Аннотация результатов, полученных в 2025 году
До 3 страниц (6 тыс. символов) текста, также указываются ссылки на информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту. на русском языке Построены новые формулы аналитического продолжения, связывающие различные базисы в пространстве решений системы уравнений с частными производными, которой удовлетворяет гипергеометрическая функция Лауричеллы FD; рассматривается случай произвольного конечного числа N переменных. Система базисных функций {Uj}, j=0,1,…,N, может быть построена в виде набора интегралов от некоторого произведения биномов, по системе из N+1 контуров специального вида. За отчетный период разработан подход для построения формул перехода между произвольными двумя базисами такого типа {Uj} и {Vj} на основе интегрирования по петлеобразным контурам типа Похгаммера и применения формул преобразования типа Больца, а также построенных на предыдущих этапах проекта формул аналитического продолжения базисных функций, выражаемых в терминах функцию Лауричеллы. Ранее в работах авторов проекта были построены наборы базисных функций {Uj}, {Vj} и {Wj} в окрестностях точек (0,…,0), (∞,...,∞) , (1,…,1). Разработанный в 2024-2025 гг. подход к аналитическому продолжению, основанный на сочетании аналитических свойств и геометрического смысла контурных интегралов типа Эйлера, позволил построить наборы формул продолжения для полного набора базисных функций {Uj}, {Vj} и {Wj}, j=0,1,…, N, в том числе выписанных в терминах ряда Горна GD. Продолжена разработка такого алгоритма вычисления рядов FD и GD. Для этих рядов при произвольном числе переменных разработан эффективный алгоритм оценки остатков суммирования, обозначаемых соответственно RD (m, z1,…,zN) и RG (m, z1,…,zN); здесь m – параметр, отвечающий за число просуммированных членов рядов FD или GD соответственно. Для остатков суммирования выведены интегральные представления в виде контурных интегралов, значения которых можно эффективно вычислить с помощью квадратурных формул. Кроме того, на основе таких интегралов выведены асимптотики для RD (m, z1,…,zN) и RG (m, z1,…,zN) при параметре m, стремящемся к бесконечности. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что при достаточно больших значениях m найденные асимптотические формулы эффективны для оценки остатков суммирования. Кроме того, на основе таких формул численно реализован алгоритм вычисления значения параметра m, необходимого для обеспечения малости остатка суммирования, т.е. по заданному малому мы вычисляем такое m, что выполняется неравенство |RD(m)|< или |GD(m)|< . Построенный алгоритм оценки остатка суммирования ряда Лауричеллы FD и ряда Горна GD является важной составляющей алгоритма вычисления функции Лауричеллы с помощью формул аналитического продолжения, а также вычисления функций Лауричеллы, возникающих в при решении задачи Римана – Гильберта. Построено представление типа Кристоффеля – Шварца для решения F(w), w = u + iv, задачи Римана – Гильберта в верхней полуплоскости с кусочно-постоянным коэффициентом h (u) и кусочно-полиномиальной правой часть c(u). Для этого применены полученные тождества типа Якоби для функции Лауричеллы. С помощью формул типа Якоби в отчетный период также построена новая система тождеств для ассоциированных функций Лауричеллы. Каждое из таких тождеств является функциональным соотношением, означающие обращение в нуль комбинации с полиномиальными коэффициентами N+1 ассоциированных функций. Разработанный алгоритм вычисления функции Лауричеллы FD и ряда Горна GD также применен к решению проблемы вычисления параметров интеграла Кристоффеля – Шварца. Для таких параметров на предыдущем этапе проекта была сформулирована система трансцендентных уравнений, которая является следствием условий разрешимости задачи Римана – Гильберта с кусочно-постоянными h (u) и c (u), решением которой является функция, отображающая полуплоскость на заданный многоугольник. Для дуальной гипотезы Смейла для полиномов произвольной степени, имеющих 6 критических точек, получены следующие результаты. Пусть Q_n – класс полиномов P степени n, P(0)=P’(0)-1=0, имеющих ровно шесть различных критических точек, причём кратность критической точки с минимальным модулем равна n-6. Функционал S(P) = |P(1)/1|, действующий на Q_n, выражен через z_k = 1/q_k; Доказано, что S(P) не обращается в нуль; Доказано, что S(P) >= 1/n при |z_k|=1, найдены экстремали; Доказана дуальная гипотеза Смейла для полиномов из класса Q_n; Найдены все экстремали для данной задачи. Сформулирована гипотеза, из которой следует дуальная гипотеза Смейла, для полиномов с критическими точками, лежащими на луче В явном виде выписан функционал для упрощённого выражения; Разработан метод доказательства, основанный на свойствах частных производных; Доказан ряд вспомогательных лемм, дающих оценки на гипергеометрические функции; Новая гипотеза доказана для полиномов с критическими точками, лежащими на луче с началом в нуле. Для бианалитических и полианалитических функций получены аналоги теорем о разрешимости и единственности решения задачи о скачке и краевой задачи Римана. Теоремы сформулированы в том же виде, что и ранее полученные в ходе проекта теоремы о разрешимости и единственности решения для аналитических функций, условия накладываются на показатели Марцинкевича. Методы клиффордова анализа не позволяют получить достаточных условий для переноса аппарата на поверхности. Для уравнений Бельтрами была рассмотрена следующая постановка в терминах показателей Марцинкевича: для уравнения вида Бельтрами нужно найти решение на комплексной плоскости, за исключением, возможно, точек некоторой кривой, такое, что на точках этой кривой для этого решения выполняется краевое условие, аналогичное краевому условию в задаче Римана. Получена теорема, определяющая структуру множества решений уравнения Бельтрами. Введены новые версии показателей Марцинкевича - уточненные показатели Марцинкевича и версия показателей для дуг с существенными разрывами. В их терминах получены аналоги предыдущих результатов о разрешимости задачи о скачке. Полученные руководителем проекта результаты по теории краевых задач для аналитических функций и метрическим характеристикам сведены в обширную монографию.