Методы численного анализа и системы программ для математических моделей с угловой и сильной сингулярностью

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 21-11-00039

НазваниеМетоды численного анализа и системы программ для математических моделей с угловой и сильной сингулярностью

Руководитель Рукавишников Виктор Анатольевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Хабаровский Федеральный исследовательский центр Дальневосточного отделения Российской академии наук , Хабаровский край

Конкурс №55 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-206 - Вычислительная математика

Ключевые слова Весовой метод конечных элементов для краевых задач с сингулярностью в электродинамике, гидродинамике и теории упругости

Код ГРНТИ27.41.00, 27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В начале прошлого века на основе введения понятия обобщенного (слабого) решения был создан метод Галеркина, который позволил разработать эффективные численные алгоритмы для нахождения приближенных решений краевых задач, не имеющих классического решения, т.е. с исходными данными (коэффициентами и правыми частями уравнений и граничных условий) терпящими разрывы. Наличие входящих углов на границе области не позволяет находить с удовлетворительной точностью как классическое, так и слабое решение краевых задач с использованием универсальных классических численных методов. Нами было предложено для задач с угловой и сильной сингулярностью определять R-обобщенное решение в весовых пространствах, на основе которого были разработаны эффективные весовые методы конечных элементов, позволяющие находить приближенное решение без потери точности и независимо от размеров угла и величины сингулярности. Обобщенное решение уравнений Максвелла в двумерной области с границей содержащей входящий угол не принадлежит пространству С.Л. Соболева $H^1$; такие задачи называют краевыми задачами с сильной сингулярностью. Для системы уравнений Ламе или линеаризованных уравнений Навье-Стокса в области с границей, содержащей входящий угол, можно определить обобщенное решение в пространстве $H^1$, но оно не принадлежит $H^2$. Эти задачи называют задачами со слабой сингулярностью. По принципу согласованных оценок классические методы конечных разностей и конечных элементов имеют скорость сходимости приближенного решения к точному решению этих задач существенно меньше единицы. В то время как предложенный нами весовой метод конечных элементов, основанный на введении понятия R-обобщенного решения, имеет постоянную скорость сходимости, равную единице, не зависимо от размеров сингулярности. Основные результаты были опубликованы в ведущих журналах мира по численным методам и прикладной математике (первый и второй квартиль Web of Science Core Collection): V.A. Rukavishnikov, A.O. Mosolapov, E.I. Rukavishnikova. Weighted finite element method for elasticity problem with a crack. Computers and Structures, 2021, Vol. 243 (or 244), Article 106400 V.A. Rukavishnikov, H.I. Rukavishnikova. The Finite Element Method For Boundary Value Problem With Strong Singularity// Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234, № 9, pp.2870-2882. Rukavishnikov V.A., Mosolapov A.O. New numerical method for solving time-harmonic Maxwell equations with strong singularity // Journal of Computational Physics 231 (2012). - P. 2438-2448. V. Rukavishnikov and E. Rukavishnikova. On the Existence and Uniqueness of R_ν-Generalized Solution for Dirichlet Problem with Singularity on All Boundary. Abstract and applied analysis. Volume 2014, Article ID 568726, 6 p. Viktor A. Rukavishnikov, Alexey V. Rukavishnikov. Weighted finite element method for the Stokes problem with corner singularity// Journal of Computation and Applied Mathematics. 341(2018). P. 144-156. V. A. Rukavishnikov, O. P. Tkachenko. Dynamics of a fluid-filled curvilinear pipeline// Applied Mathematics and Mechanics (English Edition). 39:6 (2018). P. 905–922. V. A. Rukavishnikov, E. I. Rukavishnikova. Weighted Finite-Element Method for Elasticity Problems with Singularity, Finite Element Method. Simulation, Numerical Analysis and Solution Techniques, eds. Păcurar Răzvan, IntechOpen Limited, London, 2018, P. 295-311. V.A. Rukavishnikov, A.V. Rukavishnikov. New Numerical Method for the Rotation form of the Oseen Problem with Corner Singularity // Symmetry-Basel, V. 11, Issue: 1 (2019), Article Number: 54. Rukavishnikov V. A., Tkachenko O. P. Mathematical model of the pipeline with angular joint of elements //Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43. P. 7550-7568. Rukavishnikov, V. A., Rukavishnikova, E. I. Numerical Method for Dirichlet Problem with Degeneration of the Solution on the Entire Boundary// Symmetry-Basel, V. 11, Issue: 12 (2019), Article Number: 1455. Rukavishnikov Viktor A., Rukavishnikova Elena I. On the Dirichlet problem with corner singularity. Mathematics, 2020. V. 8, Issue: 11 (2020), Article Number: 1870. Предложенный нами подход позволяет при заданной точности $10^{-3}$ находить приближенное решение приведенных выше задач по весовому МКЭ в $10^6$ раз быстрее, чем в случае использования классических методов конечных элементов. При этом для реализации весового метода конечных элементов потребуется в $10^6$ раз меньше компьютерного ресурса и энергетических затрат. Например, задачу о трещине, когда математическая модель представлена системой Ламе, невозможно рассчитать с удовлетворительной точностью классическим методом конечных элементов, из-за сингулярности, вызванной наличием угла $2Pi$. В то же время, весовой метод конечных элементов позволяет проведение расчетов с высокой скоростью, как внутри области, так и в окрестности самой трещины. Настоящий проект направлен - на создание основ общей теории и вычислительных практик для задач с сингулярностью на базе введения R-обобщенного решения; - на поиск алгоритма определения тела оптимальных вычислительных параметров для наилучшего нахождения R-обобщенного решения в зависимости от типа краевой задачи, источника сингулярности и пространств, которым принадлежат исходные данные уравнений и граничных условий; - на разработку математических моделей и развитие теории численных методов решения краевых задач с сингулярностью, создание алгоритмов и комплексов программ для численного анализа на многопроцессорном компьютере математических моделей электродинамики, гидродинамики и теории упругости с угловой и сильной сингулярностью. Выполнение поставленных задач в проекте позволит сделать существенный вклад в теорию численных методов по созданию единого эффективного подхода, на основе которого проводится анализ математических моделей с угловой и сильной сингулярностью. Что в большинстве случаев исключит необходимость в создании для отдельных классов задач частных алгоритмов, таких как метод со сгущением сеток, выделение сингулярных составляющих и др. Общим недостатком этих методов является ухудшение основной матрицы системы в методе конечных элементов при доведении его до удовлетворительной точности. А как следствие, это приводит к трудностям при проведении расчетов на ЭВМ.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. Numerical simulation for the one stationary nonlinear hydrodynamics problem in non-convex domain AIP Conference Proceedings (год публикации - 2021)

