Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В 2020 году выполнялись исследования первого года данного проекта, являющегося продолжением проекта РНФ, выполнявшегося в 2017-2019 годах. В отчетном году проводилась работа по решению поставленных на этот год задач по управлению квантовыми системами, включая исследование множеств достижимости и управляемости для открытых квантовых систем, развитие численных методов оптимального квантового управления, исследованию мастер-уравнений и немарковской динамики для открытых квантовых систем, исследование влияния сцепленности на возможности квантовых коммуникационных протоколов, применение теории управления квантовыми системами с близкими спектрами к задаче разделения изотопов циркония, развитие теории исправления ошибок для квантовых систем. Часть результатов опубликована в изданиях, индексируемых в Web of Science, Scopus. Ряд статей находится на стадии подготовки и отправки в журналы. Результаты работы представлены на 16 выступлениях на конференциях и семинарах. Для открытой двухуровневой квантовой системы с динамикой, определяемой мастер-уравнением Горини–Коссаковского–Сударшана–Линдблада (ГКСЛ), в которое входят когерентное и некогерентное управления, получены новые результаты по численному оцениванию и аналитическому описанию множеств достижимости и управляемости. Получены новые численные результаты по анализу достижимых точек в шаре Блоха в случае с нулевым некогерентным управлением и когерентным управлением, равным нулю до момента переключения и функции-косинус после него. Аналитически описаны множества управляемости при нулевом когерентном управлении и некогерентном управлении из класса постоянных функций для определенных целевых состояний. С учетом дополнительных ограничений на вариации кусочно-постоянных управлений адаптирован метод сечений для численного оценивания множеств достижимости и управляемости в шаре Блоха, проведены соответствующие вычислительные эксперименты. По анализу возможностей применения машинного обучения для класса задач оптимального быстродействия для данной двухуровневой квантовой системы с кусочно-постоянными управлениями, на вариации которых наложены ограничения, улучшен алгоритм машинного обучения для нахождения субоптимальных финальных времен и управлений, основанный на комбинации метода kNN и обучения нейронной сети, численно получена статистическая оценка качества этого алгоритма, в том числе, в зависимости от мощности набора обучающих данных. Рассмотрена задача описания немарковской динамики кубита при наличии внешнего когерентного управления с использованием математической модели марковского вложения, которая отражает физическую идею разделения окружения на ближнее и дальнее. Получена формула, связывающая локальный по времени фиктивный диссипатор для кубита с генератором ГКСЛ для системы «кубит + ближнее окружение». Для нахождения генератора ГКСЛ предложен метод максимизации правдоподобия для серии однократных проективных измерений над кубитом. Для максимизации функции правдоподобия рассчитан её градиент по квантовому каналу, соответствующему эволюции кубита и ближнего окружения с искомым генератором ГКСЛ в течение единицы времени. Построен процесс-тензор для кубита, т.е. многовременной тензор входов-выходов для матрицы плотности кубита, позволяющий учесть влияние окружения на кубит и при этом позволяющий включить в описание локальные по времени внешние воздействия на кубит, не связанные с окружением (измерения, применение унитарных вентилей). Проведен расчет немарковской динамики в модели столкновений с составным окружением без внешнего управления и при наличии внешнего управления, когда адиабатический подход к диссипатору кубита не применим. Исследовалась неопределенность в определении мастер-уравнений, не позволяющая однозначно идентифицировать управляющее эволюцией мастер-уравнение открытой квантовой системы, управляемой с помощью когерентного и некогерентного управлений. Установлены различия в динамике для моментов более высокого порядка различных квантовых наблюдаемых и для равновесных состояний. Показано, что равновесные состояния для мастер-уравнений в рассматриваемом классе различаются. Рассмотрено использование ресурса сцепленности при выполнении ряда квантовых коммуникационных протоколов, как с одним, так и с несколькими получателями. Протоколы включают передачу публичной информации одному или нескольким получателям, а также распределение независимых секретных ключей с несколькими получателями, в том числе в ситуации неполного доверия между участниками. Получены оценки на взаимную информацию при проведении получателями индивидуальных и коллективных измерений, а также на длину секретного ключа, в зависимости от количества доверенных участников. Рассмотрена ситуация применения квантовой наблюдаемой к части сцепленного состояния. Такое измерение фиксирует ансамбль для другой части сцепленного состояния. Получены соотношения для связи ансамбля и наблюдаемой. Проведена работа по обобщению связи неопределенности наблюдаемой в энтропийной форме и когерентностью двойственного ансамбля. Построена модель некоммутативного графа ошибок, включающая унитарную эволюцию, определяющую динамическое преобразование ошибок во времени. В этой модели рассмотрено понятие максимальной антиклики, то есть максимально возможного набора квантовых состояний, которые можно безошибочно передать для данного набора ошибок. Построения проиллюстрированы для случая унитарной динамики.