Некоторые актуальные задачи прикладного стохастического анализа

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 17-11-01098

НазваниеНекоторые актуальные задачи прикладного стохастического анализа

Руководитель Молчанов Станислав Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва

Конкурс №18 - Конкурс 2017 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-110 - Теория вероятностей и математическая статистика

Ключевые слова Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), большие уклонения, "храповик" Мюллера, генетика популяций, мутации, отбор, рекомбинация, миграция, инвариантные меры, глобулярные и клубковые состояния, фазовые переходы, параметрикс, квазилокальные теоремы, ненаблюдаемая масса,

Код ГРНТИ27.43.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В проекте выделено три основных направления исследований. Аннотация будет дана по каждому из этих направлений. 1. Диффузионные процессы в биологии (времена вырождения, большие уклонения, фазовые переходы, общие модели популяционной генетики, "ненаблюдаемая масса" для диффузии). a) Будет исследовано поведение стохастических моделей популяционной биологии на основе стохастических дифференциальных уравнений, описывающих некоторые необратимые процессы исчезновения генов. В биологии данная проблематика была введена в рассмотрение генетиком Г. Мёллером в статьях 1932 и 1964 гг. Употребим термин «храповик Мёллера», или, по-английски, Muller's ratchet. Модель, основанная на стохастических дифференциальных уравнениях, предложена в публикации А. Этеридж, П. Пфаффелхубера и А. Ваколбингера 2009 года. В последовавших вероятностных статьях установлены первые строгие результаты о времени вырождения в диффузионной модели и проведено математическое моделирование. В данном проекте предполагается изучить одномерные и многомерные, а при успешном развитии событий, и бесконечномерные варианты задач об асимптотике больших уклонений до времени вырождения очередного гена. Математически задача может быть сформулирована как задача нахождения асимптотики времени попадания на определенную часть границы диффузионным процессом с коэффициентами, гарантирующими достижимость этой части границы, хотя она и является отталкивающей. Хорошо развитая теория больших уклонений позволяет рассчитывать на успешное решение этой задачи, сложность состоит в нестандартных граничных условиях, не охватываемых "традиционной" теорией Фрейдлина-Вентцеля. Предполагается сотрудничество с профессором Э. Парду (Франция). b) Будет сформулирована и исследована общая модель генетической динамики популяций, учитывающая мутации, рекомбинации, миграцию и отбор, а также взаимосвязь между этими факторами эволюции, в том числе корреляцию между мутациями и миграцией. c) Будет исследована диффузия переноса - фундаментальная форма «транспортировки» в химических и биологических системах. Коэффициент диффузии весьма чувствителен к размеру и форме диффундирующих частиц; тем самым он дает важную информацию о разнообразии макромолекулярных процессов и фазовых переходах. Фундаментальное отличие диффузии биополимеров (особенно протеинов) от классической диффузии состоит в наличии фазовых переходов, индуцированных изменением температуры. В недавней статье S. Molchanov, D. Faizullin, and I.Nesmlova (2016) было показано, что для протеинов в окрестности критической температуры Tcr коэффициент диффузии убывает как функция температуры T < Tcr. Интересно, что это противоречило тому, что предсказывалось классической теорией, но подтверждалось на экспериментальных данных. Будет исследована более реалистичная модель для диффузии протеинов и будет продолжено изучение сингулярной диффузии в тканях. d) Проблема `ненаблюдаемой массы` относится к изучению вероятности появления наблюдений нового типа, который мы не наблюдали ранее. Данная величина может пониматься как мера репрезентативности случайной выборки и содержит ценную информацию о хвостах соответствующего распределения. Исторически проблема изучения и оценки `ненаблюдаемой массы` рассматривалась в контексте