Границы глобальной устойчивости и анализ скрытых колебаний: теория и приложения

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00172

НазваниеГраницы глобальной устойчивости и анализ скрытых колебаний: теория и приложения

Руководитель Кузнецов Николай Владимирович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-315 - Теория колебаний и устойчивость движения

Ключевые слова нелинейная динамика, скрытые колебания, глобальная устойчивость, регулярная и хаотическая динамика, системы управления, фазовая автоподстройка, дифференциальные включения

Код ГРНТИ28.00.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Математическое моделирование динамики и определение устойчивости в технических системах является актуальнейшим направлением в научном и технологическом развитии любого государства, которое стремится занять лидирующие позиции в современном мире. Изучение предельных динамических режимов (аттракторов) и устойчивости необходимо в широко известных классических теоретических и в актуальных практических задачах (16-ая проблема Гильберта о числе предельных циклов двумерных полиномиальных систем, эффект Зоммерфельда - застревание частоты вращения, задача Андронова-Вышнеградского - о глобальной устойчивости регулятора с разрывной нелинейной характеристикой, гипотезы Айзермана и Калмана - о синтезе глобально устойчивых нелинейных систем управления, гипотеза Игана - о глобальной устойчивости систем фазовой автоподстройки и другие). Границы глобальной устойчивости в пространстве параметров системы определяются либо локальными бифуркациями в фазовом пространстве (тривиальные участки границы, для анализа которых хорошо развиты аналитические методы), либо нелокальными бифуркациями (скрытые участки границы, связанные с рождением скрытых колебаний). При этом, различные гипотезы о глобальной устойчивости по первому приближению предполагают наличие только тривиальных границ глобальной устойчивости. В практических задачах часто важным является определение границ устойчивости, связанных с переходом от глобальной устойчивости стационарного множества к рождению в фазовом пространстве системы нетривиальных (колебательных) аттракторов. На практике переход состояния системы к скрытому аттрактору, вызванный внешними возмущениями, часто приводит к нежелательным режимам работы систем управления и оказывается причиной аварий и катастроф. Внутренняя оценка границ глобальной устойчивости может быть получена с помощью достаточных критериев глобальной устойчивости, а внешняя оценка требует развития аналитических и численных методов для выявления аттракторов и изучения локальных и нелокальных сценариев рождения колебаний. При этом для практических задач анализа и синтеза динамических моделей часто требуется точная оценка границ глобальной устойчивости и анализ зазора между имеющимися достаточными условиями глобальной устойчивости и необходимыми (линейными) условиями устойчивости. Современный этап развития теории глобальной устойчивости, теории робастного управления, теории бифуркаций и новые вычислительные технологии позволили по-новому взглянуть на такие задачи, что привело к появлению теории скрытых колебаний, ставшей современным этапом развития теории колебаний А.А. Андронова (http://apcyb.spbu.ru/wp-content/uploads/2020-rus-TISURAN-Theory-hidden-oscillations-Control-systems.pdf ). Основой теории скрытых колебаний стала новая классификация колебаний как самовозбуждающихся или скрытых. В то время как самовозбуждение колебаний может быть эффективно исследовано численно при моделировании системы с начальными данными из окрестности неустойчивых состояний равновесия, выявление скрытых колебаний, область притяжения которых не связана с состояниями равновесия, является нетривиальной задачей и требует соединения численных и аналитических методов. Эта теория оказалась востребована во многих теоретических и актуальных инженерных задачах, в которых скрытые аттракторы (их отсутствие или наличие и расположение) играют важную роль. За последние годы теория скрытых колебаний привлекла большое внимание мирового научного сообщества [1-6]. Особую трудность представляет анализ сценариев рождения колебаний и выявление скрытых аттракторов в моделях с разрывными и/или периодическими характеристиками, где глобальный аттрактор может содержать как континуум состояний равновесия (в случае разрывной характеристики), так и вообще не содержать состояний равновесия (в случае периодической характеристики и цилиндрического фазового пространства, как, например, в ряде моделей с эффектом Зоммерфельда и фазовой автоподстройки). Данный проект будет направлен на развитие аналитико-численных методов анализа границ глобальной устойчивости и выявления скрытых колебаний. В основном фокусе проекта будет анализ систем с разрывными и периодическими характеристиками. 1. X. Wang, N.V. Kuznetsov, G. Chen (Eds.) Chaotic Systems with Multistability and Hidden Attractors, Springer, 2021 (https:/dx.doi.org/10.1007/978-3-030-75821-9) 2. N.Kuznetsov, The Theory of Hidden Oscillations and Stability of Dynamical Systems, Workshop on Applied Mathematics, 2021 (VSB Technical University of Ostrava) [https://www.youtube.com/watch?v=l1hI2U-Bl28] 3. Кузнецов Н.В., Пленарный доклад “Теория скрытых колебаний и глобальная устойчивость систем управления”, Осенние математические чтения в Адыгее (4th International Academic Conference “Autumn Mathematical Readings in Adygea”), 2021 (https://www.youtube.com/watch?v=-u5vZ8xUC-w) 4. Kuznetsov N.V., Plenary lecture (Afraimovich award) “The theory of hidden oscillations and stability of dynamical systems”, 2nd Online Conference on Nonlinear Dynamics and Complexity, 2021 (https://www.youtube.com/watch?v=WbfXz4iBN0I) 5. Кузнецов Н.В., Пленарный доклад “Развитие математических методов анализа и синтеза систем фазовой автоподстройки: 2018-2021”, 14-я Мультиконференция по проблемам управления, 2021, Дивноморское [https://www.youtube.com/watch?v=EU0a_n8KzBU] 6. Kuznetsov N.V., Plenary lecture “Global stability boundary, hidden oscillations, and non-equilibrium dynamics in models with cylindrical phase space: PLL and Sommerfeld effect”, Dynamics in Siberia, 2021 [http://www.math.nsc.ru/conference/ds/2021/PROGRAM.pdf] (http://math.nsc.ru/conference/ds/2021/talks/Kuznetsov.pdf)

