Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В направлении развития качественных методов теории динамических систем Доказано существование квази-случайных траекторий гамильтоновой системы, медленно зависящей от времени, в окрестности гомоклинического множества критической точки замороженной гамильтноновой системы. Показано, что в окрестности гомоклинического множества существует локальный аналог адиабатических инвариантов, которые описывают квазислучайные скачки энергии. Рассмотрено слабо нелинейное уравнение Шредингера на торе размерности не меньше двух, подверженное действию малой (гипер)вязкости и слабого стохастического возмущения. Начато исследование поведения спектра энергии решения уравнения в пределе, когда сперва период тора стремится к бесконечности, а затем нелинейность, шум и вязкость стремятся к нулю (с «кинетическим» скейлингом). С этой целью рассмотрено семейство многомерных интегралов от дробей, имеющих в числителе шварцевскую функцию, а в знаменателе - произведение конечного числа членов, каждый из которых представляет из себя сумму невырожденной действительная квадратичной формы и отделенной от нуля чисто мнимой гладкой функции, умноженной на малый параметр. Получена нетривиальная верхняя оценка для этих интегралов, зависящая от размерности и от ранга системы квадратичных форм. Для орициклических потоков, отвечающим инвариантным слоениям контактных потоков Аносова на трёхмерных многообразиях, получено описание асимптотики эргодических средних гладких функций в терминах гёльдеровых конечно-аддитивных мер, инвариантных относительно трансверсального орициклического потока. Получена предельная теорема “параболического типа” для таких средних. Найдено подпространство в пространстве соболевских обобщённых 1-форм, инвариантное относительно трансфер-оператора контактного потока Аносова и отвечающее конечно-аддитивным мерам, инвариантным относительно трансверсального потока орициклов. Рассмотрена система обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых представляет собой периодическое по времени векторное поле, определенное в m-мерном пространстве. Векторное поле является непрерывным по времени и пространственным переменным, его норма медленно растет на бесконечности. Доказано, что к данному векторному полю можно добавить некое константное векторное поле так, что система дифференциальных уравнений с новым векторным полем имеет по крайней мере одно периодическое решение. Полученная теорема применена к задаче о движении материальной точки по горизонтальной плоскости в поле силы тяжести. Между частицей и плоскостью имеется кулоновское трение. Плоскость движется поступательно по периодическому закону. Динамика материальной точки описывается системой ОДУ с негладкой правой частью. Решения такой системы понимаются в смысле дифференциальных включений. Доказано, что можно так подобрать постоянную горизонтальную силу, действующую на материальную точку, что в новой системе будет существовать движение с периодическим законом. Изучена задача о наличии и отсутствии свойства локальной линейной связности у бесконечномерных подгрупп Ли группы всех диффеоморфизмов гладкого многообразия. Доказано наличие свойства локальной линейной связность у подгрупп Ли, сохраняющих симплектическую структуру на симплектическом многообразии; форму объема на компактном гладком многообразии, а также стандартную форму объема в стандартном евклидовом пространстве произвольной размерности. Найдены нетривиальные достаточные условия, при которых заданный диффеоморфизм компактной ориентированной поверхности не изотопен тождественному отображению в группе диффеоморфизмов, сохраняющих гладкую функцию или векторное поле, но изотопен тождественному отображению в группе всех диффеоморфизмов. Известные уравнения эволюции соленоидального векторного поля с вмороженным в сплошную среду интегральными кривыми представлены в инвариантном виде в пространстве Минковского. По аналогии с электродинамикой введена фундаментальная 1-форма и рассмотрена задача о вариации действия. Рассмотрены поля симметрий и доказана теорема об инвариантах, объединяющая теорему Нетер и теорему Бернулли из гидродинамики вихревых течений. Развита динамика механических систем с односторонними связями. Сформулирован вариационный принцип. Установлено, что движения таких систем можно реализовать с помощью «односторонних» сил анизотропного трения. В качестве примера рассмотрена динамика саней Чаплыгина с одностронней связью. Рассмотрена возможность распространения этой теории на системы с сервосвязями Бегена. Построены и изучены суперинтегрируемые деформации задачи Кеплера, гармонического осциллятора на плоскости, системы типа Штеккеля и системы Драша, а так же суперинтегрируемые метрики на двумерной сфере для которых дополнительный интеграл движения является алгебраической или рациональной функцией от импульсов. Также изучался вопрос об использования идей Дирака о деформации скобок Пуассона в неголономной механике. В качестве примера рассмотрен вопрос о композиции внешних сил не совершающих работу и сил реакции не интегрируемых связей в модели неголономного шара Чаплыгина на плоскости. Выполнено сравнение величин