КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 20-71-10110
НазваниеДискретные интегрируемые системы: алгебраические структуры, динамика, комбинаторика и приложения
Руководитель Константину Ризос Сотириос, кандидат наук (признаваемый в РФ PhD)
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова" , Ярославская обл
Конкурс №50 - Конкурс 2020 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика
Ключевые слова дискретные интегрируемые системы, уравнение Янга-Бакстера, уравнение тетраэдров Замолодчикова, преобразования Бэклунда, система Хитчина, фробениусовы многообразия, пространства модулей, нейронные сети типа Хопфилда, нечеткие системы
Код ГРНТИ27.35.55
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Теория интегрируемых систем оказывается связующей областью между фундаментальной математикой, математической физикой, дискретной математикой и многими другими. Данное положение оказывается исключительно плодотворным как в части значительных прикладных, так и фундаментальных математических результатов. Одними из наиболее ярких примеров последних являются: квантовые топологические инварианты узлов и их высших аналогов, инварианты Дональдсона и Зайберга-Виттена для гладких структур на 4-мерных многообразиях, инварианты Громова-Виттена для симплектических многообразий. Одним из ярких приложений интегрируемых моделей в физике является точное решение двумерной системы Изинга, которая продемонстрировала принцип универсальности критических экспонент и позволила качественно описать физику фазовых переходов и механизм спонтанной намагниченности.
В предлагаемом проекте основной акцент делается на структурных вопросах теории интегрируемых систем и приложениях в современных вопросах нелинейной динамики, дискретных системах, некоммутативных интегрируемых системах, а также в областях фробениусовых многообразий, комбинаторных геометрических инвариантов, искусственных нейронных сетей и нечеткой динамики. В частности, мы рассчитываем получить эффективные методы прогнозирования моделей нейронных сетей и других нечетких систем.
Среди алгебраических подходов мы особенно выделяем метод обратной задачи, методы, связанные с отображениями Янга-Бакстера, их высшими аналогами и преобразованиями Дарбу-Бэклунда, когомологические подходы в теории интегрируемых систем и методы алгебраической геометрии в рамках метода спектральной и вакуумной кривых. Существенной особенностью заявки является обобщение перечисленных методов на системы в старших размерностях. В основном обобщение будет строиться на высших уравнениях n-симплексов, но также будет связано с высшими ассоциативными структурами, со структурами брэйсов, циклических множеств, квандлов и биквандлов.
Основные задачи проекта включают:
а) Построение новых решений уравнения тетраэдров Замолодчикова, связанных с алгебраическими структурами брэйсов, циклических множеств, биквандлов и высшими ассоциативными структурами.
б) Исследование связи между задачами факторизации матриц и трехмерными дискретными уравнениями.
в) Построение обобщения конструкции Хитчина конечномерных интегрируемых систем на случай пространств модулей флагов и последовательностей расслоений.
г) Построение обобщения теории Дубровина-Жанга для систем уравнений, в которых бездисперсионная часть описывается плоским F-многообразием, являющимся обобщением фробениусова многообразия, предложенным Ю.И. Маниным в 2005 году. Мы ожидаем, что более общие системы описываются обобщением понятия когомологической теории поля, введённым в работе А. Буряка и П. Росси в 2018 году.
д) Нахождение нелинейных уравнений, которым удовлетворяют формальные ряды, имеющие комбинаторную природу, в том числе производящие функции полиномиальных инвариантов графов, вложенных графов и матроидов.
е) Разработка новых методов для нахождения решений дискретных интегрируемых систем и использование этих решений для понимания поведения решений непрерывных интегрируемых систем. Расширение этих методов на некоммутативный (грассманов) случай. Ожидаемые результаты включают построение новых некоммутативных непрерывных интегрируемых систем вместе с их решениями.
ж) Исследование связей между преобразованиями Бэклунда дифференциальных уравнений в частных производных и дискретными интегрируемыми системами методами теории групп и алгебр Ли. Ожидаемые результаты включают получение новых необходимых условий для существования преобразований Бэклунда, а также построение новых интегрируемых уравнений (дискретных и непрерывных), связанных преобразованиями Бэклунда с известными уравнениями.
з) Применение методов дискретных интегрируемых систем, в том числе дискретных потоков, связанных с редукциями решений уравнения тетраэдров, в задачах прогнозирования поведения искусственных нейронных сетей и нечетких динамических систем.
Методы и ожидаемые приложения являются современными и актуальными.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