Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Ниже перечислены основные исследования в отчетном году, посвященные теории немарковской динамики открытых квантовых систем. Исследования носят математический и достаточно общий характер, но в то же время направлены и на конкретное приложение – моделирование переноса энергии возбуждения в биологических (а именно, фотосинтетических) системах, что отражено в названии проекта. 1. При изучении динамики возбуждений в открытых системах при наличии памяти резервуара оказывается важным исследовать не только статистику наблюдений в фиксированный момент времени, но и корреляцию этих наблюдений в различные моменты времени. В частности, это оказывается важным потому, что в ряде экспериментов измеряются именно такие корреляции. Несколько распространённых подходов к учёту памяти резервуара подразумевают влияние только на наблюдения в фиксированные моменты времени. Мы же показали, что влияние памяти на эти наблюдения может отсутствовать, но проявляться на эксперименте, так как на нём измеряются именно указанные выше многовременные корреляции. 2. Приближение слабой связи системы с резервуаром является наиболее распространенным в теории открытых квантовых систем. Однако часто оно не выполняется, поэтому в настоящее время идет активный поиск математических средств описания динамики открытой квантовой системы вне этого предположения. Нами предложено обобщение этого приближения, которое мы назвали приближением сильной декогеренции. В нем лишь только часть взаимодействия системы с резервуаром считается слабой. Взаимодействие системы с резервуаром содержит сильную часть, связанную с декогеренцией (т.е. разрушением согласованностей волновых фаз) между подпространствами пространства системы. Выведено квантовое кинетическое уравнение в этом приближении, которое обобщает известные фундаментальные теории переноса энергии возбуждения. 3. В качестве другого обобщения приближения слабой связи вычислены поправки всех порядков к соответствующему кинетическому уравнению по константе связи. Для этого был использован метод, разработанный Н.Н.Боголюбовым для вывода кинетического уравнения Больцмана. Для частной точно решаемой модели получен неожиданный результат о том, что кинетическое уравнение во всех порядках имеет вид Горини–Коссаковского–Линдблада–Сударшана (ГКЛС), т.е. «правильный» вид, который связывается обычно с марковской динамикой. Но марковской динамике соответствует только уравнение в самом низшем порядке теории возмущений – собственно в пределе слабой связи. Поправки к нему описывают уже немарковскую динамику. 4. Построена модель взаимодействия между вибронами (выделенными колебательными степенями свободы ядер атомов) и экситонами (возбужденными электронными состояниями) с несекулярными членами (т.е. со взаимным влиянием диагональных и внедиагональных элементов матрицы плотности системы), описаны условия усиления переходов между электронными состояниями за счёт взаимодействия с вибронами. 5. Квантовая конформная теория поля – это метод, с помощью которого можно описывать широкий класс физический объектов. Естественным примером таких систем, например, являются спиновые системы. Нами было предложено, как присоединив такую систему к внешнему источнику (имеющему очень простой вид) мы получим пример очень необычного поведения. Обычно, системы подвергнутые внешнему возмущению, приходят в относительное равновесие, а также ведут себя гладким, регулярным образом. В нашем примере энергия системы имеет необычное поведение: в нем энергия находится в режиме детерминистского хаоса. Более того, энергия и импульс в такой системе в течении эволюции складываются в объекты дробной размерности – фракталы.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В финальном году выполнения проекты мы завершили запланированные исследования по проекту, связанные с различными аспектами немарковской динамики – как в общем контексте математической теории открытых квантовых систем, так и применительно к биологическим системам. Как и ранее, в целом в нашем проекте мы стараемся ответить на актуальные задачи физики открытых квантовых систем математическими методами. Глобальная проблема заключается в построении подходов к описанию немарковской динамики открытых квантовых систем, когда стандартные хорошо изученные теории возмущений не работают. Эта глобальная проблема распадается в ряд частных задач, т.к. в различных частных случаях могут оказаться более подходящими разные модели и приближения. Ниже описаны основные направления исследований и полученные результаты в последнем году. 1. Важнейшим методом экспериментального изучения динамики квантовых систем ещё с самых ранних этапов зарождения квантовой теории является спектроскопия. Фактически при этом измеряются (с точностью до преобразования Фурье) корреляционные функции переменных, описывающих данную квантовую систему. В связи с чем и теоретическое исследование таких корреляционных функций системы имеет важное значения, поэтому именно ему и были посвящены работы в текущем отчётном периоде. Для ряда моделей точные выражения для корреляционных функций уже были получены на предыдущих этапах проекта. Однако было показано, что на начальных этапах эволюции происходит сложная совместная динамика системы и окружения; по сути, на этих малых временах нельзя говорить о динамике системы как таковой, так как возникающие для её описания кинетические уравнения требуют непосредственного учёта степеней свободы окружения. Можно говорить о том, что окружение обладает памятью о состоянии системы, и называть такой режим немарковским. Отдельная динамика системы, учитывающая окружения только как внешний шум, возникает только на временах, больших, чем так называемое время корреляции резервуара. В этом случае окружение уже не обладает памятью о состоянии системы на данном этапе динамики и потому динамику на данном периоде можно называть марковской. В связи с этим для дальнейшего исследования корреляционных функций были развиты специфические математические методы (на основе теории возмущений с перерастяжкой Боголюбова–ван Хова), которые позволяют описывать динамику на временах, больших, чем время корреляции резервуара. При этом было показано, что некоторая информация, связанная с начальным немарковским периодом, всё же содержится в корреляционных функциях системы. Таким образом, даже производя измерения наблюдаемых системы на масштабах времён, больших, чем время корреляции резервуара, можно получить некоторые сведения и о начальной динамике на интервале времени до времени корреляции резервуара. 