скоростей и длин уединенных волновых пакетов, полученных в результате описания волн на поверхности жидкости подо льдом, при помощи уравнения Кавахары, в рамках слабонелинейного анализа и системы уравнений Эйлера, в рамках полного нелинейного анализа. Проведено сравнение величин скоростей и длин уединенных волновых пакетов, полученных в результате описания при помощи уравнения Кавахары и системы уравнений Эйлера. С этой целью, во-первых, используется описание при помощи нелинейного уравнения Шредингера волновых пакетов в слабонелинейном случае для того, чтобы показать существование уединенных волн огибающей (в том числе и уединенных волновых пакетов) на поверхности воды под ледяным покровом в слабонелинейном пределе. Затем, используются выражения для волновой скорости и длины волны для уединенного волнового пакета. Далее используется полное нелинейное описание и выражения для соответствующих волновых параметров для описания в рамках полной системы уравнений Эйлера. Изучены разрывы в решениях одномерной гиперболической системы уравнений, описывающей нелинейные продольные и крутильные волны, распространяющиеся по стержню. Амплитуда разрывов считалась малой, так что в уравнениях пренебрегалось всеми нелинейными членами, кроме квадратичных. Исследован вид ударной адиабаты и условий эволюционности в зависимости от параметров модели. Результаты исследования относятся не только к волнам в стержнях, но также к ударным волнам в пространстве, заполненном анизотропной упругой средой. Исследована обобщенная интегрируемой модель вихревой динамики, которая включает динамику вихрей Бозе-Эйнштейна конденсата и динамику вихрей в идеальной жидкости, ограниченной круговой областью. Исследования касались бифуркаций торов Лиувилля на основе редукции к системе с одной степенью свободы. Выявлены новые типы бифуркационной диаграммы и самих бифуркаций лиувиллевых торов, таких как три тора в один и четыре тора в один. При определенных значениях параметров наблюдается устойчивая бифуркационная диаграмма динамики вихрей в идеальной жидкости. В направлении теории управления: Изучена задача о возможности глобальной стабилизируемости механических систем, т.е. о возможности системы обладать единственным асимптотически устойчивым положением равновесия, к которому бы стремились все решения системы. Задача изучалась в общей неавтономной постановке, т.е. предполагалось, что система с обратной связью может явно зависеть от времени. Сформулирована и доказана теорема, доставляющая достаточные условия невозможности глобальной стабилизации. Также доказана аналогичная теорема для случая существования асимптотического инвариантного многообразия. Данные результаты обобщают предыдущие результаты, полученные для маятниковых систем. В частности, в доказанных результатах удалось отказаться от избыточного требования для существования функции Ляпунова в системе. Проведено исследование движения тела с острыми краями в рамках модели качения «резинового» тела. Тело представляет собой симметрично усеченный эллипсоид вращения со смещенным вдоль оси симметрии центром масс. Показано, что данная система является интегрируемой и сводится к квадратурам. Найдены частные решения и проведена классификация возможных типов движения тела в зависимости от параметров системы. В направлении применения современных методов теории динамических систем к конкретным задачам механики и робототехники: Исследована с топологической точки зрения модель динамики волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса. Модель описывается вполне интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой с двумя степенями свободы с квадратичным потенциалом. Явно получена редукция к системе с одной степенью свободы, которая описывает динамику угла прецессии в эллиптических функциях Якоби. Явно указан многочлен четвертой степени, дискриминантное множество которого содержит бифуркационную диаграмму, т. е. такие значения постоянных первых интегралов, для которых сами интегралы, рассматриваемые как функции от фазовых переменных, оказываются зависимыми в смысле линейной зависимости дифференциалов. Доказано наличие фокусной особенности отображения момента, которая отвечает верхнему неустойчивому положению равновесия. Указаны значениях параметров первых интегралов и параметров вибрационного потенциала, при которых неустойчивое положение равновесия становится устойчивым (аналог условия Маевского). В зависимости от значений параметров получена классификация бифуркационных диаграмм. Исследовано качение неуравновешенного шара с осесимметричным распределением масс в рамках модели качения по гладкой плоскости при наличии момента трения качения и верчения. Показано, что поверхность, ограничивающая область возможных движений системы совпадает с поверхностью регулярных прецессий задачи без трения. Подробно рассмотрен случай момента вязкого трения качения, пропорционального горизонтальной составляющей угловой скорости тела. Показано, что в такой постановке эффект, аналогичный перевороту волчка Томсона, не наблюдается независимо от значений параметров шара (смещения центра масс и соотношения моментов инерции) и начальных условий. Проведено исследование качения