2. Рукавишников В.А., Мосолапов А.О. Numerical Solution of the Crack Problem by the Weighted FEM CEUR Workshop Proceedings, Номер 0074-2930-8. Том 2930. Страницы 142-147. (год публикации - 2021)

3. Рукавишников В.А. Body of optimal parameters in the weighted finite element method for the crack problem Journal of Applied and Computational Mechanics, Том 7. Выпуск 4. Страницы 2159–2170. (год публикации - 2021)
10.22055/JACM.2021.38041.3142

4. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Mathematical Models of Pipelines Alternative Stress States CEUR Workshop Proceedings, Номер 0074-2930-8. Том 2930. Страницы 173-179. (год публикации - 2021)

5. Рукавишников В.А, Рукавишникова Е.И. Error estimate FEM for the Nikol’skij–Lizorkin problem with degeneracy Journal of Computational and Applied Mathematics, Том 403. Номер статьи 113841. (год публикации - 2022)
10.1016/j.cam.2021.113841

6. Рябоконь А.С., Ткаченко О.П., Рукавишников В.А. Two-dimensional mathematical model of pipelines with a complex intersected profile CEUR Workshop Proceedings, Номер 0074-2930-8. Том 2930. Страницы 200-205. (год публикации - 2021)

7. Рукавишников А.В. New approach for solving stationary nonlinear Navier-Stokes equations in non-convex domain ArXiv.org, Номер 2110.15649. Страницы 1-13. (год публикации - 2021)

8. Рукавишников В.А. Weighted finite element method with set of optimal parameters for crack problem AIP Conference Proceedings (год публикации - 2021)

9. Ткаченко О.П., Рябоконь А.С. Asymptotic analysis of the equations of hydroelastic oscillations in thin-walled elastic pipeline Materials Physics and Mechanics (год публикации - 2021)

Публикации

1. Ткаченко О.П. Principal stress-strain states of thin-walled complexly bent pipelines Materials Physics and Mechanics (год публикации - 2022)

2. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Approximate resolving equations of mathematical model of a curved thin-walled cylinder Applied Mathematics and Computation, Том 422. Номер статьи 126961 (год публикации - 2022)
10.1016/j.amc.2022.126961

3. Рукавишников В.А., Рукавишников А.В. On the properties of operators of the Stokes problem with corner singularity in nonsymmetric variational formulation Mathematics, Том 10. Номер 6. Номер статьи 889. (год публикации - 2022)
10.3390/math10060889

4. Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. New numerical approach for the steady-state Navier–Stokes equations with corner singularity International Journal of Computational Methods, Том 19. Номер статьи 2250012. (год публикации - 2022)
10.1142/S0219876222500128

5. Рукавишников В.А., Рукавишников А.В. On the existence and uniqueness of an Rν-generalized solution to the Stokes problem with corner singularity Mathematics, Том 10. Номер 10. Номер статьи 1752. (год публикации - 2022)
10.3390/math10101752

6. Рукавишников В.А., Рябоконь А.С., Ткаченко О.П. Mathematical modeling of the stress–strain state of T‐shaped connection of cylindrical pipes Mathematical Methods in the Applied Sciences, 30 June 2022 First publication (год публикации - 2022)
10.1002/mma.8536

7. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. On the error estimation of the FEM for the Nikol’skij-Lizorkin problem with degeneracy in the Lebesgue space Symmetry, Том 14. Номер 6. Номер статьи 1276. (год публикации - 2022)
10.3390/sym14061276