2. Одним из следствий сильной связи системы с резервуаром (приводящей к немарковской динамике) является установление на больших временах состояния, отличного от канонического. В соответствии с планом в отчетном году исследовались стационарные решения выведенных нами ранее уравнений динамики открытой квантовой системы, взаимодействующей с резервуаром в режиме сильной декогеренции, который включает в себя и режим ультрасильной связи. Доказано, что стационарное состояние совпадает с гиббсовским состоянием относительно не исходного гамильтониана системы, а гамильтониана системы, в котором внедиагональные элементы в собственном базисе гамильтониана взаимодействия заменены нулями. Выведены эффективные поправки к гамильтониану системы (зависящие от температуры), описывающие отклонение равновесного состояния системы, взаимодействующей с тепловым резервуаром, от канонического. Соответствующий эффективный гамильтониан называется в литературе гамильтонианом средней силы и играет важную роль в квантовой термодинамике. Поправки выведены в приближении слабой связи (т.е. когда константа взаимодействия не пренебрежимо мала, но всё же по ней можно проводить теорию возмущений) и в приближении высокой температуры при произвольной константе связи. На практике для применимости этого приближения достаточно и комнатной температуры. Этот режим важен, например, для квантовой биологии, где в естественных условиях процессы протекают именно при комнатной (в данном контексте она называется физиологической) температуре. Построены модификации квантовых кинетических уравнений для режима слабой связи, в которых спектральное разложения исходного гамильтониана системы заменено на спектральное разложение эффективного гамильтониана системы (были использованные полученные для него выражения), и численно показано, что такие уточненные уравнения приближенно описывают динамику и за пределами режима слабой связи. 3. Построена математическая модель динамики диссипативных квантовых систем с несекулярными переходами и самодействием на основе модели Ландау-Зинера, проведены связи с эффектами, возникающими в биологических системах. 4. Голографическая дуальность, или соответствие «анти-де Ситтер/квантовая теория поля» (АдС/КТП-соответствие или АдС/КТП-дуальность), является важным инструментом в исследовании систем с большим числом степеней свободы. Данный геометрический метод позволяет относительно простыми вычислениям описать ситуации, когда канонические вычисления оказываются слишком сложными. Так, например, можно описывать различные неравновесные явления. Одним из больших успехов АдС/КТП дуальности является открытие так называемой формулы Рю-Такаянаги, которая позволяет описать квантовую энтропию зацепленности конкретной подсистемы (которая согласно АдС/КТП-соответствию задается на границе пространства АдС) через минимальную гиперповерхность, вложенную в АдС и натянутую на край данной подсистемы. Недавно было обнаружено, что в случае, когда геометрия на которой находится квантовая система является динамической, то энтропия зацепленности модифицируется и получает дополнительные вклады от так называемых “островов зацепленности”. Гравитация является сложным феноменом и её понимание на квантовом уровне все еще далеко от полноты. Поэтому важно иметь аналогичную систему, в которой можно было бы исследовать аналог феномена островов зацепленности, а также для голографического двойника понимать обобщение формулы Рю–Такаянаги, которая бы работала с таким островами. Также интересным объектом исследования является распределение энтропии зацепленности внутри подсистемы – своего рода плотность энтропии, которая является более чувствительной мерой, выявляющей более тонкие аспекты квантовых корреляций. Можно показать, что системой, имеющей аналог островов зацепленности, являются пространства с границей (например, квантовая системы на полупрямой). Для них прескрипция Рю–Такаянаги должна быть модифицирована. А именно, необходимо учитывать не только минимальные гиперповерхности описанные выше, но и их “зеркальные” двойники (полученные, например, методом изображений). Для разных подсистем в квантовой системе с границей могут доминировать как канонические поверхности Рю–Такаянаги, так и их двойники, называемые также “островами зацепленности”. Было исследовано данное обобщение прескрипции Рю–Такаянаги и с помощью неё вычислен так называемый контур зацепленности - упомянутый плотность энтропии зацепленности внутри области.  В результате вычисления даже для простейшей статической системы на полупрямой был получен удивительный результат, что контур зацепленности для различных подсистем на некотором расстоянии от границы (например начала полупрямой) становится разрывным. Расположение разрыва зависит от деталей подсистемы, а именно от её расположения относительно границы и так называемой “граничной энтропии” – энтропии мод вдоль границы. Одним из вариантом поведения контура зацепленности является феномен названный нами “тенью зацепленности” – а именно, ситуация когда в подсистеме присутствует область которая не дает никакого вклада в общую зацепленность.