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В ходе выполнения проекта в отчетном году проводилась работа по решению поставленных на этот год задач по управлению квантовыми системами, включая адаптацию метода Кротова второго порядка для оптимальной генерации финальной матрицы плотности открытой однокубитной квантовой системы, находящейся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, развитие методов управления квантовыми системами с близкими спектрами, исследование немарковских открытых квантовых систем, изучение связи когерентности ансамбля квантовых состояний с неопределенностью квантовой наблюдаемой. В отчетном году результаты опубликованы в ряде статей в изданиях, индексируемых в Web of Science/Scopus и представлены на 18 выступлениях на конференциях и семинарах, в том числе видеозаписи ряда докладов размещены в открытом доступе на Общероссийском математическом портале MathNet.Ru. Для открытой однокубитной квантовой системы, находящейся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, рассмотрена и решена задача оптимальной генерации такой финальной матрицы плотности, которая при заданных финальном времени и ограничениях на управления имеет минимальное расстояние Гильберта–Шмидта до заданной целевой матрицы плотности. Для численного решения этой задачи в терминах векторов Блоха осуществлена адаптация двух версий метода Кротова второго порядка, использована регуляризация по управлениям. Для данной задачи оптимального управления численные эксперименты с этими версиями метода Кротова при разных начальных и целевых точках в шаре Блоха, ограничениях на амплитуды управлений, финальных временах показали работоспособность обоих вариантов метода Кротова при соответствующей настройке. Рассматривалась задача управления открытыми квантовыми системами, находящимися под воздействием когерентного и некогерентного управлений, в модели квантового осциллятора, взаимодействующего с окружением с выброшенными квантовыми гармониками, для которой установлена степень неединственности полученных уравнений. Исследовалась задача применения методов управления квантовыми системами в математической модели разделения квантовых систем с близкими спектрами, для которой построена целевая функция, найдены ограничения на управления, рассчитана эволюция целевой функции в данной модели в зависимости от параметров модели. Построен квантовый канал, генерирующий соответствующий операторный граф как линейную оболочку положительно-определенных операторнозначных мер. В рассмотренной модели квантовая антиклика бесконечномерна. Поставлена и решена задача распространения квантовых состояний через квантовые каналы с памятью. Математическое описание немарковских эффектов памяти проведено в модели марковского вложения. Изучены свойства решений уравнений, описывающих действие немарковских эффектов памяти на динамику составных квантовых систем и степень их перепутанности. В частности, показано, что на выходе канала с памятью двухкубитное состояние может содержать квантовые корреляции (обладать перепутанностью), даже если эффективное окружение находится изначально в максимально смешанном состоянии, а на вход канала подаются факторизованные состояния кубитов, которые не взаимодействуют друг с другом напрямую при распространении через канал. Построена модель немарковского шума для регистров квантовых битов на основе теории марковского вложения. Произведен расчет немарковской квантовой динамики двух кубитов с внешним управлением, используемым для реализации перепутывающей квантовой операции над кубитами, при наличии немарковских шумов. В формализме процесс-тензора рассмотрены методы управления квантовыми системами в присутствии немарковских шумов. Получена явная связь между чистым сцепленным состоянием, наблюдаемой, применяемой к одной его части, и ансамблем состояний, получающимся в другой его части, для произвольного чистого сцепленного квантового состояния, и произвольной наблюдаемой или произвольного ансамбля. Показано, что эта связь совпадает с двойственностью между ансамблем и наблюдаемой, которая рассматривалась ранее. Получена оценка на когерентность, а именно, минимальную по всем базисам относительную энтропию когерентности, ансамбля состояний через неопределенность наблюдаемой и меру сцепленности чистого квантового состояния. Полученный результат говорит о том, что чем выше неопределенность применяемой наблюдаемой и чем выше мера сцепленности исходного чистого двухчастичного состояния, тем больше будет когерентность получаемого ансамбля.