8. Рукавишников В.А., Рябоконь А.С., Ткаченко О.П. Конечно-элементный анализ математической модели системы труб Информатика и системы управления, Том 72. Выпуск 2. Страницы 3-12. (год публикации - 2022)
10.1002/mma.8536

9. Рукавишников В.А., Селезнёв Д.С., Гусейнов А.А. Algorithm for processing the results of calculations for determining the body of optimal parameters in the weighted finite element method Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (год публикации - 2022)
10.14529/mmp220407

10. Рукавишников В.А., Селезнёв Д.С., Гусейнов А.А. Программа обработки результатов вычислений задачи теории упругости с сингулярностью для определения тела оптимальных параметров в весовом методе конечных элементов Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем, 2021668932, Бюл. № 12 (год публикации - 2021)

Публикации

1. Рукавишников А.В. On the optimal set of parameters for an approximate method for solving stationary nonlinear Navier - Stokes equations with singularity ArXiv.org, arXiv:2309.14589v1 [math.NA] (год публикации - 2023)
10.1016/j.cam.2023.115218

2. Рябоконь А.С., Ткаченко О.П. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния тонкостенной трубы с боковой врезкой Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления: материалы VII Международной научно-практической конференции, ХФИЦ ДВО РАН, Хабаровск, Материалы VII Международной научно-практической конференции «Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления», Хабаровск, 2023, Страницы 194-196 (год публикации - 2023)

3. Рукавишников В.А. Weighted finite element method and body of optimal parameters for one problem of the fracture mechanics Numerical Computations: Theory and Algorithms, Calabria, Italy, Book of Abstracts of the 4th International Conference and Summer School. Страница 177. (год публикации - 2023)

4. Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. On a Numerical Method for Solving a Non-Stationary Problem of Hydrodynamics with an Angular Singularity Euro-American Consortium for Promoting the Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, Sofia, Book of Abstracts of Fifteenth International Hybrid Conference on Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, страница 53 (год публикации - 2023)

5. Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. On a numerical method for solving a non-stationary problem of hydrodynamics with an angular singularity Journal of Physics: Conference Proceedings (год публикации - 2023)

6. Рукавишников В.А., Рукавишников А.В. Unweighted FEM for solving Navier-Stokes Equations in Rotation Form with Reentrant Corner AIP Conference Proceedings (год публикации - 2023)

7. Рукавишников В.А. Body of optimal parameters of the weighted finite element method for the elasticity problem with singularity AIP Conference Proceedings, Том 2849. Выпуск 1. Номер статьи 450037. (год публикации - 2023)
10.1063/5.0162089

8. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Weighted finite element method for one problem of the fracture AIP Conference Proceedings (год публикации - 2023)

9. Рукавишников В.А., Рябоконь А.С., Ткаченко О.П. Approximate solution of equations of vibrations propagation in a curved fluid-filled tube AIP Conference Proceedings, Том 2849. Выпуск 1. Номер статьи 450038. (год публикации - 2023)
10.1063/5.0162090

10. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. The Finite Element Method of High Degree of Accuracy for Boundary Value Problem with Singularity MATHEMATICS, Том 11. Выпуск 15. Номер статьи 3272. (год публикации - 2023)
10.3390/math11153272

11. Рукавишников В.А., Рябоконь А. С, Ткаченко О. П. Numerical Investigation of Pipe Deformation Under Pressure With Branch International Journal of Applied Mechanics, Том 15. Номер 07. Номер статьи 2350052. (год публикации - 2023)
10.1142/S1758825123500527

12. Рукавишников В.А., Рукавишников А.В. Theoretical analysis and construction of numerical method for solving the Navier–Stokes equations in rotation form with corner singularity Journal of Computational and Applied Mathematics, Том 429. Номер статьи 115218. (год публикации - 2023)
10.1016/j.cam.2023.115218

13. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Weighted finite element method and body of optimal parameters for elasticity problem with singularity Computers & Mathematics with Applications, Том 151. Страницы 408-417. (год публикации - 2023)
10.1016/j.camwa.2023.10.021

14. Рукавишников В.А. Weighted Finite Element Method and Body of Optimal Parameters for One Problem of the Fracture Mechanics Lecture Notes in Computer Science. Numerical Computations: Theory and Algorithms (NUMTA 2023), Parts I & II & III. Springer Nature Switzerland AG. (год публикации - 2023)

15. Андрианов И.К. Моделирование траектории наклонной трещины в пластине при циклическом растяжении Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления: материалы VII Международной научно-практической конференции, ХФИЦ ДВО РАН, Хабаровск, Материалы VII Международной научно-практической конференции «Информационные технологии и высокопроизводительные вычисления», Хабаровск, 2023, Страницы 26-28 (год публикации - 2023)

16. Рукавишников А.В. Об оптимальном наборе параметров приближенного метода решения стационарных нелинейных уравнений Навье - Стокса с сингулярностью Вычислительные технологии, Том 27. Номер 6. Cтраницы 70-87 (год публикации - 2023)
10.25743/ICT.2022.27.6.007