Разработка гибридного метода конечных элементов с локальной регулязирацией решений на основе асимптотических моделей градиентной теории упругости

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-79-10228

НазваниеРазработка гибридного метода конечных элементов с локальной регулязирацией решений на основе асимптотических моделей градиентной теории упругости

Руководитель Соляев Юрий Олегович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)" , г Москва

Конкурс №71 - Конкурс 2022 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 09 - Инженерные науки; 09-101 - Прочность, живучесть и разрушение материалов и конструкций

Ключевые слова Метод конечных элементов, регуляризация решений, градиентная теория упругости, модифицированный конечный элемент, концентрация напряжений, сеточная зависимость решений

Код ГРНТИ30.19.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Наиболее распространенные современные методы инженерного прочностного анализа, применяемые для описания процессов разрушения элементов конструкций, основаны на использовании моделей линейно-упругой механики разрушения (ЛУМР), когезионных моделей и моделей прогрессирующего разрушения. Недостатком подхода ЛУМР является возникновение нефизичных сингулярностей, а также невозможность описания процессов зарождения трещин и единообразного прогноза прочности конструкций с дефектами малого и большого размера ("масштабный эффект прочности"). При использовании когезионных моделей возникает проблема определения параметров, входящих в закон для сил сцепления, и необходимость задания пути развития трещины. При использовании моделей прогрессирующего разрушения, фактически, исключается из рассмотрения проблема достоверного описания уровня концентрации напряжений вблизи вершины трещины и проблема выполнения граничных условий на образующихся новых поверхностях. Кроме этого, ни один из указанных подходов не позволяет обеспечить регулярность и сеточную сходимость в случае присутствия или возникновения областей с неоднородными (негладкими) граничными условиями или с сосредоточенными силами, приводящими к логарифмическим особенностям в поле напряжений или перемещений, соответственно. В данном проекте предлагается разработка гибридного метода конечных элементов (КЭ), в котором для аппроксимации решений вблизи концентраторов будут использоваться расширенные наборы аппроксимирующих функций, отвечающие уравнениям равновесия (движения) градиентной теории упругости (ГТУ). Предлагаемая тематика основана на результатах исследований, полученных в течение последних 10-15 лет, в которых было показано, что в ГТУ реализуются регулярные решения для поля напряжений и деформаций в задачах с трещинами, острыми вырезами, сингулярными точками. При этом имеет место естественная возможность описания масштабного эффекта прочности в рамках единой концепции, основанной на применении критериев прочности для задач с конечной концентрацией напряжений. Было показано, что идентификация дополнительных масштабных параметров ГТУ возможна на основе типовых экспериментов, которые применяются для определения параметров трещиностойкости хрупких и квази-хрупких материалов. Более того для стандартных материалов можно использовать известную связь между параметрами прочности, трещиностойкости и характерного размера зоны предразрушения (критического размера трещины) для оценки масштабных параметров ГТУ. Идея предлагаемого проекта обобщает классические гибридные конечно-элементные методы, в которых вблизи концентраторов размещаются специальные сингулярные элементы, содержащие аппроксимирующие функции, отвечающие асимптотическим решениям ЛУМР и содержащие особенности в поле деформаций и напряжений. Заметим, что такие модели являются основой для разработки более сложных теорий, таких как расширенный метод КЭ (XFEM), которые широко используются для описания процессов развития и роста трещин. Предлагаемый подход, по сути, объединяет в себе достоинства известных численных методов механики разрушения, так как в рамках стандартных подходов прочностного анализа (как в моделях прогрессирующего разрушения), позволяет достоверно описывать особенности изменения концентрации напряжений и номинальной прочности материала, содержащего дефекты различного размера (как ЛУМР), вплоть до трещин микроскопических размеров (как когезионные модели). При этом рассматриваемый подход не требует априорного задания пути развития трещины, но может быть использован для оценки направления роста трещины. Поэтому в дальнейшем, предлагаемый подход может быть использован и в рамках моделей с дополнительной разрывной аппроксимацией поля перемещений и произвольным направлением роста трещины, независящим от КЭ сетки (аналогично моделям ЛУМР, реализованным в XFEM). Более того, использование асимптотических решений ГТУ позволяет обеспечить регуляризацию широкого класса классических сингулярных задач с неоднородными граничными условиями и с сосредоточенными нагрузками. Для разработки предлагаемого нового численного метода в проекте должны быть решены следующие задачи: 1) Должны быть выбраны расширенные системы аппроксимирующих функций для плоских и трехмерных задач на основе известных и новых асимптотических решений ГТУ для различных задач с концентраторами напряжений. 2) Должны быть разработаны новые модифицированные конечные элементы, использующие выбранную апроксимацию. Должна быть реализована методика сшивки решений между разработанными новыми элементами и стандартной КЭ сеткой. Должна быть выполнена программная реализация разработанного метода. 3) Должны быть проведены исследования сходимости предложенных численных методов в рамках элементарных и усложненных тестовых задач. Должно быть проведено тестирование согласованности получаемых решений с известными аналитическими и численными решениями, полученными на основе иных подходов в ГТУ. 4) Должна быть показана возможность описания и предсказания экспериментальных данных по разрушению различных хрупких и квази-хрупких материалов с использованием предложенного численного метода.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Соляев Ю.О., Короленко В.А. Application of Papkovich-Neuber general solution for crack problems in strain gradient elasticity Lobachevskii Journal of Mathematics (год публикации - 2023)