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Зайцева Ю.С., Андриевский Б.Р., Кузнецов Н.В., Попов А.С. Identification of Human Operator Model Parameters in System with Saturated Actuator IFAC-PapersOnLine, Volume 55, Issue 7, 2022, Pages 526-531 (год публикации - 2022)
10.1016/j.ifacol.2022.07.497

2. Андриевский Б.Р., Зайцева Ю.С., Кузнецов Н.В., Кудряшова Е.В., Кузнецова О.А. Random search Optimization Approach for Modeling Human-Machine Systems Proceedings - 2022 International Russian Automation Conference, RusAutoCon 2022, pp. 267–271 (год публикации - 2022)
10.1109/RusAutoCon54946.2022.9896330

3. Андриевский Б.Р., Зайцева Ю.С., Кузнецов Н.В., Кудряшова Е.В., Кузнецова О.А. Adaptive Suppression of Wing Flutter Under Actuator Saturation and Time Sampling IFAC-PapersOnLine, Volume 55, Issue 12, 2022, Pages 689-694 (год публикации - 2022)
10.1016/j.ifacol.2022.07.392

4. Зайцева Ю.С., Кузнецов Н.В., Андриевский Б.Р. Identification of Human Model Parameters for the Man-Machine Control Systems Design 8th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT), pp. 972-977 (год публикации - 2022)
10.1109/CoDIT55151.2022.9804146

5. Зайцева Ю.С., Андриевский Б.Р., Кузнецов Н.В., Шестаков И. Application of Optimization Method for Identifying Human Operator Model Parameters IFAC-PapersOnLine, Volume 55, Issue 16, 2022, Pages 370-375 (год публикации - 2022)
10.1016/j.ifacol.2022.09.052

6. Зайцева Ю.С., Андриевский Б.Р., Кузнецов Н.В., Попов И. Simulation of Remote Manipulator Control System with Saturated Actuator IFAC-PapersOnLine, Volume 55, Issue 10, 2022, Pages 2980-2985 (год публикации - 2022)
10.1016/j.ifacol.2022.10.185

7. Кузнецов Н.В., Андриевский Б.Р., Зайцева Ю.С., Кудряшова Е.В., Кузнецова О.А. Discrete-time Adaptive Control of Pneumatic Actuators for 6-DoF Stewart Platform IFAC-PapersOnLine, Volume 55, Issue 10, 2022, Pages 2803-2808 (год публикации - 2022)
10.1016/j.ifacol.2022.10.155

8. Зайцева Ю.С., Андриевский Б.Р., Кузнецов Н.В. Application of Nonlinear Correction Method for Attitude Control and Landing Oscillations Prevention IFAC-PapersOnLine, Volume 55, Issue 29, 2022, Pages 37-42 (год публикации - 2022)
10.1016/j.ifacol.2022.10.228

9. Кузнецов Н.В., Благов М.В., Лобачев М.Ю., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. The conservative lock-in range for PLL with lead-lag filter and triangular phase detector characteristic 8th International Conference on Control, Decision and Information Technologies (CoDIT), pp. 1076-1081 (год публикации - 2022)
10.1109/CoDIT55151.2022.9804049

10. Аникушин М.М., Романов А.О. Hidden and unstable periodic orbits as a result of homoclinic bifurcations in the Suarez-Schopf delayed oscillator and the irregularity of ENSO Physica D: Nonlinear Phenomena (год публикации - 2022)
10.48550/arXiv.2102.11711

