Геометрические вопросы теории оптимального управления и их приложения

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 20-11-20169

НазваниеГеометрические вопросы теории оптимального управления и их приложения

Руководитель Локуциевский Лев Вячеславович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №45 - Конкурс 2020 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова Аэродинамическая задача Ньютона, управление механическими системами, гиперзвуковые течения, нестрого гиперболические системы, геометрическое решение, принцип максимума Понтрягина, фазовые и смешанные ограничения, условия оптимальности второго порядка, линейные системы с переключениями, стабилизация системы, синхронизируемые автоматы, многомерное управление, выпуклая тригонометрия, субфинслерова геометрия.

Код ГРНТИ27.37.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Возникающие в последние годы фундаментальные и прикладные задачи требуют разработки новых методов анализа динамических систем. Перспективным направлением является развитие геометрических методов теории оптимального управления, которые, с одной стороны, дают сильные теоретические результаты для качественного исследования поведения систем, а, с другой стороны, позволяют получать явные решения конкретных прикладных задач (робототехники, конструирования аэрокосмических аппаратов, управления многоагентными системами и др.). Отметим, что получаемые с использованием геометрических методов точные аналитические результаты играют очень важную роль и при построении алгоритмов численных расчетов. Таким образом, актуальность геометрических методов как для развития общей теории оптимального управления, так и для решения прикладных задач робототехники и конструирования аэрокосмических аппаратов не вызывает сомнений. В рамках проекта будут получены теоретические и практические результаты в следующих основных направлениях. В проекте будет исследована задача об аналитическом вычислении формы выпуклого тела, встречающего минимальное сопротивление при движении в среде, обладающей Ньютоновским функционалом сопротивления. К таким средам относятся прежде всего разреженный газ (например на околоземных орбитах) и обычная атмосфера при гиперзвуковой скорости обтекания. Ньютон нашел оптимальную форму в этой задаче в классе тел вращения. Для тел, не обладающих вращательной симметрией, решение до настоящего момента не было известно. Основная трудность заключается в том, что эта задача связана с нахождением оптимальной многомерной пространственной формы и, кроме того, содержит фазовые ограничения. Участниками проекта разработан метод гессиановых мер, позволяющий аналитически находить оптимальные формы в различных классах выпуклых тел. Участником проекта разработан новый геометрический метод построения решения задачи Римана, применимый, в том числе, для нестрого гиперболических по Петровскому систем законов сохранения. Нестрого гиперболические по Петровскому системы возникают в различных приложениях, в первую очередь, как системы уравнений динамики для смесей жидкостей и газов (например, для динамики смеси кислород/керосин в прямоточных реактивных двигателях). Разработанный метод связан исследованием переноса многообразия соответствующего начальным данным системы под действием фазового потока ассоциированной с задачей гамильтоновой системы. Этот метод будет применен для исследования нестрого гиперболических систем ступенчатого вида. Одной из важных задач с многомерным управлением является задача отыскания геодезических субфинслеровых геометрий. Субфинслерова геометрия активно развивается в последние годы в связи, во-первых, с прикладными задачами оптимального управления мобильными роботами, а, во-вторых, с известной теоремой Громова о почти нильпотентных группах. В субфинслеровых задачах управление многомерно (чаще всего двумерно) и меняется в некотором заданном выпуклом множестве (например, в многоугольнике). Участниками проекта предложен новый класс функций, с помощью которых можно явно выписывать решения задач с двумерным управлением. Эти функции обобщают классические тригонометрические функции на случай произвольного выпуклого компактного множества и наследуют многие их свойства. В рамках проекта будут исследованы многие задачи с двумерным управлением и построена структура оптимального синтеза нелинейных гамильтоновых систем с двумерным ограниченным управлением в окрестности особой точки второго порядка. В проекте будет исследованы смешанные (дискретно-непрерывные) линейные системы с переключениями (такие задачи возникают, например, в многоагентных системах). Предполагается построить общую теорию таких систем и применить ее к задаче асимптотической устойчивости непрерывных систем с ограничением на минимальное время переключения. Подобные задачи исследовались в работах Коланери, Вирта, и др., что позволило получить достаточные условия. Мы предполагаем получить метод определения точных условий устойчивости при ограничениях на время переключения и метод вычисления показателя Ляпунова таких систем. Предполагается построить эффективный метод нахождения ближайшей устойчивой/неустойчивой положительной линейной системы. Данный результат можно будет применить к нескольким актуальным проблемам теории графов, например, к проблеме максимального ацикличного подграфа. В проекте будут исследованы управляемые системы с фазовыми и смешанными ограничениями (к таким задачам, например, относится модель Годдарда о максимальном подъеме ракеты в постоянном поле тяжести). Для задачи оптимального управления системой интегральных уравнений типа Вольтерра, предполагается получить обобщение принципа максимума Понтрягина. Для задачи оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми и смешанными ограничениями предполагается исследовать возможность получения принципа максимума с помощью v-замены времени. Для задачи с интегральными уравнениями, линейными по управлению, планируется получить необходимые и достаточные условия второго порядка для слабого минимума. Будут разработаны критерии знакоопределенности вторых вариаций, соответствующих экстремалям задач с ОДУ, имеющим участки особого, неособого и релейного режимов. Такие задачи возникают в различных приложениях. Предполагаемые результаты позволят эффективно решать задачи, которые до сих пор не поддавались исследованию. С помощью известных и новых условий оптимальности будет исследован ряд модельных задач оптимального управления из математической экономики и техники.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Палин В.В. Структура множества геометрических решений модельной системы в случае волны разрежения Труды семинара имени И. Г. Петровского (год публикации - 2021)