с проскальзыванием однородного шара по равномерно вращающейся горизонтальной плоскости с учетом сил вязкого трения, возникающих при проскальзывании в точке контакта. Показано, что при стремлении коэффициента вязкости к бесконечности решение обобщенной задачи на каждом фиксированном интервале времени стремится к решению соответствующей неголономной задачи. Исследована задача о движении трех точечных вихрей на сфере. Показано, что после редукции задача сводится к исследованию гамильтоновой системы с вырожденной квадратичной скобкой Пуассона, что позволяет проанализировать эту задачу при помощи методов пуассоновой геометрии. Проведен полный бифуркационный анализ периодических решений системы и получена топологическая классификация типов симплектических листов в зависимости от значений функций Казимира и параметров системы. Рассмотрена задача Суслова о движении твердого тела по внутренней поверхности сферы с переменным гиростатическим моментом. Показано наличие траекторий, для которых поступательная скорость тела неограниченно возрастает и имеет асимптотику t^1/2. Также рассмотрено движение шара с переменными моментами инерции в рамках модели качения резинового тела (отсутствует проскальзывание и верчение) в двух вариантах: уравновешенный шар и шар со смещенным центром масс. Показано, что разгон (неограниченный рост кинетической энергии) уравновешенного шара невозможен вследствие существования запирающего первого интеграла. Для шара со смещенным центром масс показана возможность разгона. Рассмотрена задача о движении в присутствии силы трения саней Чаплыгина, на которых совершает колебания точечная масса. Показано, что при определенных значениях параметров саней траектории этой линейной системы некомпактны, следовательно, линейная диссипация не препятствует разгону саней. Исследовано управляемое движение в вязкой жидкости профиля с острой кромкой (профиля Жуковского). Получены уравнения движения, учитывающие эффект присоединенных масс, вязкое сопротивление и подъемную силу, возникающую вследствие циркуляции жидкости. Показано, что в общем случае в системе возможны только предельные циклы, соответствующие движению вдоль прямой и по окружности. Показано, что в результате каскада бифуркаций удвоения периода неподвижных точек в системе возникают странные аттракторы. Рассмотрена задача о движении надводного робота в форме крылового профиля NACA0040, приводимого в движение с помощью вращений ротора. Показано, что за счет крутильных колебаний ротора можно реализовать в среднем направленное движение робота. Предложена математическая модель, учитывающая нестационарность движения робота, и показано, что данная модель обеспечивает удовлетворительное согласование с экспериментом. Исследована динамика сферического робота комбинированного типа, управляемого за счет малых периодических колебаний. Представлены результаты численного моделирования движения при различных начальных условиях системы и различных управлениях, показана возможность стабилизации движения.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Продолжено исследование решений слабо нелинейного дефокусирующего уравнения Шредингера на торе большого периода, подверженного действию малой гипервязкости и слабого стохастического возмущения. Изучено разложение спектра энергии решения уравнения в формальный ряд по параметру, отвечающему за размер нелинейности. Третий член этого разложения является первым, дающим нетривиальный вклад в спектр энергии решения уравнения. Ожидается, что это главный вклад, то есть что высшие члены разложения дают лишь малую поправку. Исследовано асимптотическое поведение третьего члена разложения в пределе волновой турбулентности, то есть когда нелинейность, шум и вязкость стремятся к нулю с определенным скейлингом, а период тора достаточно быстро стремится к бесконечности. Эта задача сведена к асимптотическому исследованию сингулярных интегралов от дробей, в знаменателе которых стоит квадрат невырожденной квадратичной формы, отделенной от нуля прибавлением малой положительной функции. Следуя схеме, предложенной в работе С.Б. Куксина, где эта задача решалась для квадратичной формы специального вида, изучено асимптотическое поведение класса подобных интегралов, в которых вместо квадратичной формы в знаменателе стоит произвольная морсовская функция с конечным числом критических точек, удовлетворяющая естественным условиям роста. Показано, что асимптотика задается некоторыми интегралами по (гладкому) многообразию нулей функции B, полученному из множества всех ее нулей выбрасыванием критических точек. Мы ожидаем, что этот результат найдет приложения при строгом анализе других моделей волновой турбулентности. Были получены достаточные условия существования вынужденных колебаний в неавтономных механических системах. Ранее аналогичные результаты были получены при условии наличия в системе трения. Представленные результаты верны как для систем с трением, так и для систем без трения. Общие утверждения иллюстрируются примерами. Доказано, что любой близкий к тождественному диффеоморфизм, сохраняющий объем, симплектическую структуру или Пуассонову структуру постоянного ранга с экспоненциальной