Комбинаторные методы в логике, алгебре, алгебраической геометрии и символическая динамика

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00177

НазваниеКомбинаторные методы в логике, алгебре, алгебраической геометрии и символическая динамика

Руководитель Белов Алексей Яковлевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)" , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра

Ключевые слова Универсальная алгебра, комбинаторная теория колец, аффинная алгебраическая геометрия, полиномиальные автоморфизмы, проблема Якобиана, квантизация, нестандартный анализ, комбинаторика слов, символическая динамика, разрешимость логических теорий, конечно порожденное тело, малые сокращения.

Код ГРНТИ27.17.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Расцвет комбинаторных методов за последние годы, видимо, во многом связан с цифровой цивилизацией. Связь эта – многообразна. Во-первых, она в том, что потребности вычислительной практики, начиная с середины 20-го века привели к многообразным задачам theoretical computer science – синтаксического описания языков, оценкам сложности вычислений, обработки длинных символьных строк и т.д. Во-вторых, все большее число задач, в том числе – из комбинаторной математики (а также – классической теории чисел, теории конечных групп и т.д.) поддаются решению только с использованием компьютера. В-третьих, computational thinking оказывает медленное влияние на вкусы и стили математической деятельности в самых разных областях. В последние годы получила значительное развитие комбинаторика, комбинаторные рассуждения стали иметь куда большее значение в различных разделах математики (отчасти это связано с тем, что значительная часть исследователей проходит через олимпиады, с их плюсами и, увы, минусами). Комбинаторные идеи успешно переносятся из одних разделов математики в другие, они хорошо работают при исследовании логических и алгоритмических вопросов. Проект прежде всего направлен на комбинаторные вопросы, относящиеся к копредставлениям алгебр -- исследованию образующих, соотношений и базисных элементов. Эти вопросы сопряжены с комбинаторикой слов и динамическими системами. Мы укажем на несколько взаимосвязанных направлений. 1. Проблематика, относящаяся к связям логики и алгебраической геометрии (в том числе некоммутативной) интересна и важна, но в то же время недооценена. Весьма популярны задачи о классификации алгебраических многообразий. Естественно возникает вопрос об алгоритмической разрешимости проблемы изоморфизма двух алгебраических многообразий над полем комплексных чисел. Даны два ассоциативно коммутативных кольца, заданные образующими и соотношениями. Как проверить, изоморфны ли они? Только недавно участниками Гранта была доказана алгоритмическая неразрешимость проблемы вложимости над полем нулевой характеристики. Появился оптимизм и по части положительной характеристики, отличной от двух. Это связано с решением уравнения Пелля над кольцом многочленов. Необходимую технику развил Я.Коллар https://en.wikipedia.org/wiki/János_Kollár в своей работе https://link.springer.com/article/10.1007/s10474-019-01008-2, ссылающейся на работу A. J. Kanel-Belov and A. A. Chilikov, On the algorithmic undecidability of the embeddability problem for algebraic varieties over a field of characteristic zero, Mat. Zametki, 106: 307–310 (2019). Предполагается распространить этот результат на произвольную положительную характеристику, отличную от 2. Здесь требуются дополнительные идеи - как при интерпретации целых чисел и их умножения, так и при их сравнении. В связи с этим возникают пусть небольшие, но все же осмысленные шансы и на атаку проблемы изоморфизма. Разрешимость системы уравнений в рациональных функциях означает вложение рационального многообразия. С системами уравнений связана бирациональная проблематика, которую можно обобщить и на другие классы. 2. Проблемы типа Шпехта дают важную рабочую точку зрения на магистральные направления современной алгебры: некоммутативную алгебраическую геометрию, на супер-теории и на теорию представлений. Традиционный подход связан с исследованием представлений простых объектов или около того (первичных). Проблема Шпехта относится к исследованию взаимодействия первичных объектов через радикал. Возникает довольно интересная теория, в том числе и для неассоциативных структур. Кроме того возникают вопросы, относящиеся к представлениям симметрической группы и супер-теориям. Так, благодаря построению бесконечно базируемой системы полиномов https://zbmath.org/?q=an%3A0960.16029. была понята концепция Грассмановой алгебры над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2 а также над кольцами, в том числе "патологическими" G. Dor, A. Kanel-Belov, U. Vishne, “The minus sign in arbitrary characteristic and the Grassmann algebra over arbitrary rings”, Transactions of the American Mathematical Society, series B., 7 (2020), 227–253 https://zbmath.org/?q=an%3A1456.16019, что дает возможность построения супер-теории в этом случае. Рассмотрим кольцо $K[x_1,\dots,x_n]$ и систему вывода, состоящую из взятия линейных комбинаций и подстановок $P(x_i)\to x_i$, многочлен $P$ не зависит от $i$. Если $n=1$, то эта система конечно базируема при любом $K$, если $n\ge 2$, то она конечно базируема при $\char(K)=0$, а в положительной характеристике всегда есть контрпримеры. Доказательство весьма нетривиально. Как замечено участниками Гранта, из него следует решение проблемы Гельфанда: нетеровости действия алгебры Ли полиномиальных векторных полей обращающихся в ноль в нуле на тензорных представлениях. https://istina.msu.ru/conferences/presentations/406939645/ Некоммутативная алгебраическая геометрия и комбинаторика некоммутативных многочленов оказалась тесно связана с исследованием полиномиальных автоморфизмов, в частности с гипотезой Якобиана и связанными с нею вопросами квантования. 