2. Соляев Ю.О. Semi-analytical solution for the Lamb’s problem in second gradient elastodynamics Wave Motion (год публикации - 2023)

3. Лурье С.А. Обобщенные формулы Чезаро и уравнения совместности третьего порядка Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика (Moscow University Physics Bulletin) (год публикации - 2023)

4. Соляев Ю.О. Higher-order asymptotic crack-tip fields in simplified strain gradient elasticity Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Volume 130, 104321 (год публикации - 2024)
10.1016/j.tafmec.2024.104321

5. Соляев Ю.О. Complete general solutions for equilibrium equations of isotropic strain gradient elasticity Journal of Elasticity, pp. 1-18 (год публикации - 2023)
10.1007/s10659-023-10039-4

6. Лурье С.А., Соляев Ю.О. Variant of strain gradient elasticity with simplified formulation of traction boundary value problems ZAMM‐Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, № 12, т. 103, с. e202300329 (год публикации - 2023)
10.1002/zamm.202300329

7. Лурье С.А., Устенко А.Д. К проблеме моделирования прочности составного тела с трещиной поперечного сдвига на основе несингулярных решений механики трещин Деформация и разрушение материалов (переводная версия: Russian Metallurgy (Metally)) (год публикации - 2025)

8. Соляев Ю.О., Добрянский В.Н. Enriched C1 finite elements for crack problems in simplified strain gradient elasticity Preprint (год публикации - 2025)

9. Соляев Ю.О. Steady-State Crack Growth in Nanostructured Quasi-Brittle Materials Governed by Second Gradient Elastodynamics Applied Sciences (Switzerland), № 10, Т. 13, С. 6333 (год публикации - 2023)
10.3390/app13106333

10. Соляев Ю.О., Голубкин К.С., Шелков К.А. On energy-based methods for evaluation of critical stress of cracks in isotropic bodies with strain gradient effects Lobachevskii Journal of Mathematics, №6 (год публикации - 2025)

Публикации

2. Соляев Ю.О. Semi-analytical solution for the Lamb’s problem in second gradient elastodynamics Wave Motion (год публикации - 2023)