точностью включается в поток автономного векторного поля, которое принадлежит соответствующей подалгебре векторных полей исходного многообразия. Доказана линейная связность группы диффеоморфизмов, сохраняющих форму объема в стандартном евклидовом пространстве. Найдены достаточные условия, при выполнении которых заданный диффеоморфизм, сохраняющий гладкую функцию на компактной поверхности, не изотопен тождественному отображению в заданной подгруппе. Доказано, что группа диффеоморфизмов некомпактного многообразия, сохраняющих форму объема, относительно которой многообразие имеет конечный объем, а также имеющих одно и то же инвариантное компактное подмножество, является локально линейно связной подгруппой при ограничении отображений на это инвариантное множество. Получена теорема существования периодических решений в натуральной лагранжевой системе с голономными связями. Лагранжиан и связи обладают дискретной группой симметрий и имеют сингулярности типа "полюс второго порядка". Получена теорема существования двусторонне ограниченного решения для дифференциального включения. Дифференциальное включение построено методом Филиппова по системе дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной правой частью. Рассмотрены приложения к механике систем с сухим трением. Для эргодических динамических систем уравнение Лиувилля представлено в гамильтоновом виде. Указан бесконечный набор квадратичных инвариантов, которые находятся попарно в инволюции относительно скобки Пуассона, порожденной указанной гамильтоновой структурой. Установлена теорема о неустойчивости равновесий общих механических систем с двумя степенями свободы, когда потенциальная энергия в положении равновесия не имеет ни максимума, ни минимума. Доказана слабая эргодичность бильярда в прямоугольном параллелепипеде с перегородкой. Исследованы квазислучайные траектории быстро-медленной гамильтоновой системы в окрестности гомоклинического множества быстрой (замороженной) системы. Показано, что существует локальный аналог адиабатических инвариантов, которые определяют квазислучайные скачки медленных переменных. Полученные результаты частично обобщают на многомерной случай результаты А. Нейштадта о разрушении адиабатических инвариантов. Изучены ударные волны и их структура в несжимаемой анизотропной упруго-пластической среде с упрочнением. Процессы в структуре определяются релаксацией напряжений, которая обеспечивает упрочнение среды. Выяснено, что ударная адиабата может состоять не только из одномерных, но и двумерных частей. Исследована глобальная неустойчивость мягких упругих трубок конечной длины, содержащих текущую неньютоновскую жидкость. Доказано, что для степенного реологического закона неустойчивость может иметь место лишь при показателе степени n<1/3. Численно проанализировано поведение собственных частот трубок конечной длины и их связь с предельной кривой глобальной неустойчивости. Показано, что уединенные волны огибающей для умеренных глубин воды теоретически могут быть описаны нелинейным уравнением Шредингера, полученным в предположениях слабо нелинейно-длинноволновой формулировки. Показано также, что длины огибающих уединенных волновых пакетов, полученные в рамках полного и слабонелинейного описания (при помощи уравнения Шредингера) более чем удовлетворительно совпадают. Ранее было также показано, что близки длины монохроматических наполнений уединенных волновых пакетов и фазовые скорости этих волн. Из всего этого сделан вывод об адекватности описания распространения нелинейных волн небольшой амплитуды на поверхности жидкости конечной (небольшой по сравнению с длиной волны) глубины в рамках слабонелинейно-длинноволновой формулировки. Доказано существование сингулярного предела в уравнениях полностью нелинейной формулировки, когда изгибная жесткость ледяной оболочки стремится к нулю, и формально получается гравитационно-капиллярный случай. Численно исследован процесс спонтанного формирования двумерной ячеистой структуры детонации пропановоздушной смеси в каналах различной ширины. Установлено, что при ширине, меньшей определенного критического значения, ячеистая структура не формируется. С увеличением ширины в зависимости от величины этого параметра в некотором ее интервале реализуется либо половина ячейки (тройная точка одна и перемещается вдоль головного скачка от одной стенки канала до другой), либо одна ромбовидная ячейка, либо полторы ячейки, либо две и т.д. Начиная с одной ячейки ее поперечный размер образует последовательность: 2*( h/2), 2*( h/3), 2*( h/4), 2*( h/5) и т.