Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Аэродинамическая задача Ньютона заключается в отыскании формы выпуклого тела заданной высоты M>0 и плоского кругового сечения, испытывающего минимальное сопротивление при движении в разреженной среде. Изначально задача было поставлена и решена Ньютоном в классе выпуклых тел вращения, однако в конце XX века выяснилось, что решение Ньютона не оптимально в классе всех выпуклых тел (необходимую локальную вариацию впервые построили Ferrone Butazzo и Kawohl). С тех пор уже более 25 лет точная оптимальная форма остается неизвестной. В рамках проекта получен результат, позволяющий аналитически исследовать структуру оптимальной формы при больших высотах M. В рамках проекта проводилось исследование серии левоинвариантных субфинслеровых задач на группах Гейзенберга произвольной размерности. Эти задачи возникают как естественное продолжение, с одной стороны, задачи об изопериметрическом неравенстве на Финслеровой плоскости (Busemann 1947, Berestovskii 1994), а с другой стороны субфинслеровых задач на группах Энгеля и Картана (Boscain, Le Donne, Sigalotti, 2015). При некотором предположении о структуре 2n-мерного множества допустимых управлений участникам проекта удалось найти явные формулы для экстремалей в терминах функций выпуклой тригонометрии. Например, если множество управлений является 2n-мерным L_p-шаром, то экстремали выражаются через тригонометрические функции Шелупского (которые являются частным случаем функций выпуклой тригонометрии). Исследовалась задача об эквивалентности циклической монотонности и обычной монотонности, имеющая большое значение в микроэкономике (например, в дизайне механизмов). Эта задача изначально пришла из выпуклого анализа (в связи со свойствами субдифференциала выпуклой функции). В рамках проекта удалось получить легко проверяемое геометрическое условие на область определения и функцию, гарантирующее, что если функция монотонна, то она также и циклически монотонна. В частности, для важных в микроэкономике областей (для области валовых заменителей, для области типов с одним пиком, для области типов с один пиком относительно некоторого частичного порядка и для области обобщенных валовых заменителей и дополнений) удалось показать, что всякая монотонная функция циклически монотонна. Этот результат позволяет сильно расширить возможные использования знаменитой теоремы Роше 1987 г. о реализуемости правил распределения. Построена теория устойчивости смешанных (дискретно-непрерывных) линейных систем с переключениями. Определены показатель Ляпунова и функция Ляпунова для таких систем. Доказано, что смешанная система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда для неё существует выпуклая положительная функция Ляпунова. Доказана теорема существования инвариантной выпуклой функции Ляпунова для любой смешанной системы при отсутствии у матриц системы общих собственных подпространств. Базируясь на данных результатах, разработан метод приближенного вычисления показателя Ляпунова смешанной системы. С помощью смешанных систем на графах решена известная задача об устойчивости систем с переключениями (с непрерывным временем) при ограничении минимального промежутка между соседними переключениями. Дано полное описание структуры множества решений задачи Римана для модельной системы ступенчатого вида в зависимости от начальных данных. Рассматривалась система ступенчатого вида из двух уравнений, нестрого гиперболическая по Петровскому, но не являющаяся нестрого гиперболической по Фридрихсу. Эта система сводится к скалярному уравнению с фазовым потоком, задаваемым некоторой кусочно гладкой, непрерывной, монотонно возрастающая функцией, которая стабилизируется за конечное время на константы. При этом для монотонного случая возникает 12 качественно различных некритических (устойчивых относительно малых возмущений начальных данных) картин геометрического решения. Для немонотонного случая доказана корректность определения геометрического решения и получены явные формулы для пределов по Хаусдорфу, аналогичные монотонному случаю. При этом в немонотонном случае могут возникать геометрические решения, содержащие подмножества типа логарифмических спиралей (Т-решения). Описана конструкция, позволяющая единственным образом сопоставить Т-решению обобщенное решение в смысле интегрального тождества. Рассмотрена общая задача оптимального управления с концевыми, фазовыми и регулярными смешанными ограничениями. Предложено новое доказательство принципа максимума в форме Дубовицкого—Милютина. Оно проводится с помощью кусочно-постоянной v-замены времени. Показано, что можно обойтись без использования весьма сложной теоремы о корректности расширения управляемой системы при помощи овыпукления множества ее допустимых скоростей. Рассмотрен вырожденный интегральный квадратичный функционал, заданный на системе линейных интегральных уравнений типа Вольтерра. Предложено обобщение известного преобразования Гоха и получены необходимые условия знакоопределенности этого функционала, обобщающие условия Гоха. Найдены все оптимальные траектории упрощенной задаче Годдара о максимальном подъеме ракеты. Построен оптимальный синтез в классической задача Фельдбаума о наискорейшей остановке материальной точки, двигающейся по прямому пути, при наличии произвольного линейного ограничения на фазовые координаты. В рамках проекта исследуются системы с особыми