независимых наблюдений из дискретного распределения. Однако в большинстве приложений данные получены не из дискретного распределения, и, следовательно, существующая теория неприменима в исходном виде. Фактически, для непрерывного распределения невозможно ввести понятие `ненаблюдаемой массы` аналогично дискретному случаю, так как вероятность появления объекта нового типа всегда будет равна единице. Самый простой случай решения данной проблемы - дискретизация. Однако данное решение является достаточно искусственным, так как не берет в расчет структуру исходного распределения. Вместо этого мы предложили использовать динамическую схему дискретизации, в которой случайная выборка определяет используемую дискретизацию. Мы будем изучать математическое ожидание `ненаблюдаемой массы` в случае, когда наблюдения являются независимыми траекториями диффузионного процесса. Мы планируем изучать неравенства для концентрации `ненаблюдаемой массы` около ее математического ожидания. Кроме того, мы введем и изучим свойства непрерывного аналога формулы Тьюринга - одной из самых популярных и наиболее используемых оценок для `ненаблюдаемой массы` дискретного распределения. 2. Устойчивость и численные аппроксимации для диффузионных процессов (негладкие коэффициенты, вырожденные диффузии). Диффузионные процессы, описывающие биологические явления (см. п.1), имеют сложную природу. Хорошо известно, что точные решения стохастических уравнений известны лишь в исключительных случаях, поэтому задача нахождения приближенных решений актуальна и важна. Упомянутая в п. 1 чувствительность коэффициента диффузии к размеру и форме диффундирующих частиц, также приводит к актуальной задаче исследования устойчивости переходных плотностей диффузий по отношению к возмущению коэффициентов диффузионного уравнения. Для невырожденных диффузий первые результаты в этом направлении получены в работе С. Шапошикова, В. Богачева и М. Рёкнера (2016), а также в работе участников проекта А. Кожиной, В. Конакова и С. Меноззи (2016). Будет рассмотрен случай вырожденной диффузии с вырождением типа известного примера А.Н. Колмогорова (1933), и для него проведен анализ устойчивости переходных плотностей относительно возмущения коэффициентов уравнения диффузии. Также будет продолжено изучение аппроксимационных схем для диффузий с негладкими коэффициентами и вырожденных диффузий упомянутого выше типа. 3. Стохастическое моделирование и управление в нейробиологии (линейное и квадратическое управление с бесконечным горизонтом, стационарность процесса приращений). a) Во время острой фазы церебральной малярии у детей часто бывают припадки и сильно выраженные аномалии и патологии мозговой активности. Данные электроэнцефалографа (ЭЭГ) могут предоставить важную клиническую информацию для эффективной работы с такого рода детьми. Мы построим стохастический процесс, отражающий эмпирические статистические свойства наблюдаемого сигнала. b) Будет исследована оптимальность на бесконечном интервале времени для систем с нестандартными параметрами, а именно, при отказе от широко распространенных требований эргодичности и ограниченности коэффициентов. Данное обобщение важно с точки зрения приложений. Стохастические уравнения, описывающие динамику процессов в климатологии, теории надежности, биологии и финансах, часто содержат асимптотически неограниченные коэффициенты. Помимо этого, включение в анализ целевых функционалов с дисконтированием по неограниченной ставке позволяет учесть актуальные тенденции науки о мозге относительно нейробиологических аспектов формирования временных предпочтений субъектов. Такая постановка дает возможность формализовать процесс принятия решений по долгосрочной стабилизации экономических систем в условиях неопределенности.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Конаков В., Меноцци С., Молчанов С. Approximation of diffusion processes on solvable Lie groups by random walks. Local and quasi-local limit theorems Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и её приложениях, стр. 202 (год публикации - 2017)