д., где h из соответствующего интервала. Согласно расчетам спонтанно формируется такая ячеистая структура, в которой ромбовидные ячейки одинаковой формы и размера, а поперечник ячейки не превосходит максимального поперечного размера одиночной ячейки, но близок к нему. В программной среде OpenFoam 7 численно исследован процесс инициирования одномерных волн детонации в смеси водорода с кислородом и азотом. Установлено, что при инициировании мгновенным нагревом смеси до температуры 1200К в зоне у закрытого конца канала формируется пересжатая волна детонация без пульсация давления на головном ударном фронте, тогда как при мгновенном нагреве с линейным перепадом температуры от 1200К на торце канала до 300К на коне зоны нагрева инициирование происходит без стадии пересжатой детонации. Получены данные об условиях формирования самоподдерживающейся волны и в динамике о распределениях газодинамических параметров: давления, температуры, плотности, скорости и концентраций компонент смеси, а также зависимости от времени координаты волны и ее скорости. Установлено, что параметры волны детонации совершают периодические колебания, связанные со сложной структурой течения с химическими реакциями. Проведено исследование движения неуравновешенной динамически симметричной и не симметричной сферы, которая катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости в присутствии внешнего магнитного поля в предположении что сфера может состоять полностью или частично из диэлектрика, ферромагнетика, сверхпроводящих или кристаллических материалов. Согласно существующей феноменологической теории, в этом случае анализ динамики шара требует учета момента Лоренца, эффекта Барнетта - Лондона и Эйнштейна - де Гааза. Для интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, которая описывает динамику волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса, наглядно представлены результаты исследования проблемы устойчивости положений равновесия. Как оказалось, оба положения равновесия при наличии вибрирующей точки подвеса могут быть неустойчивыми, что соответствует существованию фокусных особенностей в указанной модели. Отметим случай, когда изолированные точки на бифуркационной диаграмме могут совпадать. Это происходит при нулевом значении интеграла площадей и когда центр масс помещен в начало системы координат, связанным с твердым телом, но при этом параметр, который отвечает за воздействие на точку подвеса вибрирующего потенциала, должен быть отрицателен. Это приводит к существованию особого слоя с doubly pinched тором в прообразе изолированного критического значения отображения момента.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
С помощью теории Ходжа указана структура непотенциальных сил на замкнутом конфигурационном многообразии, когда роль римановой метрики играет кинетическая энергия системы. Этот результат является усилением классической теоремы Гельмгольца о разложении силы в сумму потенциальной и циркуляционной сил в предположении евклидовости пространства. Эти общие соображения применены к задаче об устойчивости линейных систем, когда определяющая силовое поле матрица представляется в виде симметричной матрицы и матрицы с нулевым следом. Рассмотрена задача об устойчивости состояний равновесия нелинейных циркуляционных систем. Установлена неустойчивость равновесия в типичном случае вырождения, когда потенциальная энергия теряет свойство строгого минимума. Получено обобщение леммы Шильникова для нормально гиперболического симплектического многообразия гамильтоновой системы. Рассмотрен случай как вещественных, так и комплексных ведущих собственных значений критических точек замороженной системы. Полученные результаты применены к исследованию многомерных гамильтоновых систем, зависящих от параметра, медленно меняющегося со временем. Построены траектории, для которых энергия долгое время остается вблизи критического значения. Полученные результаты частично обобщают результаты А.И.Нейштадта на многомерный случай. В открытой области n-мерного арифметического пространства рассматривалась система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, разрешённая относительно старших производных, с правыми частями, являющимися регулярными функциями времени и положения системы. По скоростям правые части являются измеримыми по Лебегу функциями при каждом фиксированном значении времени и положения. Такая зависимость от скоростей типична для систем с силами сухого трения. В работе построен метод типа метода функций Ляпунова, позволяющий доказывать теоремы существования ограниченных решений, определённых при всех действительных значениях времени. Рассмотрены приложения к конкретным задачам. Получены результаты о неинтегрируемости по Лиувиллю дискретных моделей нитей. В качестве основной модели нити рассматривался замкнутый плоский многоугольник. При этом предполагалось, что все силы, действующие на систему, потенциальны. В таком случае система является гамильтоновой. Было показано, что для большого числа дискретных нитей условия теоремы И.А. Тайманова не выполняются и система не может быть интегрируемой в классе аналитических функций. В частности, если рассматривается дискретная нить с двумя неподвижными точками и достаточно большим числом звеньев, то такая система будет неинтегрируемой для большинства значений параметра, задающего расстояние между неподвижными точками. Точнее, мера таких расстояний стремится к нулю при стремлении к нулю длины каждого из звеньев. В этой модели основным объектом рассмотрения является замкнутый многоугольник, у которого одна сторона равна расстоянию между неподвижными точками, а другие стороны имеют одинаковую длину (их суммарная длина должна быть не больше расстояния между неподвижными точками). При стремлении к нулю длин этих сторон мы получаем достаточно точную модель нити. Доказанные теоремы дают первые неочевидные применения общей теоремы И.