Характеризация спектральных данных дифференциального оператора на графе

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 19-71-00009

НазваниеХарактеризация спектральных данных дифференциального оператора на графе

Руководитель Бондаренко Наталья Павловна, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского" , Саратовская обл

Конкурс №40 - Конкурс 2019 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова спектральная теория дифференциальных операторов, обратные спектральные задачи, дифференциальные операторы на графах, квантовые графы, оператор Штурма-Лиувилля, характеризация спектральных данных, метод спектральных отображений

Код ГРНТИ27.29.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на развитие спектральной теории дифференциальных операторов, в частности, теории обратных задач спектрального анализа. Такие задачи состоят в восстановлении дифференциальных операторов по спектральным характеристикам. Основная цель проекта - получение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи для дифференциального оператора на геометрическом графе. В настоящее время теория обратных задач спектрального анализа активно развивается в работах математиков всего мира, в том числе России, США, Германии, Великобритании, Китая, Тайваня, Японии, Венгрии, Украины, Турции. Актуальность этой тематики связана, в первую очередь, с ее приложениями в квантовой механике, геофизике, химии, электронике и других областях естествознания и техники. В частности, дифференциальные операторы на графах моделируют процессы распространения волн в графоподобных структурах. Такие модели возникают в органической химии, мезоскопической физике, нанотехнологиях, теории фотонных кристаллов, теории волноводов. Стоит отметить, что проект направлен на получение фундаментальных научных результатов, и развитые в ходе его выполнения методы могут найти применение не только для перечисленных конкретных приложений, но и для исследования обратных спектральных задач из других прикладных областей. Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач были получены для дифференциальных операторов второго порядка на конечных и бесконечных интервалах. Для дифференциальных операторов на графах ранее были получены только теоремы единственности и конструктивные методы решения обратных задач. Однако наиболее трудный и принципиальный вопрос о необходимых и достаточных условиях на спектральные данные не решен даже для операторов на графах простейшей структуры, не исследованы вопросы локальной разрешимости и устойчивости, т.е. общая теория обратных спектральных задач для дифференциальных операторов на графах пока не создана. Построение такой теории внесло бы значительный вклад в развитие фундаментальной науки и было бы полезно для приложений. В ходе работы над проектом планируется сосредоточить усилия на исследовании обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на компактном графе-звезде. Задача состоит в восстановлении потенциалов на ребрах графа и коэффициента в условии склейки по спектральным данным - собственным значениям и весовым матрицам. Основные планируемые результаты проекта будут включать необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи (иначе говоря, характеризацию спектральных данных оператора), доказательство локальной разрешимости и устойчивости обратной задачи. Будет проведено комплексное исследование, в ходе которого планируется: 1) изучить асимптотические, аналитические и структурные свойства спектральных характеристик; 2) разработать конструктивный алгоритм, основанный на сведении нелинейной обратной задачи и линейному уравнению в специально построенном банаховом пространстве; 3) провести доказательство разрешимости основного уравнения по необходимости и по достаточности; 4) исследовать вопрос о попадании построенного оператора в класс и о равенстве его спектральных данных заданным величинам; 5) исследовать разрешимость основного уравнения при малом возмущении спектральных данных известного оператора, доказать локальную разрешимость и устойчивость обратной задачи. В результате для поставленной обратной задачи будет построена завершенная теория, допускающая обобщения на другие классы дифференциальных операторов.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Бондаренко Н.П. Spectral analysis for the matrix Sturm-Liouville operator Boundary Value Problems, Article number: 178 (2019), pp. 1-17. (год публикации - 2019)
10.1186/s13661-019-1292-z

2. Бондаренко Н.П. Constructive solution of the inverse spectral problem for the matrix Sturm-Liouville operator Inverse Problems in Science and Engineering, published online, DOI: https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1729760, pp. 1-24 (год публикации - 2020)
10.1080/17415977.2020.1729760

3. Бондаренко Н.П. Спектральный анализ матричного оператора Штурма – Лиувилля с самосопряженным краевым условием общего вида Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 20-й международной Саратовской зимней школы, С. 73-75 (год публикации - 2020)

4. Кузнецова М.А. A Uniqueness Theorem on Inverse Spectral Problems for the Sturm–Liouville Differential Operators on Time Scales Results in Mathematics, Volume 75, Issue 2, Article Number 44, pp. 1-23 (год публикации - 2020)
10.1007/s00025-020-1171-z

5. Кузнецова М.А. Спектральный анализ операторов Штурма–Лиувилля на структурах из отрезков Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 20-й международной Саратовской зимней школы, С. 221-224 (год публикации - 2020)

6. Бондаренко Н.П. Spectral data characterization for the Sturm-Liouville operator on the star-shaped graph Analysis and Mathematical Physics, Vol. 10, Article number: 83, pp. 1-28 (год публикации - 2020)
10.1007/s13324-020-00430-y

7. Кузнецова М.А. Алгоритм решения обратной спектральной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на замкнутых множествах вещественных чисел Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2020), С. 57-60 (год публикации - 2020)

8. Кузнецова М.А. Sturm-Liouville differential operators on time-scales and properties of their spectral characteristics Международная научная конференция "Уфимская осенняя математическая школа - 2020": сборник тезисов, Т. 2, с. 60-62 (год публикации - 2020)

9. Бондаренко Н.П. Direct and inverse problems for the matrix Sturm-Liouville operator with general self-adjoint boundary conditions Mathematical Notes, Vol. 109, No. 3, pp. 358-378 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621030044

10. Бондаренко Н.П. Solving an inverse problem for the Sturm-Liouville operator with singular potential by Yurko's method Tamkang Journal of Mathematics, Vol. 52, no. 1, pp. 125-154 (год публикации - 2021)
10.5556/j.tkjm.52.2021.3700

11. Бондаренко Н.П. Обратная задача для матричного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом Современные методы теории функций и смежные проблемы, С. 58 (год публикации - 2021)

12. Кузнецова М.А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля на временных шкалах Математические заметки, Т. 109, вып. 1, С. 82-100 (год публикации - 2021)
10.4213/mzm12837

13. Кузнецова М.А. On recovering the Sturm–Liouville differential operators on time scales Mathematical Notes, Vol. 109, no. 1, pp. 74-88 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621010090

Публикации