3. Алгоритмические и алгебро-геометрические вопросы возникают при исследовании базисов алгебр. Пусть $A$ - ассоциативная алгебра над полем $k$ с упорядоченными образующими $a_1\prec\dots\prec a_s$. Порядок на образующих индуцирует порядок на множестве слов (сперва по длине, потом лексикографически). Нормальным базисом называется множество слов, не представимых в виде линейной комбинации мЕньших. Вопросы, связанные с устройством такого базиса, чрезвычайно важны в алгебре, имеют связи с логикой и алгебраической геометрией А. Я. Белов, В. В. Борисенко, В. Н. Латышев, “Мономиальные алгебры”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 26 (2002), 35–214. Росту (complexity), включая gap type theorems, посвящена обширная литература (см., например, Bell, Jason; Zelmanov, Efim, On the growth of algebras, semigroups, and hereditary languages. Invent. Math. 224, No. 2, 683-697 (2021)). Smoktunowicz, Agata There are no graded domains with GK dimension strictly between 2 and 3. Invent. Math. 164, No. 3, 635-640 (2006). М.Громовым была представлена работа A. Kanel-Belov, I. Melnikov, I Mitrofanov, “On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap”, Comptes Rendus - Série Mathématique., 359:3 (2021), 297-303. 4. Конечно определенные алгебраические объекты. Одной из непревзойденных вершин комбинаторного подхода является решение С. И. Адяном проблемы Бернсайда. Геометрическая интерпретация этого подхода в стиле теории малых сокращений, также с преодолением экстремальных технических трудностей, была построена А.Ю. Ольшанским и И. Рипсом. Естественно возникает вопрос об аналогах данной проблематики и подходов в случае полугрупп и колец. В.Н. Латышев обратил внимание на важность конечно определенных постановок. Открытым вопросом является существование конечно определенной бесконечной периодической группы. В то же время последнее время активно изучаются вопросы существования алгебраических объектов, заданных конечным числом определяющих соотношений. Л.Н. Шеврин и М.В. Сапир поставили проблему существования конечно определенной нильполугруппы. Построение такой полугруппы является результатом цикла работ членов Проекта И.А. Иванова-Погодаева и А.Я. Белова. При этом построении был применен новый метод построения конечно определенных объектов, связанный с рассмотрением элементов-слов как кодировок путей на специальном семействе геометрических комплексов И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Канель-Белов, “Конечно определенная нильполугруппа: комплексы с равномерной эллиптичностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:6 (2021).. Планируется развивать этот метод и для других алгебраических объектов, в частности для колец и групп. Данный подход к реализации подобных конструкций может быть интересен в Computer Sciencе, так как позволяет реализовывать одномерные инструкции (слова) как пути на мозаике, при этом вычисления приобретают визуализацию в виде преобразования эквивалентных путей. 5. Квантовыми аналогами теоретико-групповых конструкций служат кольцевые конструкции. Одно из центральных мест в теории групп занимает теория гиперболических групп, включающая в себя теорию групп с малыми сокращениями. Актуальной является задача построения ее кольцевого аналога (идеи на эту тему есть у И.Рипса и М.Л. Громова, частное сообщение). Имеется обширная проблематика, с этим связанная, изложенная, в частности, в Днестровской тетради. Перечислим лишь несколько наиболее актуальных проблем. Во-первых - это проблема Кете про то, будет ли сумма двух правых ниль-иделов ниль идеалом (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Koethe_conjecture). Во вторых это одна из проблем А.Г. Куроша - построение бесконечномерного тела, конечно порожденного как кольцо (поле рациональных функций как кольцо очевидным образом не конечно порождено) . Наиболее трудной представляется другая проблема Куроша - знаменитый вопрос о конечно порожденном бесконечномерном теле все элементы которого алгебраичны. В этой связи подготовлены работы A. Atkarskaya, A. Kanel-Belov, E. Plotkin, E. Rips, “Construction of a quotient ring of Z2_F in which a binomial 1+w is invertible using small cancellation methods”, Contemporary Mathematics, Israel Mathematical Conference Proceedings (IMCP), 726, American Mathematical Society, 2019, 1–76 , Atkarskaya A., Kanel-Belov A., Plotkin E., Rips E., Group-like Small Cancellation Theory for Rings, 2020 (Published online) , 273 pp., arXiv: 2010.02836. 6. Комбинаторные вопросы алгебры тесно связаны с проблематикой комбинаторики слов и динамических систем https://istina.msu.ru/dissertations/9403301/, https://istina.msu.ru/dissertations/4687237/. А.Я. Беловым и И.В. Митрофановым получена теорема типа теоремы Вершика--Лившица дающую критерий того, что почти периодическое сверхслово задается HDOLL-системой (первое продвижение по этой проблеме было в 1986 году). Это позволило И.