А. Тайманова. Исследовался топологический подход к классическому методу усреднения. Был предложен подход, с помощью которого результат о сопоставлении решений исходной и усредненной системы на бесконечном интервале получается из соответствующего классического результата для усреднения на конечном интервале. Данный результат может использоваться и в случае, когда рассматривается управляемая система типа перевернутого маятника. Доказана линейная связность группы диффеоморфизмов, сохраняющих форму объема в стандартном евклидовом пространстве. Были найдены достаточные условия, при выполнении которых заданный диффеоморфизм, сохраняющий гладкую функцию или дифференциальную 1-форму на компактной поверхности, не изотопен тождественному отображению в заданной подгруппе. Доказано, что любой близкий к тождественному диффеоморфизм, сохраняющий объем, симплектическую структуру или Пуассонову структуру постоянного ранга с экспоненциальной точностью включается в поток автономного векторного поля, которое принадлежит соответствующей подалгебре векторных полей исходного многообразия. Опубликованы результаты комплексного исследования негамильтоновой динамической системы в задаче вращения свободного тела с наложенным на это вращение реономным ограничением Билимовича: A.V. Borisov, A.V Tsiganov, E.A. Mikishanina, On inhomogeneous nonholonomic Bilimovich system // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 94 (2021) 105573. В системе обнаружены такие динамические эффекты, как появление в фазовом пространстве убегающих траекторий, а также появление квази-аттракторов и странных аттракторов. Последние возникают в результате появления каскада бифуркаций удвоения периода. Приняты в печать результаты исследования динамики сочлененного транспортного средства, находящегося под периодическим возбуждением: E.A. Mikishanina, Qualitative analysis of the dynamics of an articulated wheeled vehicle with periodic excitation // принята в № 4, 2021, Russian Journal of Nonlinear Dynamics. В результате качественного исследования динамики системы (негамильтоновой и нестационарной), получено строгое доказательство отсутствия в системе неограниченного возрастания скорости. Проведена аналогия с системой уравнений движения саней Чаплыгина. Построены возможные траектории движения экипажа и графики искомых механических параметров с учетом различных особенностей конструкции. Проведен полностью бифуркационный анализ одной модели динамики волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса. Модель описывается вполне интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой с двумя степенями свободы с квадратичным потенциалом. Явно получена редукция к системе с одной степенью свободы, которая описывает динамику угла прецессии в эллиптических функциях Якоби. Явно указан многочлен четвертой степени, дискриминантное множество которого содержит бифуркационную диаграмму. Найдены все разделяющие кривые, которые формируют атлас бифуркационных диаграмм. Оказалось, что существует только пять типов бифуркационных, диаграмм, три из которых являются новыми по сравнению с классическим случаем волчка Лагранжа (без вибрационного потенциала). Для обобщенной интегрируемой модели вихревой динамики, которая включает динамику вихрей Бозэ-Эйнштейна конденсата и динамику вихрей в идеальной жидкости, ограниченной круговой областью, найдены новые типы бифуркационных диаграмм. Некоторые из них содержат петли, что дает положительный ответ на вопрос, поставленный А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко, о допустимых типах бифуркационных диаграмм, в частности, о возможности наличия петель в бифуркационной диаграмме. Продолжено исследование спектра энергии решения слабо нелинейного уравнения Шредингера, подверженного действию малых случайного возмущения и вязкости, в пределе волновой турбулентности. Исследованы высшие члены разложения спектра энергии в формальный ряд по амплитуде решения. Разработан язык диаграмм Фейнмана, позволяющий записать члены разложения в удобной для дальнейшего анализа форме. Каждый член разложения представлен в виде конечной суммы по соответствующему подмножеству диаграмм, где слагаемыми являются быстро осциллирующие интегралы с (как правило, вырожденным) гауссовским ядром. Найден класс диаграмм («максимальный класс») такой, что на интегралах, соответствующих диаграммам из этого класса, достигается верхняя оценка, полученная для интегралов подобного вида на предыдущем этапе проекта. Показано, что если эта оценка достигается также и для сумм интегралов, задающих члены формального разложения спектра энергии, то для рассматриваемой системы фундаментальная гипотеза волновой турбулентности о том, что энергетический спектр хорошо приближается первыми тремя членами формального разложения, окажется не верна, так как оценка слишком слаба. Исследован вопрос можно ли улучшить верхнюю оценку на члены формального ряда для спектра энергии, учитывая возможные сокращения между интегралами. Используя симметричность диаграмм из максимального класса, между соответствующими им интегралами найдены сокращения, приводящие