Аннотация результатов, полученных в 2024 году
За первый год выполнения проекта разработан метод возмущений для исследования задач о распространении электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в плоском открытом волноводе, заполненном нелинейной средой. Линейная составляющая диэлектрической проницаемости возмущена немонотонной функцией от поперечной координаты волновода. Коэффициенты нелинейности исходных задач являются положительными и состоят каждый из двух слагаемых: положительная постоянная (не обязательно малая по величине) и малое непрерывное слагаемое произвольного знака (это слагаемое является возмущением). Если положить возмущающее слагаемое равным нулю, то каждая из исходных задач остается нелинейной и имеет нелинеаризуемые решения. Во-первых, для указанных (возмущенных) задач доказаны результаты о существовании глобальных решений вспомогательных задач Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что краевые условия (в том числе и условия сопряжения) для рассматриваемых задач порождают вспомогательные задачи Коши для возникающих в таких задачах нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, введены характеристические функции для невозмущенных и возмущенных задач и доказаны результаты об эквивалентности характеристических функций этим задачам. Эти результаты опираются на факты, полученные в первом пункте. Теоремы эквивалентности – это второй важный шаг на пути к основному результату – теоремам о разрешимости. При наличии теоремы об эквивалентности мы можем перейти от изучения исходной задачи в дифференциальной формулировке к изучению характеристической функции. В-третьих, используя найденные характеристические функции, построены возмущенные характеристические уравнения (для возмущенных задач). В-четвертых, на основе результатов, перечисленных выше, доказано существование решений возмущенных характеристических уравнений в окрестностях решений характеристических уравнений невозмущенных задач. Среди таких решений есть и нелинеаризуемые. Здесь ключевым, на наш взгляд, результатом является доказательство существования нелинеаризуемых решений нелинейной задачи, то есть таких решений, которые не переходят в какие-либо решения линеаризованной задачи при стремлении к нулю коэффициента нелинейности. Разработаны численные методы нахождения собственных значений и собственных функций. Эти методы реализованы в виде комплексов программ. Проведено много вычислительных экспериментов. Вычисления показывают, что помимо ожидаемых результатов (о наличии возмущенного решения в окрестности невозмущенного при достаточно малых коэффициентах возмущений) появляются и такие решения, которые не «улавливаются» теорией возмущений.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
За второй год выполнения проекта разработан метод возмущений для исследования задач о распространении двухчастотных электромагнитных ТЕ-ТЕ- и ТЕ-ТМ-волн в плоском открытом волноводе, заполненном нелинейной средой. Диэлектрическая проницаемость волновода, вообще говоря, состоит из двух слагаемых: линейной части и нелинейной. Оба слагаемых в диэлектрической проницаемости подверглись возмущению. Если один из коэффициентов возмущения (в нелинейной части) положить равным нулю, то каждая из исходных задач распадается на две более простые нелинейные задачи. Во-первых, для указанных (возмущенных) задач доказаны результаты о существовании глобальных решений вспомогательных задач Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что краевые условия (в том числе и условия сопряжения) для рассматриваемых задач порождают вспомогательные задачи Коши для возникающих в таких задачах систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, введены характеристические функции для невозмущенных и возмущенных задач и доказаны результаты об эквивалентности характеристических функций этим задачам. Эти результаты опираются на факты, доказанные в первый год выполнения проекта, а также на результаты, полученные в первом пункте. Теоремы эквивалентности – это второй важный шаг на пути к основному результату – теоремам о разрешимости. При наличии теоремы об эквивалентности мы можем перейти от изучения исходной задачи в дифференциальной формулировке к изучению характеристических функций. В-третьих, используя найденные характеристические функции, построены возмущенные системы характеристических уравнений (для возмущенных задач). В-четвертых, на основе результатов, перечисленных выше, доказано существование решений систем возмущенных характеристических уравнений в окрестностях решений характеристических уравнений невозмущенных задач. Среди таких решений есть и нелинеаризуемые. Здесь ключевым, на наш взгляд, результатом является доказательство существования нелинеаризуемых решений нелинейной задачи, то есть таких решений, которые не переходят в какие-либо решения линеаризованной задачи при стремлении к нулю коэффициентов нелинейности. Разработаны численные методы нахождения собственных значений и собственных функций. Эти методы реализованы в виде комплексов программ. Проведено много вычислительных экспериментов. Вычисления показывают, что помимо ожидаемых результатов (о наличии возмущенного решения в окрестности невозмущенного при достаточно малых коэффициентах возмущений) появляются и такие решения, которые не «улавливаются» теорией возмущений.