В. Митрофанову решить известные проблемы, поставленные А.А. Мучником, Ю.Л. Притыкиным, А.Л. Семеновым: А. Мучник, Ю. Л. Притыкин, А. Л. Семенов, “Последовательности, близкие к периодическим”, УМН, 64:5(389) (2009), 21–96 - установить алгоритмическую разрешимость проверки периодичности а также почти периодичности HDOLL-системы https://istina.msu.ru/dissertations/28441979/. Аналогичный результат был независимо получен F. Durand'ом. В этой связи возникает вопрос о проблеме изоморфизма. Рассмотрим последовательность $W$ первых цифр $2^{n^2}: 121563...$. Оказывается, чтобы установить что количество ее подслов длины $n$ при $n>>1$ растет В ТОЧНОСТИ как полином, потребовалось исследовать фактор-динамики связанные с унипотентным преобразованием тора https://zbmath.org/?q=an%3A1263.37019. и его разбиениями При исследовании динамических систем и разного рода комбинаторных объектов возникают ряд вопросов относящихся к теории дифференциальных уравнений. нуждающихся в исследовании специалистов Например, с помощью метода движущейся прямой возникают кинетические уравнения на статистику распределения частей при случайных разбиениях плоскости. Удивительно, что фактор-динамики динамических систем связанных с перекладыванием отрезков не исследовались. По всей видимости задачи о конечности фактор динамик заданного перекладывания при фиксации числа слоев и о подстановочности фактор динамик подстановочной системы связаны с известной гипотезой Пизо. 7. Классической темой комбинаторики слов является символическая динамика. В Проекте продолжается изучение динамики внешних многоугольных биллиардов, введенных Бернардом Нойманом и предлагаемых Мозером, как модельный случай небесной механики. Компьютерное моделирование позволило и здесь достичь существенного прогресса. Изучая внешние биллиарды для n-угольников, С.Табачников заметил, что они приводят к периодическим траекториям при n = 3, 4, 6 и доказал, что в случае n = 5, 10 существуют апериодические траектории. В течение более 20 лет дальнейшего прогресса не было, за исключением работ Р. Шварца, а также N. Bedaride, J.Cassaigne, Outer billiard outside regular polygons. J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 84, No. 2, 303-324 (2011) где были получены красивые результаты. Участник проекта Рухович установил, что почти все траектории периодичны в случаях n = 8, 12; провел полное исследование. При этом возникает эффект фрактального самоподобия областей с одинаковыми символическими траекториями. Планируется рассмотреть принципиально более сложный случай n = 7. Недавно Ф.Рухович и В.Тиморин обнаружили два принципиально разных самоподобия в этом случае. Коэффициенты этих самоподобий порождают подгруппу полного ранга (=2) в группе единиц алгебраического поля K – поля разложения многочлена z^7-1 над рациональными числами (это то поле, в котором лежат все вершины правильного семиугольника при подходящем выборе системы координат). По всей видимости, можно установить континуальность множества замыканий апериодических орбит и как следствие, существование апериодической точки с кодом не являющимся подстановочным словом (в отличие от всех известных ранее случаев). В данной области (двойственные бильярды вне правильных многоугольников) наступил момент, когда от изучения отдельных примеров можно перейти к построению общей теории, а имеющиеся частные результаты уже подсказывают богатство этой теории. Интересны также теоретико-числовые аспекты, связанные с различными версиями обобщений теории цепных дробей. Начаты компьютерные эксперименты, получаемые визуализации являются не только источником эвристических соображений, но и способом наглядного формулирования точных утверждений. 8. Теория определимости. Чрезвычайно красивы задачи относящиеся к теории определимости. Например, отношение лежать между определимо через отношение порядка но не наоборот. Два отношения эквивалентны, если они взаимно определимы. Сколько неэквивалентных классов отношений, связанных с линейным порядком на множестве рациональных чисел? Этот вопрос неожиданно оказывается связан с теорией конечных простых групп и с $k$-транзитивностью действий конечной группы (которые при $k>1$ допускают описание, что является весьма нетривиальным, см. https://www.turgor.ru/lktg/2021/4/index.html). В недавней работе Семенова, выросшей из исследований по теории определимости, описаны отображения, сохраняющие отношения Хантингтона, производны от порядка. В рамках Проекта предполагается построить описание символических траекторий соответствующих динамических систем. Центральным классическим результатом теории определимости является теорема Свенониуса, устанавливающая анти-изоморфизм Галуа между решеткой определимости структуры и решеткой надгрупп автоморфизмов элементов этой решетки. В случае однородных структур все известные группы оказались конечными. А.Л. Семенов и С. Ф. Сопрунов впервые описали бесконечную решетку определимости – таковой оказалась решетка для следования целых чисел. Исследования будут продолжены для других числовых и комбинаторных структур.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Вэньчао Чжан, Роман Явич, Алексей Белов, Фаррух Разавиния, Андрей Елишева, Джиетай Ю Polynomial Automorphisms, Deformation Quantization and Some Applications on Noncommutative Algebras Mathematics, Mathematics 2022, 10, 4214 (год публикации - 2022)
10.3390/math10224214