к желаемой оценке. Между остальными интегралами также найдены сокращения внутри «класса симметрий» соответствующих диаграмм, однако сокращения тем слабее, чем меньше симметрий в классе. Высказана гипотеза, что полученная ранее верхняя оценка может быть улучшена для интегралов, соответствующих диаграммам с малым числом симметрий. С учетом найденных сокращений, доказательство этой гипотезы приведет к желаемой оценке на члены разложения спектра энергии в формальный ряд. Рассмотрим малое возмущение системы Гамильтона с (n+1)-степенью свободы и сепаратрисой в фазовом пространстве. Пусть система имеет представление в виде суммы n-мерного ротатора и одномерного маятника. Рассмотрим некоторую окрестность сепаратрисы в фазовом пространстве. Тогда инвариантные торы возмущенной системы заполняют собой всю окрестность, за исключением малого множества меры порядка корня квадратного из возмущения. Изучены решения нелинейной гиперболической системы уравнений, описывающих распространение волн в упругопластических средах. Особое внимание уделено изучению решений, представляющих структуры разрывов (допустимых разрывов). Решения стандартных автомодельных задач строятся в виде последовательностей, содержащих простые неопрокидывающиеся волны и допустимые разрывы. Численно определено глобальное семейство уединенных волн, содержащих уединенные волны всех возможных амплитуд, а также глобальные семейства солитонообразных волн другой природы в двухкомпонентной, свободной от столкновений, изотропной и полностью ионизированной плазмы в тепловом равновесии. Произведено сравнение длин волн огибающих, монохроматических волн и скоростей так называемых уединенных волн огибающей на поверхности идеальной жидкости (воды) под ледяным покровом, находящимся в напряженном состоянии, для жидкости умеренной глубины в рамках полной нелинейной и слабонелинейной формулировок. Проведено исследование возможных локальных конфигураций кривых в комплексной плоскости частот, являющихся аттракторами собственных значений физических систем большой протяжённости. Показано, что для точек таких кривых, не принадлежащих мнимой оси, существуют три устойчивые локальные конфигурации: регулярная точка, конец кривой (точка ветвления k(omega)) и точка разветвления кривой. Для точек кривых, расположенных на мнимой оси, существуют семь устойчивых локальных конфигураций. Исследованы возможные бифуркации асимптотических кривых при изменении внешних параметров задачи. Изучены три бифуркации общего положения, возможные с точками, не лежащими на мнимой. Рассмотрены основные виды бифуркаций для точек, лежащих на мнимой оси.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Рассмотрены натуральные системы с торическим конфигурационным пространством и кинетической энергией в виде «плоской» римановой метрики на торе. Потенциальная энергия предполагается гладкой функцией на конфигурационном торе. Обсуждается известная и пока не доказанная гипотеза об однозначных полиномиальных по импульсам первых интегралах, независимых от интеграла энергии: если имеется такой интеграл степени m, то обязательно существует полиномиальный интеграл степени не больше двух. Другими словами, тогда либо имеется скрытая циклическая координата, либо канонические координаты разделяются. Эта гипотеза полностью доказана при m = 3, 4. Исследованы дискретные симметрии множества резонансных прямых в таких системах, что позволило дать новые критерии существования однозначных полиномиальных интегралов при m = 5, 6, подтверждающие указанную выше гипотезу. Исследовались многомерные быстро-медленные гамильтоновы системы в окрестности гомоклинического множества замороженной системы. Получены явные формулы для обобщенного сепаратрисного отображения, описывающего траектории системы, проходящие вблизи гомоклинической траектории. Исследована асимптотика производящей функции сепаратрисного отображения. Доказано существование квазислучайной траектории с заданным законом эволюции медленных переменных в окрестности многообразия неопределенности. Нами доказано общее утверждение, которое включает в себя следующую систему. Рассмотрим сферический маятник в однородном поле тяжести и при наличии дополнительной горизонтальной силы, а также некоторой силы, величина которой зависит от скорости маятника. В качестве примера такой системы можно рассмотреть обычный сферический маятник в вертикальном магнитном поле постоянной напряженности при наличии T-периодической горизонтальной силы. Горизонтальная сила зависит только от времени. Показано, что в такой системе существует Т-периодическое решение без падений. Другими словами, существует решение такое, что вдоль этого решения маятник всегда остается в верхней полусфере. Эта система является обобщением системы, предложенной Х. Уитни. Рассмотрена задача о качении без проскальзывания сферической оболочки с маятниковым приводом (сферическим роботом), установленным в геометрическом центре сферы. Движение сферического робота управляется сервосвязью Билимовича за счет генерации приводом управляющего крутящего момента. Найдены условия для реализации программы движения, заданной сервосвязью. Анализ динамики основан на изучении фазовых портретов