2. Локуциевский Л.В. Explicit Formulae for Geodesics in Left-Invariant Sub-Finsler Problems on Heisenberg Groups via Convex Trigonometry Journal of Dynamical and Control Systems, p. 1-21 (год публикации - 2020)
10.1007/s10883-020-09516-z

3. Кушнир А.И., Локуциевский Л.В. When is a Monotone Function Cyclically Monotone? Theoretical Economics (год публикации - 2021)

4. Ардентов А.А., Локуциевский Л.В., Сачков Ю.Л. Решение серии задач оптимального управления с 2-мерным управлением на основе выпуклой тригонометрии Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, том 494, с. 86–92 (год публикации - 2020)
10.31857/S2686954320050276

Публикации

1. Ардентов А.А., Локуциевский Л.В., Сачков Ю.Л. Extremals for a series of sub-Finsler problems with 2-dimensional control via convex trigonometry ESAIM: COCV, Volume 27, Article Number 32, pp. 52 (год публикации - 2021)
10.1051/cocv/2021024

2. Палин В.В. О предельном переходе при построении геометрического решения: случай волны разрежения Труды МИАН, т. 315 (год публикации - 2021)
10.4213/tm4230

3. Чарина М., Протасов В.Ю. Analytic Functions in Local Shift-Invariant Spaces and Analytic Limits of Level Dependent Subdivision Journal of Fourier Analysis and Applications, 27, Article number: 45 (год публикации - 2021)
10.1007/s00041-021-09836-z

4. Протасов В.Ю. Antinorms on cones: duality and applications Linear and Multilinear Algebra, published online (год публикации - 2021)
10.1080/03081087.2021.1988885

5. Ронжина М.И., Манита Л.А., Локуциевский Л.В. Решения гамильтоновой системы с двумерным управлением в окрестности особой экстремали второго порядка Успехи математических наук, том 76, выпуск 5(461) (год публикации - 2021)
10.4213/rm10018

6. Ронжина М.И., Манита Л.А., Локуциевский Л.В. Окрестность особого режима второго порядка в задачах с управлением из круга Труды Математического института имени В. А. Стеклова, 315 (2021) (год публикации - 2021)

Публикации

1. Локуциевский Л.В., Овсеевич А.И. Асимптотическая теория управления для замкнутой струны. II Труды Математического института имени В. А. Стеклова (год публикации - 2023)

2. Дмитрук А.В., Самыловский И.А. Optimal synthesis in a time optimal problem for the double integrator system with a linear state constraint Journal of Dynamical and Control Systems, 1-22 (год публикации - 2022)
10.1007/s10883-021-09589-4

3. Дмитрук А.В. Вариации v-замены времени в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями Известия Российской академии наук. Серия математическая (год публикации - 2023)

4. Мырикова В.А. Об одной изопериметрической задаче на плоскости Лобачевского с левоинвариантной финслеровой структурой Труды Математического института имени В.А. Стеклова (год публикации - 2023)

5. Камалов Р.А., Протасов В.Ю. О длине интервалов переключения устойчивой динамической системы Труды Математического института имени В.А. Стеклова (год публикации - 2023)