11. Аникушин М.М. Nonlinear semigroups for delay equations in Hilbert spaces, inertial manifolds and dimension estimates Differential Equations and Control Processes, № 4, 47р. (год публикации - 2022)

12. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В., Тавазоей М.С. The Gardner problem on the lock-in range of second-order type 2 phase-locked loops IEEE Transactions on Automatic Control, 68(12), 7436-7450 (год публикации - 2023)
10.1109/TAC.2023.3277896

13. Аникушин М.М. Frequency theorem and inertial manifolds for neutral delay equations Journal of Evolution Equations, 66 (год публикации - 2023)
10.1007/s00028-023-00915-w

14. Ян Ю., Хуан Л., Кузнецов Н.В., Чай Б., Го Ц. Generating Multiwing Hidden Chaotic Attractors With Only Stable Node-Foci: Analysis, Implementation and Application IEEE Transactions on Industrial Electronics, 71(4), 3986 - 3995 (год публикации - 2023)
10.1109/TIE.2023.3273242

15. Ван Н., Сюй Д., Кузнецов Н.В., Бао Х., Чэнь М., Сюй Ц. Experimental observation of hidden Chua’s attractor Chaos, Solitons and Fractals, 170, 113427 (год публикации - 2023)
10.1016/j.chaos.2023.113427

16. Ян Ю., Хуан Л., Кузнецов Н.В., Лай Ц. Design and Implementation of Grid-Wing Hidden Chaotic Attractors With Only Stable Equilibria IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, 1-13 (год публикации - 2023)
10.1109/TCSI.2023.3312489

17. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. On the pull-in and hold-in ranges of type 1 PLL with piecewise-linear phase detector characteristic IFAC-PapersOnLine, Volume 56, Issue 2, Pages 6411-6416 (год публикации - 2023)
10.1016/j.ifacol.2023.10.843

18. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Bifurcation Analysis of the Boundary of Global Stability of Type 1 PLL 2023 European Control Conference (ECC), pp. 1-6 (год публикации - 2023)
10.23919/ECC57647.2023.10178377

19. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Мокаев Т.Н. Hidden boundary of global stability in a counterexample to the Kapranov conjecture on the pull-in range Doklady Mathematics, 108(4):300–308 (год публикации - 2023)
10.1134/S1064562423700898

20. Алексеева Т.А., Дип К.Б., Кузнецов Н.В., Зелинка И. Forecasting and stabilizing chaotic regimes in two macroeconomic models via artificial intelligence technologies and control methods Chaos, Solitons and Fractals, 170, 113377 (год публикации - 2023)
10.1016/j.chaos.2023.113377

21. Кузнецов Н.В., Мокаев Т.Н., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П., Станкевич Н.В., Чуа Л. Hidden attractors in Chua circuit: mathematical theory meets physical experiments Nonlinear Dynamics, 111, 5859–5887 (год публикации - 2023)
10.1007/s11071-022-08078-y

22. Андриевский Б., Кузнецов Н., Кудряшова Е., Кузнецова О., Зайцева И. Signal-parametric Discrete-time Adaptive Controller for Pneumatically Actuated Stewart Platform Control Engineering Practice, Volume 138, 105616 (год публикации - 2023)
10.1016/j.conengprac.2023.105616

23. Алексеева Т.А., Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Юлдашев М.В., Юлдашев Р.В. Nonlinear analysis of SRF-PLL: hold-in and pull-in ranges in Recent Developments in Model-based and Data-driven Methods for Advanced Control and Diagnosis Studies in Systems, Decision and Control, Switzerland: Springer Nature, 467, 225–234 (год публикации - 2023)
10.1007/978-3-031-27540-1_20

24. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю. Анализ разрывных моделей фазовой автоподстройки Сборник научных трудов XIV Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2024) – М.: ИПУ РАН, М.: ИПУ РАН, 2024. – стр.797- 801 (год публикации - 2024)

25. Ян Ю., Хуан Л., Юй С., Кузнецов Н.В., Лай Ц. Generating Multi-Wing Hidden Hyperchaotic Attractors With a Single Stable Equilibrium IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs ( Volume: 71, Issue: 4, April 2024) (год публикации - 2024)
10.1109/TCSII.2023.3335096

26. Кузнецов Н.В., Лобачев М.Ю., Кудряшова Е.В., Кузнецова О.А. Exact lock-in range for a second-order PLL with discontinuous sawtooth phase detector characteristic IEEE 2024 6th International Conference on Circuits and Systems (ICCS) (год публикации - 2024)

27. Аникушин М.М., Романов А.О. On the recent progress in effective dimension estimates for delay equations Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, 2024, 1, страницы 22–46 (https://doi.org/10.21638/11701/spbu35.2024.103) (год публикации - 2024)
10.21638/11701/spbu35.2024.103

