Математики решили одну из ключевых проблем теории управления фазовой синхронизацией

Фазовая подстройка частоты широко используется в распределенных компьютерных архитектурах, современных телекоммуникациях, системах глобальной навигации и многих других приложениях. Под ней понимают автоматические системы регулирования по принципу «лидер-ведомый», которые сравнивают входной сигнал с подстраиваемым и выводят разницу между их фазами. Если разница выходит за заранее установленные пределы, то при помощи управления генератором частота подстраиваемого сигнала изменяется до значения, максимально близкого к частоте входного.

Проблемы возникают, если по какой-то причине, например из-за поломки или скачка напряжения, частота входного сигнала изменится достаточно сильно и отдалится от рабочего режима. С инженерной точки зрения такой сценарий должен привести систему, например процессор компьютера, к неустойчивому неравновесному режиму, из которого она будет стремиться обратно или же к полному прекращению работы. Однако с математической точки зрения все не так просто: ее может «утянуть» так называемый скрытый аттрактор — объект в фазовом пространстве, выводящий систему в относительно равновесный, но непредсказуемый режим. Если это произойдет, управляемое устройство может сломаться, что для задач навигации или наведения может быть чревато катастрофическими последствиями.

Американский инженер Флойд М. Гарднер сформулировал одну из ключевых проблем нелинейного анализа систем фазовой подстройки частоты, а именно формальное определение полосы быстрого захвата — диапазона отклонения частот входного сигнала от частоты подстраиваемого генератора. В нем пересинхронизация входного и опорного сигнала будет происходит за один такт — так удастся избежать «проскальзывания» цикла и, соответственно, прерывания работы устройства. Решение этой проблемы предложили исследователи Санкт-Петербургского государственного университета и Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург) вместе с коллегой из Ирана. Авторы новой работы использовали теорию скрытых колебаний, качественную теорию динамических систем и классические методы теории управления, чтобы проанализировать устойчивость системы фазовой подстройки частоты. При этом они рассматривали фазовое пространство не вблизи того, что соответствует рабочему режиму, а целиком, чтобы спрогнозировать наличие возможных скрытых аттракторов.

Схема исследования и фотографии авторов работы. Источник: Николай Кузнецов

В 2016 году первому автору работы Николаю Кузнецову в докторской диссертации удалось дать строгое математическое определение предложенного Ф. Гарднером инженерного понятия диапазона быстрого захвата. Это стало толчком для развития эффективных математических методов его вычисления и позволило решить проблему Гарднера для различных модификаций систем фазовой автоподстройки частоты. Аналитические формулы диапазона быстрого захвата удалось подтвердить компьютерным моделированием. Полученные аналитические результаты позволили существенно уточнить известные приближенные инженерные оценки и показать опасность их применения — так, для всех известных оценок было показано наличие физических параметров системы, при  которых происходит проскальзывание циклов.  

«В последние годы значительно возрос интерес к проблеме Гарднера, что связано с развитием цифровых систем передачи данных, существенным повышением частот генераторов и требованиями к переходным режимам. Полученные результаты приобретают особую актуальность в связи с реализацией мероприятий по импортозамещению в рамках государственной “Стратегии развития электронной промышленности Российской Федерации на период до 2030 года” и оказались востребованы производителями систем энергообеспечения электровозов, перспективных гибридных самолетов с электродвигателем, а также современных навигационных систем. Учет технических особенностей новых приложений систем фазовой автоподстройки требует дальнейшего развития математического методов теории управления и фазовой синхронизации», — рассказывает руководитель проекта, поддержанного грантом РНФ, Николай Кузнецов, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, руководитель Ведущей научной школы Российской Федерации в области математики и механики, заведующий кафедрой прикладной кибернетики СПбГУ, заведующий лабораторией информационно-управляющих систем ИПМаш РАН.