2. А. М. ЕЛИШЕВ, А. Я. БЕЛОВ, Ф. РАЗАВИНИЯ, Ц.-Т. ЮЙ, В. ЧЖАН Полиномиальные автоморфизмы, квантование и задачи вокруг гипотезы Якобиана. II. Доказательство квантования теоремы Бергмана о централизаторе ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЗОРЫ, том 214, 107–126 (год публикации - 2022)
10.36535/0233-6723-2022-214-107-126

3. С.Н. Асхабов ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С СУММАРНО-РАЗНОСТНЫМ ЯДРОМ И СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, номер 6, 2022, том 2022, с. 10–14 (год публикации - 2022)
10.31857/S2686954322700023

4. С.Н. Асхабов ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА С СУММАРНО-РАЗНОСТНЫМ ЯДРОМ И СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ВЕСТНИК АКАДЕМИИ НАУК ЧЕЧЕНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ, № 3 (58), 6-13 (год публикации - 2022)
10.25744/vestnik.2022.58.3.001

5. В. В. Горячко, А. С. Бубнов, Е. Н. Раевский, А. Л. Семенов ЦИФРОВОЙ КОВЧЕГ ЗНАНИЙ Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, том 508, с. 128–133 (год публикации - 2022)
10.31857/S2686954322070098

6. И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Белов Детерминированная раскраска семейства комплексов Фундаментальная и прикладная математика (год публикации - 2022)

7. Воронов В. А., Канель-Белов А. Я., Струков Г. А., Черкашин Д. Д. О хроматических числах трехмерных слоек Записки научных семинаров ПОМИ, Том 518, 2022 г. (год публикации - 2022)

8. С. Н. Асхабов Интегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностью Чебышевский сборник, том 23, выпуск 5 (год публикации - 2022)
10.22405/2226-8383-2018-00-00-1-13

