаты об описании возможных длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов эллиптических полей над квадратичными числовыми полями. Этот результат даст ответ в случае квадратичных числовых полей на вопрос, поставленный Шинцелем в статье 1961 года о возможных длинах периодов непрерывных дробей в эллиптических полях.
Наши исследования невозможны без высокопроизводительных вычислений с использованием параллельного и распределенного программного подхода. На основе программной реализации наших новых алгоритмов мы планируем найти новые примеры, демонстрирующих практическую сторону основных полученных результатов, а также имеющих собственный интерес. Мы рассчитываем, что в результате работы высокопроизводительных компьютерных вычислений, будут найдены новые примеры гиперэллиптических полей рода два над полем рациональных чисел, группа классов дивизоров степени ноль которых имеет кручение, порожденное эффективными дивизорами второй степени.
Важность и актуальность рассматриваемых проблем среди современных математических исследований подчеркивается огромным количеством публикаций, проводимых с начала XX века и посвященных данной тематике. Сформулированные проблемы важны и актуальны в мировом научном пространстве. В последние годы рассматриваемые задачи вызывают особенно живой интерес у ведущих специалистов в современных областях математики в связи с развитием новых теоретико-числовых и алгебро-геометрических подходов к их решению.
Результаты теоретических и практических исследований могут быть использованы в криптографии в вопросах исследования стойкости существующих криптосистем и при создании новых криптографических протоколов, а также в разделе защиты информации финансовой математики, в том числе в перспективных системах распределенного реестра, на основе которых могут быть реализованы новые семейства цифровых финансовых активов.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В рамках проекта продолжена работа на стыке четырех актуальных проблем современной алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии: проблема существования в гиперэллиптическом поле L нетривиальных S-единиц специального вида, проблема квазипериодичности непрерывных дробей квадратичных иррациональностей, проблема решения норменного уравнения (функционального уравнения типа Пелля) и проблема кручения в группе классов дивизоров степени ноль поля L. Последняя проблема эквивалентна наличию точки конечного порядка в якобиевом многообразии гиперэллиптической кривой, соответствующей гиперэллиптическому полю L. Ввиду тесной связи этих проблем, продвижение в одной из них оказывает существенное влияние на остальные указанные проблемы, а также в целом на рассматриваемую тематику.
История рассматриваемой области уже насчитывает более 200 лет (начиная с работ Абеля и Чебышева), но в последние 30 лет мы видим существенное развитие, продиктованное появившимся вычислительным инструментам с использованием компьютерных технологий и систем компьютерной алгебры. Современные исследования все чаще используют теоретические изыскания, подкрепленные компьютерными вычислениями, особенно в тех проблемах, когда удается сформулировать задачу конечного перебора или, когда проблема сводится к объемным (в том числе символьным) вычислениям. Рассматриваемая тематика как раз имеет такой характер.
В конце 1980-ых годов Коблиц предложил использовать в криптографии групповую структуру точек на эллиптических кривых, и групповую структуру группы классов дивизоров степени ноль над конечным полем. В дальнейших исследованиях было показано, что криптосистемы, основанные на проблеме дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой и в группе классов дивизоров, могут иметь эффективную реализацию с точки зрения хранения ключей и проведения вычислительных операций.
В рамках настоящего проекта продолжены исследования, широко развитые за последние 15 лет научным коллективом под руководством В.П. Платонова. В 2018 году был сформулирован концептуальный вопрос о классификации эллиптических полей над числовыми полями по свойству периодичности непрерывных дробей ключевых элементов. В числовом случае хорошо известна теорема Лагранжа, в которой утверждается, что непрерывная дробь квадратичной иррациональности всегда периодическая. В функциональном случае над полями характеристики ноль это не всегда так: в одном функциональном поле могут содержаться как периодические элементы (с периодической непрерывной дробью), так и квазипериодические (периодические с точностью до константного множителя), и даже неквазипериодические элементы. Однако, в 2016 году Цаньер показал, что, не смотря на возможное отсутствие периодичности (или квазипериодичности), последовательность степеней неполных частных периодична в любом случае.