режимами второго порядка и многомерным ограниченным управлением. Для таких систем имеются отдельные результаты, которые получены благодаря инвариантности задачи относительно некоторой непрерывной группы симметрий. Например, для аналога задачи Фуллера с двумерным управлением из треугольника построен полный оптимальный синтез (М. Зеликина, Л. Локуциевского, Р. Хильдебранда), для множества управлений из круга (М. Зеликин, В. Борисов, С. Чуканов, А. Милютин) были найдены решения только для некоторых начальных данных. То есть, даже в случае модельной задачи для множества управлений с гладкой границей вопрос о полном оптимальном синтезе остается открытым. В рамках проекта для задачи, не обладающей симметриями, построен частичный синтез. А именно, для гамильтоновой системы, аффинной по двумерному управлению из эллипса, в окрестности особой экстремали второго порядка найдены два семейства решений: четтеринг-траектории, которые попадают в особую точку за конечное время со счетным числом переключений управления, и логарифмические спирали, которые совершают счетное число оборотов вокруг особой точки и попадают в нее за конечное время.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В серии левоинвариантных субфинслеровых задач на унимодулярных трехмерных группах Ли SU(2), SE(2), SH(2), SL(2), H_3 была выписана вертикальная подсистема гамильтоновых уравнений принципа максимума Понтрягина и найдены ее явные решения в терминах функций выпуклой тригонометрии. Была доказана теорема, позволяющая контролировать в таких задачах точки ветвления на геодезических. В результате участникам проекта удалось полностью описать структуру фазовых портретов геодезических потоков в этих задачах и дать полную их классификацию в случае, когда субфинслерова метрика задается L_p функционалом. Аналогичные результаты получены для задачи качения шара по финслеровой плоскости и серии задач управления яхтами. В частности, удалось доказать, что в задаче о качении шара по плоскости с произвольной однородной римановой метрикой уравнения кратчайших интегрируются в эллиптических функциях. В задаче о плоском динамическом движении участникам проекта удалось явно проинтегрировать уравнения принципа максимума Понтрягина в терминах функций выпуклой тригонометрии. Получена классификация инвариантных выпуклых функций Ляпунова (барабановских норм) для линейных управляемых систем с переключениями с дискретным временем. Доказано, что система общего положения имеет единственную инвариантную норму. Доказано, что такая инвариантная норма имеет простой вид: она определяется единичным шаром, который является либо многогранником, либо «эллиптическим многогранником», т.е., оболочкой конечного множества двумерных эллипсов. Представлен итерационный алгоритм построения данных инвариантных норм. Разработана теория двойственности для антинорм (положительных однородных вогнутых функционалов) на конусах. На плоскости классифицированы полиэдральные и симметричные антинормы, инвариантные относительно двойственности. Полученные результаты применены к исследованию устойчивости положительных линейных систем с переключениями. Решена задача о характеризации линейного пространства голоморфных функций, порожденного целыми сдвигами конечного множества функций с компактным носителем. С помощью данного результата получена классификация линейных алгоритмов разбивки (subdivision algorithms), аппроксимирующих голоморфные функции на прямой. Получена явная формула для геометрического решения задачи Римана для системы ступенчатого вида, сводящейся к скалярному уравнению с фазовым потоком специального вида. При некоторых естественных дополнительных предположениях дано полное описание многозначного фазового потока ассоциированной негамильтоновой системы с разрывной правой частью, соответствующей задаче Римана. Описан способ разбиения множества точек фазовой плоскости на типовые области, в которых все траектории ассоциированной системы эквивалентны. Доказано, что граница непустой типовой области линейно связна и гомеоморфна прямой, а сама область – полуплоскости. Описан способ разбиения начальной кривой на простые множества, для каждого из которых дано явное описание предела по Хаусдорфу сдвигов этого множества вдоль траекторий многозначного фазового потока. В результате получен явный способ построения геометрического решения задачи Римана в зависимости от начальных данных и функции потока. В задаче оптимального управления, линейной по части управлений, получены необходимые и достаточные условия квадратичного порядка для слабого минимума по обоим группам управлений, а также для минимума, слабого по нелинейно входящему управлению и понтрягинского по линейно входящему. Для задачи с интегральными уравнениями типа Вольтерры, линейной по управлению, получены необходимые и достаточные условия слабого минимума квадратичного порядка. Рассмотрена модельная задача Годдара о максимальном подъеме ракеты с ограничением на время подъема, в которой масса в управляемой системе считается постоянной. Найдены аналитически все типы оптимальных траекторий и построен оптимальный синтез. Установлена зависимость качественной структуры оптимального синтеза от параметров задачи. Для классической задачи Фуллера со скалярным управлением известен результат (Зеликин М.И., Зеликина Л.