системы, карт за период, графиков желаемых механических параметров. Рассмотрена неголономная система, которая описывает качение без проскальзывания сферы Чаплыгина по горизонтальной плоскости, сочлененной неголономными шарнирами со скользящими невесомыми опорами. Получены уравнения движения. На уровне первых интегралов задача сведена к двум квадратурам для углов Эйлера, проведен бифуркационный анализ полученной динамической системы, а также анализ поведения траектории точки контакта. Аналитически доказано, что в случае нулевой константы площадей траектория точки контакта «убегающая», иначе, ограничена участком опорной плоскости конечной площади. В 2022 году исследовался ряд свойств измеримых отображений, действующих из одного пространства с мерой в другое. Работа мотивирована потребностью обобщить результаты Филиппова на бесконечномерные динамические системы с сухим трением. Такие системы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с разрывной правой частью и, вообще говоря, не имеют решений в классическом смысле. Для определения обобщенных решений подобных систем подходит регуляризация по Филиппову. В конечномерной версии эта модель была изучена самим Филипповым. В данной работе решен ряд теоретико-функциональных вопросов для бесконечномерного случая, что позволяет применить технику Филиппова для исследования систем с сухим трением. Получены теоремы, которые обобщают ряд технических результатов Филиппова на измеримые отображения абстрактных пространств. Продолжено исследование поведения спектра энергии решения слабо нелинейного уравнения Шредингера на торе, подверженного малому действию малых случайного возмущения и вязкости. Рассмотрен предел, когда сперва нелинейность стремится к нулю, а затем период тора стремится к бесконечности. Задача сведена к исследованию поведения решения эффективного уравнения, полученного из исходного процедурой резонансного усреднения, в пределе, когда период тора стремится к бесконечности. Энергетический спектр решения эффективного уравнения разложен в формальный ряд по амплитуде и исследован указанный предел для срезки этого ряда. Показано, что он управляется волновым кинетическим уравнением, отличным от классического. В частности, полученное уравнение неавтономно. Ключевую роль в проведенном анализе сыграл круговой метод аналитической теории чисел, позволивший найти асимптотики суммирований, дающих члены указанного ряда. Установлено, что стоячие выпуклые локализованные волновые структуры, формирующихся в заполненной жидкостью осесимметричной податливой мембранной трубке с неоднородной стенкой спектрально устойчивы относительно осесимметричных колебаний. Упругий материал трубки соответствует биологическому материалу человеческих сосудов. Рассмотрено влияние мелкомасштабных процессов в структуре разрывов на решение задачи о распаде разрыва. Изучено решение задачи о распаде разрыва для системы уравнений, описывающих распространение нелинейных волн в слабоанизотропной упругой среде в случае, когда задача имеет неединственное решение. Показано, что решение задачи зависит от мелкомасштабных процессов дисперсии и диссипации. Влияние дисперсии приводит к появлению решений, которые содержат особые (неклассические) разрывы. Проведено численное исследование положения собственных частот конкретных систем при различных размерах системы. Рассмотрено две системы: упругая пластины, находящаяся в сверхзвуковом потоке газа, и упругая трубка, содержащая движущуюся степенную жидкость. В обоих случаях прослежено движение собственных частот при изменении длины системы (длины пластины или длины трубки, соответственно) от коротких к большим. На мощностях ФГУБ Межведомственный Суперкомпьютерный Центр РАН поведена серия экспериментов, моделирующих сверхзвуковое течение многокомпонентной реагирующей водородно-воздушной смеси. Для разработанной модели, реализованной с использованием библиотек opensource программного обеспечения OpenFоam и swak4Foam проведено исследование двумерной и трехмерной ячеистой детонации в стехиометрической водородно-воздушной газовой смеси в каналах различного поперечного размера с целью определения в динамике влияния этого параметра, а также явлений переноса на форму и размер детонационных ячеек. Получены следующие научные результаты: • Установлено, что вязкость вызывает увеличение размера детонационных ячеек, а размеры ячеек в невязком потоке, в вязком потоке с условием проскальзывания на стенках и в вязком с условием прилипания находятся в пропорции (1:1.2:1.8). • Получено, что из-за вязкости уменьшается количество нестационарных образований в потоке, ввиду подавления вязкостью имеющего место в ее отсутствие повторяющегося процесса объединения детонационных ячеек в одну и последующего ее распада. • Обнаружено, что во всех случаях в процессе распространения течения по каналу происходит увеличение размера детонационных ячеек и уменьшение их числа (на старте детонации всегда максимальное количество ячеек, и они самые мелкие). • Установлено, что в трехмерном канале ячейки имеют менее четкие очертания, чем в плоском, и при этом наблюдаются более высокие пиковые давления в местах соударения поперечных волн (примерно на 0.3).