9. Белов А.Я, Фаррух Разавиния, Вэньчао Чжан Centralizers in Free Associative Algebras and Generic Matrices Mediterranean Journal of Mathematics, 20, 85 (2023) (год публикации - 2023)
10.1007/s00009-023-02305-5

10. Аткарская А., Белов А., Плоткин Е., Рипс Э Group-like small cancellation theory for rings International Journal of Algebra and Computation, Vol. 33, No. 7 (2023), 1269-1487 (год публикации - 2023)
10.1142/S0218196723500522

11. Исмаилов А., Белов А., Ивлев Ф. DIMENSION-FREE ESTIMATES ON DISTANCES BETWEEN SUBSETS OF VOLUME ε INSIDE A UNIT-VOLUME BODY Journal of Mathematical Sciences (United States), (2023) 271:497–545 (год публикации - 2023)
10.1007/s10958-023-06622-8

12. Семенов А.Л., Сопрунов С.Ф., Иванов-Погодаев И. А. Creating New Mathematics by Schoolchildren Doklady Mathematics, Vol. 107, Suppl. 1, pp. S132–S136 (год публикации - 2023)
10.1134/S1064562423700631

13. Белов А.Я., Иванов-Погодаев И. А. Deterministic Coloring of a Family of Complexes Journal of Mathematical Sciences, Vol. 275, No. 4, September, 2023 (год публикации - 2023)
10.1007/s10958-023-06691-9

14. Иванов-Погодаев И. А. Полугруппа путей на последовательности равномерно эллиптических комплексов Функциональный анализ и его приложения, 2023, т. 57, вып. 2, с. 41–74 (год публикации - 2023)
10.4213/faa4099

15. Семенов А. Л., Сопрунов С.Ф., Иванов-Погодаев И. А. Создание новой математики школьниками ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2023, том 511, с. 138–143 (год публикации - 2023)
10.31857/S2686954323700224

16. Асхабов С. Н. Cистема нелинейных интегральных уравнений с суммарно-разностными ядрами СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Сборник научных статей Международной научной конференции. Санкт-Петербург, 2023, В сборнике: Современные проблемы математики и математического образования. Сборник научных статей Международной научной конференции. Санкт-Петербург, 2023. С. 216-218. (год публикации - 2023)

17. Алексей Семенов Сергей Сопрунов Automorphisms and Definability (of Reducts) for Upward Complete Structures Mathematics, 2022, 10, 3748 (год публикации - 2022)
10.3390/math10203748

18. А. М. Елишев, А. Я. Белов, Ф. Разавиниа, Ю Джи-Тай, Венчао Жэнгcd Полиномиальные автоморфизмы, квантование и задачи вокруг гипотезы Якобиана. III. Автоморфизмы, топология пополнения и аппроксимация ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЗОРЫ, Том 215 (2022). С. 95–128 (год публикации - 2022)
10.36535/0233-6723-2022-215-95-128

19. Семенов А.Л. Шабат Г.Б. Компьютерный эксперимент в обучении математике ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2023, том 511, с. 112–137 (год публикации - 2023)
10.31857/S2686954323700212

20. Иванов-Погодаев И. А. О ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ ПУТЕЙ НА ПОДСТАНОВОЧНЫХ КОМПЛЕКСАХ ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, том 521, 2025 (год публикации - 2024)

21. Асхабов С.Н. Системы интегральных уравнений с почти возрастающими ядрами и степенной нелинейностью Уфа: Аэтерна, 2024. - 242 с., Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 2 октября – 5 октября 2024 г.). В 2 томах. Том 1, 2024, с. 170-171 (год публикации - 2024)

22. Асхабов С.Н. Integral Equations with Power Sum Kernel and Monotonic Nonlinearity Lobachevskii Journal of Mathematics , Askhabov, S.N. Integral Equations with Power Sum Kernel and Monotonic Nonlinearity. Lobachevskii J Math 45, 376–382 (2024). https://doi.org/10.1134/S1995080224010050 (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224010050

23. Белов А.Я., Елишев А.М., Разавиниа Ф., Роуэн Л., Ю Цзе-Тай, Чжан Вэньчао Torus actions on free associative algebras, lifting and Białynicki-Birula type theorems European Journal of Mathematics , Belov-Kanel, A., Elishev, A., Razavinia, F. et al. Torus actions on free associative algebras, lifting and Białynicki-Birula type theorems. European Journal of Mathematics 10, 71 (2024). https://doi.org/10.1007/s40879-024-00788-4 (год публикации - 2024)
10.1007/s40879-024-00788-4