8. Соляев Ю.О., Добрянский В.Н. Enriched C1 finite elements for crack problems in simplified strain gradient elasticity Preprint (год публикации - 2025)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
На третьем этапе проекта получены следующие основные результаты. Предложена формулировка нового гибридного С1 непрерывного метода конечных элементов (МКЭ) для решения трехмерных задач градиентной теории упругости (ГТУ), построенного на основе использования модифицированных конечных элементов, располагаемых на фронте трещины и содержащих расширенные наборы функций формы, обладающих необходимым асимптотическим поведением. В качестве обогащающих функций формы использованы наборы аналитических функций, линейные комбинации которых позволяют воспроизводить асимптотические решения задач градиентной теории упругости о трещинах моды I, II и III. Модифицированные элементы построены на базе 8-узловых изопараметрических гексаэдральных элементов, разработанных для трехмерных задач ГТУ. Предложенный подход к построению модифицированных элементов включает в себя нормировку обогащающих функций формы, которая позволяет сохранить С1 непрерывность решения в узлах конечно-элементной сетки. Реализованный вариант МКЭ позволяет снизить требования к размеру элементов вблизи фронта трещины для получения численных решений приемлемой точности, что оказывается особенно важным для ресурсоемких вычисленных в рамках трехмерной формулировки ГТУ. Показана сходимость получаемых численных решений в рамках задач ГТУ о трещинах в условиях нагружения по I, II, III модам и по смешанной моде. Проведены исследования влияния дополнительных параметров ГТУ на характер реализующихся «трехмерных эффектов» на концентрацию регулярных напряжений вблизи фронта трещины. Установлены эффекты, связанные со снижением концентрации вблизи свободной поверхности образца, коррелирующие с аналогичным поведением классических (но сингулярных) решений. Выполнена программная реализация разработанных восьмиузловых трехмерных гексаэдральных конечных элементов и разработанных ранее трехузловых плоских элементов с С1 непрерывной апроксимацией решений. Конечные элементы для плоских задач градиентной теории упругости также реализованы в виде пользовательских элементов в UEL Abaqus. Эта программная реализация позволяет использовать разработанные элементы в системе Abaqus, что за счет эффективных алгоритмов сборки и обращения матрицы жесткости, реализованных в данной системе, значительно ускоряет проводимые расчеты. С использованием плоских конечных элементов, разработанных на предыдущих этапах проекта, проведено моделирование экспериментальных данных по разрушающим нагрузкам образцов эпоксидной смолы, содержащей надрезы и естественные трещины различной длины и различно ориентированные по отношению к нагрузке. Испытания проведения по схеме трехточечного изгиба. Установлена возможность достоверного прогноза разрушающих нагрузок для образцов с различной геометрией трещин при использовании единственного значения масштабного параметра материала (в рамках определяющих соотношений ГТУ в форме Айфантиса), идентифицированного по результатам испытаний образцов с центральной вертикальной трещиной. Получены зависимости коэффициентов концентрации регуляризованных напряжений, значений амплитудных факторов асимптотических решений ГТУ и J-интеграла на основе разработанных плоских конечных элементов для описания стандартных испытаний образцов с краевыми и центральными трещинами. Предложены регрессионные зависимости для указанных величин с учетом их зависимости от геометрии образцов, длины трещины, значения коэффициента Пуассона и масштабного параметра материала, которые могут быть использованы для идентификации последнего на основе результатов стандартных испытаний на трещиностойкость (для хрупких и квази-хрупких материалов). Предложен новый метод построения решений для задач о трещинах конечного размера в рамках ГТУ. Метод основан на применении решения задачи Эшелби и энергетического критерия Гриффитса для оценки критических напряжений начала роста трещины. В рамках предложенного подхода дискообразная трещина рассматривается, как частный случай сфероидального включения-полости, высота которого стремится к нулю. Далее определяются значения собственных деформаций внутри включения, которые позволяют в интегральном смысле удовлетворить все граничные условия на берегах трещины при заданных на бесконечности однородных граничных условиях. В рамках рассматриваемого подхода получено замкнутое выражение для оценки критических напряжений начала роста трещины, записанное с точностью до осредненных значений компонент тензора Эшелби и его вторых производных. Показано, что классическое решение может быть восстановлено из полученного решения предельным переходом, если масштабный параметр материала стремится к нулю. Компоненты тензора Эшелби и их производные (которые в решении ГТУ являются не постоянными и не нулевыми во включении) вычислены на основе численного интегрирования. Показано, что для трещин достаточно большой длины по сравнению с масштабным параметром материала, построенное решение прогнозирует согласованность прогнозов ГТУ и классического решения для критической нагрузки начала роста трещины, что позволяет валидировать известные ранее численные решения и силовые критерии, применяемые в рамках ГТУ.

Публикации

2. Соляев Ю.О. Semi-analytical solution for the Lamb’s problem in second gradient elastodynamics Wave Motion (год публикации - 2023)

8. Соляев Ю.О., Добрянский В.Н. Enriched C1 finite elements for crack problems in simplified strain gradient elasticity Preprint (год публикации - 2025)

Возможность практического использования результатов
Разработанные новые конечные элементы позволяют проводить прочностной анализ для тел, содержащих трещины, границы раздела фаз и другие особые точки (зоны), в рамках градиентной теории упругости, без привлечения моделей механики разрушения. Особенностью такого подхода (впервые предложенного в работа В.В. Васильева, С.А. Лурье) является использование регулярных полей напряжений и деформаций, которые следуют из решений градиентных теорий, для оценки критической разрушающей нагрузки. Это позволяет единообразным образом описывать несущую способность тел с трещинами, острыми вырезами и другими типами дефектов в рамках анализа на основе критериев прочности, а также с учетом так называемого размерного эффекта прочности (см. работы З. Базанта), который естественным образом может быть описан в рамках решений градиентной теории упругости, определяющие соотношения которой содержат дополнительные масштабные параметры.