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Проект направлен на развитие математического моделирования динамики и определения устойчивости в технических системах. В рамках третьего этапа продолжена работа над дальнейшим развитием эффективных аналитико-численных методов анализа границ глобальной устойчивости и возникновения скрытых колебаний, в том числе для системы с разрывными и периодическими характеристиками. Эти методы позволят продвинуться в решении ряда широко известных задач, а также провести анализ и синтез актуальных прикладных динамических моделей с заданными свойствами устойчивости и наличия колебаний. Среди результатов, полученных в рамках реализации третьего этапа проекта, можно выделить следующие основные результаты. Разработан обобщенный критерий Бендиксона для уравнений с запаздыванием в частотной области. Развиты аппроксимационные схемы для проверки частотных неравенств в компьютерных экспериментах. Разработан функционально-аналитический аппарат для исследования проблемы квадратичного регулятора в случае бесконечномерных нестационарных задач с использованием операторов типа Ляпунова-Перрона, связанных с не возмущенными гамильтоновыми системами. Доказано существование и неколебательность соответствующих лагранжевых расслоений, возникающих в условиях принципа пространственного усреднения Дж. Малле-Паре и Дж.Р. Селла из теории инерциальных многообразий. Получено точное решение задачи Гарднера о полосе быстрого захвата в системе ФАПЧ с разрывной правой частью. Показано, что в системе существуют скользящие режимы и присутствует неединственность траекторий, с помощью разрывной функции Ляпунова была доказана глобальная устойчивость. Исследован вопрос о порождаемости динамических систем дифференциальными и разностными уравнениями дробного порядка с дробным оператором Капуто. Предложен алгоритм расчета траекторий систем дробного порядка в дискретном случае, реализован алгоритм расчета конечно-временных показателей Ляпунова для временных рядов динамических систем. Предложенные алгоритмы применены к системам дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях с самовозбуждающимися и скрытыми аттракторами. Исследована задача аналитической и численной идентификации границ глобальной устойчивости комплекснозначной системы Лоренца. Для внутренней оценки границы используется математический аппарат функций Ляпунова для получения аналитического критерия отсутствия нетривиальных самовозбуждающихся и скрытых колебаний. Для расширения внутренней оценки границы проведена аналитико-численная процедура, позволяющая выявить практическую оценку границы глобальной устойчивости и проанализировать возможное возникновение скрытых аттракторов и переходных хаотических множеств (transient chaotic sets). Предложен эффективный метод, основанный на введении специального управления переключателем усиления смещения (offset boosting switch) с пилообразной волновой функцией, для генерации сложных "мультикрылых" (multi-wing) скрытых гиперхаотических аттракторов. Работа метода продемонстрирована на примере четырехмерной модифицированной системы Вэя с одним устойчивым состоянием равновесия типа узел-фокус. Основные результаты третьего этапа проекта обсуждались на пленарных докладах и приглашенных лекциях: Plenary lecture "Hidden attractors and global stability in theoretical problems and engineering applications", 16th International Conference "Intelligent Systems" (INTELS’24, 2-4 декабря, Москва); "Математические проблемы прогнозирования динамики систем управления: скрытые колебания, мультиустойчивость, техногенные катастрофы", Шестая школа молодых ученых «Мониторинг природных и техногенных систем» (28-29 ноября, Пермь); "Скрытые аттракторы и границы глобальной устойчивости", Всероссийская научная конференция "Моделирование и экспериментальные исследования динамики сложных систем" (14-16 ноября, Нижний Новгород); "Global stability boundary and hidden attractors in the phase-locked loops models", International Conference on Nonlinear Science and Complexity (5-10 August, Yibin, China) [https://nsc2024.nscconf.org/ ]; "Global stability boundary and hidden attractors in the phase-locked loops models", Seminar on nonlinear dynamics at the Key Laboratory of Intelligent Analysis and Decision on Complex Systems, Chongqing University of Posts and Telecommunications (3 August, Chongqing, China); "Рождение теории глобальной устойчивости и теории скрытых колебаний: труды членов Академии наук", Заседание секции теоретической механики им. проф. Н.Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме ученых (14 февраля, Санкт-Петербург).

Публикации

Возможность практического использования результатов
Разработанные методы достоверного численного анализа и моделирования динамики имеют потенциал влияния на экономическую и социальную сферу. Этому способствовал большой опыт взаимодействия в проекте команды исполнителей с представителями промышленности. Создание и развитие теории скрытых колебаний позволило продвинуться в решении ряда известных фундаментальных задач и, кроме того, оказалось широко востребованным для актуальных прикладных исследований. В том числе полученные в проекте результаты могут быть использованы при разработке импортозамещающих программных продуктов для математического моделирования и проектирования ряда прикладных систем, например, проектирования систем фазовой синхронизации.