В качестве первого результата проекта за отчетный период для всех квадратичных числовых полей K найдено описание определенных над K свободных от квадратов многочленов f(x) степени 4 таких, что \sqrt{f} имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов K((x)), а эллиптическое поле L = K(x)(\sqrt{f}) обладает фундаментальной S-единицей степени m, не превосходящей 12. Здесь множество S состоит из двух сопряженных неэквивалентных нормирований, определенных на поле L, и связанных с униформизующей x поля K(x). В указанной работе доказано, что приведенным условиям удовлетворяют ровно 14 троек [m, f(x), K], где K --- базовое поле, f(x) --- многочлен, определяющий эллиптическое поле, m --- степень соответствующей фундаментальной S-единицы. В указанном случае ([K:Q] \le 2, m \le 12, m \ne 11, \deg f \le 4) этот результат доказывает гипотезу, сформулированную в 2021 году, о том, что с точностью до естественного отношения эквивалентности существует лишь конечное число свободных от квадратов многочленов f(x) c периодическим разложением \sqrt{f} в непрерывную дробь в K((x)).
В качестве второго результата проекта продолжено исследование свойства периодичности ключевых элементов в полях L = K(x)(\sqrt{f}), но уже в случае, когда нет ограничений на степень многочлена f. Задача заключается в поиске последовательностей многочленов f_n(x) степени n таких, что разложение \sqrt{f_n} в непрерывную дробь, построенную в поле формальных степенных рядов K((x)), периодично. Эта задача родственна задаче о поиске последовательностей многочленов f_n(x) степени n таких, что якобиево многообразие соответствующей гиперэллиптической кривой C: y^2 = f_n(x) содержит точки конечного порядка, зависящего от n. В такой постановке в последние 30 лет исследования проводились, например, в работах Флина, Лепровоста, Хоу, Пунена, Элкиса, Огавы, Николсона, Мак Мюллена и др. За последние 5 лет защищены несколько PhD диссертаций, развивающих данную проблематику.
В 2017 году В.П. Платоновы и Г.В. Федоровым были впервые построены 3 последовательности многочленов f_n(x) степени n, n \ge 3, определенных над Q, таких, что разложение \sqrt{f_n} в непрерывную дробь, построенную в поле формальных степенных рядов Q((x)), периодично. В ходе работы над проектом найдено 2 новые последовательности многочленов f_n(x), n \ge 5, обладающих указанными выше свойствами. Построенные многочлены f_n(x) определены над полями K, [K:Q] = g, где g = [(n-1)/2] --- род соответствующей гиперэллиптической кривой C: y^2 = f_n(x). При этом, соответствующие якобианы J_n содержат точки конечного порядка n+2 и 2n-2 соответственно для первой и второй последовательности.
Третий результат, полученный за отчетный период, относится к новым верхним оценкам на длины возможных периодов и квазипериодов функциональных непрерывных дробей над числовыми полями. Для ключевых элементов найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями K, зависящие только от рода g гиперэллиптического поля, степени расширения k = [K:Q] и порядка m подгруппы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.
В качестве одного из интересных следствий из основных результатов отметим следующее. Оказывается, для фиксированной неособой гиперэллиптической кривой, определенной над числовым полем K, существует лишь конечное число обобщенных якобианов, ассоциированных с определенными над K модулями ограниченной степени и с непустой подгруппой K-точек кручения.
В ходе описанных исследований активно использовались компьютерные вычисления, которые во многом помогли сформировать интуицию для дальнейших строгих теоретических доказательств, а также позволили найти множество примеров, демонстрирующих не только справедливость и точность полученных результатов, но и позволивших выявить некоторые особенности, которые могут лечь в основу дальнейших исследований.
Полученные в отчетный период результаты носят фундаментальный характер, являются современными, актуальными и востребованными в прикладных направлениях. Находясь на стыке разных математических областей, наши исследования естественным образом дополняются компьютерными вычислениями, без которых были бы невозможны доказательства ряда наших результатов и поиск соответствующих примеров.
Публикации
1. Федоров Г.В. О последовательностях многочленов f с периодическим разложением √ f в непрерывную дробь Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, № 2, с. 25-30 (2024 г.) (год публикации - 2023) https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-3
2. Федоров Г.В. Об оценках длин периодов функциональных непрерывных дробей над алгебраическими числовыми полями Чебышевский сборник, - (год публикации - 2023)