24. Иванов-Погодаев И.А., Белецкий А.А. Combinatorial Estimations on Burnside Type Problems Mathematics, Anton Beletskiy & Ilya Ivanov-Pogodaev, 2024. "Combinatorial Estimations on Burnside Type Problems," Mathematics, MDPI, vol. 12(5), pages 1-26 (год публикации - 2024)
10.3390/math12050665

25. Белов А. Я. , Иванов-Погодаев И. А. Построение нильполугруппы путей в счетном семействе равномерно эллиптических комплексов Алгебра и Логика, № 4, 2024 (год публикации - 2024)

26. Белов А.Я., Елишев А.М. On automorphisms of tame polynomial automorphism Ind-Schemes in positive characteristic Communications in Algebra, Kanel-Belov, A., Elishev, A., & Yu, J. T. (2024). On automorphisms of tame polynomial automorphism Ind-Schemes in positive characteristic. Communications in Algebra, 52(12), 5375–5395. https://doi.org/10.1080/00927872.2024.2371090 (год публикации - 2024)
10.1080/00927872.2024.2371090

27. Асхабов С.Н. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ СУММЫ АРГУМЕНТО Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2024., Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна – 2024 : материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В. П. Маслова (26–30 января 2024 г.) / Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2024. — 324 (год публикации - 2024)

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Динамические системы явились основным достижением данного Проекта. Было установлено, что во внешнем биллиарде вокруг правильного n-угольника при n\ne 3,4,6 имеется апериодическая точка. Тем самым был получен ответ на вопрос Шварца на поставленный на пленарном докладе международном математическом конгрессе 22 года. The cases n= 8; 10; 12 also have a self-similar structure. Without having a reference, I have the sense that the case n = 7 is somewhat understood in the sense that there are some regions of renormalization. I think that the cases n= 9; 11 are not understood at all. G. Hughes has made beautiful and detailed pictures of outer billiards on regular polygons. These pictures (and earlier ones) suggest Conjecture 6.5. Outer billiards on the regular n-gon has an aperiodic orbit if n \ne 3; 4; 6. I think that this is not known aside from n D 5; 8; 10; 12, and perhaps n = 7 2. Показано что при некоторых $C_1$, $C_2$ в последовательности первых цифр $\Gamma(n)$ бесконечно много раз встречаются только арифметические слова, а при некоторых - и все квазиарифметические. Материал в процессе публикации в рейтинговым журнале. 3. Были установлены нелинеаризуемые действия тора на свободной ассоциативной алгебре. В то же время доказана линеаризуемость в случае положительных корней. Доказательство использует метод деформаций восходящий к доказательству Ягжева гипотезы якобиана для свободных ассоциативных алгебр. 4. По игровым формам теоремы Ван дер Вардена был написана версия обзора и защищена как бакалаврская диссертация. Автор: Добрицын Михаил Дмитриевич (Бакалавр) Game Forms of the Ramsey Type Problems. Научный руководитель: Белов Алексей Яковлевич https://istina.msu.ru/diplomas/665924713/ 5. Продолжалась работа по изучению теории определимости для числовых структур. Получено описание решетки определимости в порядке целых чисел, расположенной над Q. Подготовлена и размещена в ArXiv статья Semenov A., Soprunov S. On a lattice of relational spaces (reducts) for the order of integers. 6. Методами теории монотонных (в смысле Браудера–Минти) операторов впервые доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках нормы решения для различных классов нелинейных интегральных уравнений с ядром, зависящим от суммы аргументов. Методом весовых метрик впервые изучены системы нелинейных интегральных уравнений с почти возрастающими (по С.Н. Бернштейну) суммарно-разностными ядрами. Доказаны глобальные теоремы о существовании и единственности решения в классе непрерывных неотрицательных на положительной полуоси функций. Полученные результаты охватывают не только неубывающие, но и некоторые невозрастающие и даже немонотонные ядра.

Публикации

Возможность практического использования результатов
Задачи некоммутативной алгебры и квантизации могут быть использованы при построении квантовых компьютеров. Задачи комбинаторной геометрии могут быть использованы в инженерии.