Ф., 1999) о построении субоптимального управления с конечным числом переключений, получена оценка для ошибки функционала. Участники проекта обобщили данный результат для аналога задачи Фуллера с двумерным управлением из единичного круга. А именно, для начальных условий, лежащих на логарифмических спиралях, получена оценка для ошибки функционала для субоптимальных траекторий.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Участниками проекта рассматривалась задача быстродействия для системы точечного управления колебаниями струны (одномерного волнового уравнения). Для этой бесконечномерной задачи доказан принцип максимума Понтрягина и получена явная формула для опорной функции множества достижимости за заданное время T. С помощью преобразования Гельфанда для банаховых алгебр найдено асимптотическое поведение множеств достижимости при неограниченно возрастающем допустимом времени движения, а именно: найдены явные асимптотические формулы для функции Минковского множеств достижимости и оптимального управления. В результате удалось доказать, что множества достижимости после подходящей неравномерной гомотетии показывают относительно простое поведение и стремятся к некоторому предельному множеству при неограниченно растущем допустимом времени движения. Этот результат позволил полностью описать асимптотическую структуру оптимального синтеза в этой задаче и найти в явном виде управление, гарантирующее время движения, асимптотически эквивалентное оптимальному. Для линейных динамических управляемых систем с дискретным временем общего положения доказана единственность инвариантной нормы с точностью до умножения на константу. Доказано, что для таких систем единичный шар инвариантной нормы является либо многогранником, либо эллиптическим многогранником. Разработан алгоритм построения инвариантных норм Ляпунова. Для систем с непрерывным временем участниками проекта решена задача об отмене ограничения сверху на длину интервала переключения. В теории инвариантных антинорм на конусах, которые возникают в задаче стабилизации системы с переключениями (поиска закона переключения, при котором все траектории ограничены), участниками проекта разработана теория двойственности и решена задача о непрерывности антинорм. Построено обобщение теории сопряженных точек для гибридных задач оптимального управления, т.е. задач с ограничениями в промежуточных точках, с переменной структурой, с разрывными управлениями и т.п. Это обобщение основано на схеме Хестенса и существенно зависит от того, имеет ли вариация фазовой переменной скачки в заданных промежуточных точках. Если таких скачков нет, то сопряженная точка функционала определяется по прежней схеме через решение уравнения Эйлера-Якоби. В противном случае схема усложняется. Решены следующие модельные задачи: изопериметрическая задача с различными фазовыми ограничениями (полоса, треугольник, и др.), задача Фельдбаума с линейным фазовым ограничением, геодезические на гладкой поверхности и эйлеровы эластики в конечномерном пространстве как задачи со смешанными регулярными ограничениями. Построены и исследованы некоторые примеры со смешанными нерегулярными ограничениями (в них сопряженная переменная имеет дополнительные скачки в т.н. фазовых точках). В работе, проведенной в рамках проекта в 2020 г., было предложено определение геометрического решения задачи Римана для системы ступенчатого вида, сводящейся к скалярному уравнению с фазовым потоком специального вида (слагаемое в гамильтониане, отвечающее однородной фазовой координате, должно быть монотонным). Оказалось, что это определение позволяет явно находить обобщенные решения в задаче Римана в более широком классе, чем в классическом случае. Более того, такой подход гарантирует единственность полученного обобщенного решения. В 2022 г. этот подход был расширен на случай, когда указанное слагаемое в гамильтониане не монотонно. Доказаны существование и единственность геометрического решения соответствующей задачи как предела по Хаусдорфу сдвигов начальной кривой вдоль траекторий многозначного фазового потока ассоциированной автономной системы. В результате обобщенное решение получается из геометрического решения при помощи развитой в рамках проекта процедуры выравнивания. Найдена зависимость площади области, ограниченной оптимальным изопериметрическим контуром на финслеровой плоскости Лобачевского, от длины данного контура. График этой зависимости можно описать явно как кривую, заданную в параметрической форме в терминах функций выпуклой тригонометрии. Таким образом, сама зависимость определяется как функция, заданная неявно. Описаны геометрические свойства графика и найдены асимптотики при бесконечно малых и бесконечно больших значениях длины и площади. Изопериметрическое неравенство на финслеровой плоскости Лобачевского получено в неявном виде. Доказана эквивалентность данного неравенства известному результату в случае классической плоскости Лобачевского. Отдельно рассмотрены случаи p-метрик на гиперболической плоскости Лобачевского. Проведено исследование решений гамильтоновой системы, соответствующей задаче наибыстрейшей переориентации ракеты с учетом орбитальной динамики. В этой задаче управление двумерно и меняется в единичном круге. Доказано, что в окрестности любой особой экстремали 2-го порядка существуют неособые экстремали в виде логарифмических спиралей, которые попадают на нее за конечное время, при этом соответствующее управление совершает счетное число вращений вдоль единичной окружности.