2. Веретенникова М., Сикоровский А., Боивин М. Data mining in predicting neuro-developmental scores from EEG data during coma due to cerebral malaria Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и её приложениях (год публикации - 2017)

3. Черноусова Е., Молчанов С. Steady state for the critical branching random walk with the general number of offsprings Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и её приложениях, стр.276 (год публикации - 2017)

4. Пирогов С.,Печерский Е.,Шутц Г.М.,Владимиров А.,Ямбарцев А. Large fluctuations of radiation in stochastically activated two-level systems Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical (год публикации - 2018)

5. Грабчак Михаэль Domains of attraction for positive and discrete tempered stable distributions journal of applied probability (год публикации - 2018)

6. Паламарчук Е.С. Оптимизация суперустойчивой линейной стохастической системы в приложении к модели со сверхнетерпеливыми агентами Автоматика и Телемеханика (год публикации - 2018)

Публикации

1. Кожина Слабая ошибка схемы Эйлера для вырожденных диффузий с негладкими коэффициентами Фундаментальная и прикладная математика, Т. 22. № 3. С. 89-117 (год публикации - 2018)

2. Конаков В. Д., Меноцци С., Молчанов С. А. The Brownian Motion on and Quasi-local Theorems Proceedings of the 2016 Semester on Probabilistic Methods in Geometry, Topology And Spectral Theory (год публикации - 2019)

3. Грабчак М., Занг Ж. Asymptotic normality for plug-in estimators of diversity indices on countable alphabets Journal of Nonparametric Statistics, 30(3):774-795. (год публикации - 2018)
10.1080/10485252.2018.1482294

4. Молчанов С.А., Черноусова Е.О. Steady state and intermittency in the critical branching random walk with arbitrary total number of offspring Mathematical Population Studies (год публикации - 2018)
10.1080/08898480.2018.1493868

5. Петрова Е.Н.,. Пирогов С.А. Large Deviations for Mean Field Processes Markov Processes and Related Fields, 24,701-706 (год публикации - 2018)

6. Паламарчук Е.С. Optimization of the superstable linear stochastic system applied to the model with extremely impatient agents Automation and Remote Control, Vol. 79. No. 3. P. 439-450 (год публикации - 2018)
10.1134/S0005117918030049

7. Грабчак М., Молчанов С.А. Limit theorems for random exponentials: The bounded Support Case. Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya, 63(4):779-794 (год публикации - 2018)
10.4213/tvp5149

8. Грабчак М. Rejection sampling for tempered Levy processes Statistics and Computing (год публикации - 2018)
10.1007/s11222-018-9822-6

9. Веретенникова М.А., Сикорски А.,Боивин М. Parameters of stochastic models for electroencephalogram data as biomarkers for child's neurodevelopment after cerebral malaria Journal of Statistical Distributions and Applications (год публикации - 2019)

10. Веретенников А.Ю., Манита О.А. On convergence of 1D Markov diffusions to heavy-tailed invariant density Moscow Mathematical Journal (год публикации - 2019)

11. Молчанов С.А.,Занг З.,Зенг Л Entropic Moments and Domains of Attraction on Countable Alphabets Mathematical Methods of Statistics, Vol. 27, No. 1, pp. 60–70. (год публикации - 2018)
10.3103/S1066530718010040

12. Финкельштейн Д., Кондратьев Ю.,Молчанов С.А., Ткачев П. Global stability in a nonlocal reaction-diffusion equation Stochastics and Dynamics, Vol. 18, No. 5 (год публикации - 2018)
10.1142/S0219493718500375

13. Владимиров А.А.,Пирогов С.А.,Рыбко А.Н.,Шлосман С.Б. Установление хаоса и гипотеза Пуассона Проблемы передачи информации, Том 54, Вып. 3 (год публикации - 2018)
10.31857/S055529230001330-7

14. Дан Хан, Макарова Ю., Молчанов С.А., Яровая Е. Branching random walks with immigration Lecture Notes in Computer science, Springer, LNCS 10684 (год публикации - 2018)
10.1007/978-3-319-71504-9

Публикации

1. Паламарчук Е.С. On the Optimal Control Problem for a Linear Stochastic System with an Unstable State Matrix Unbounded at Infinity Automation and Remote Control, Volume 80, Issue 2. P. 250-261. (год публикации - 2019)
10.1134/S0005117919020048

2. Молчанов С.А., Панов В.А. Limit theorems for the alloy-type random energy model Stochastics, Vol. 91. Issue 5. P. 754 - 772. (год публикации - 2019)
10.1080/17442508.2018.1545841

3. Хуанг Л., Меноцци С., Приола Е. Lp estimates for degenerate non-local Kolmogorov operators Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Vol. 121. P. 162 - 215. (год публикации - 2019)
10.1016/j.matpur.2017.12.008

4. Черноусова Е.О., Грынив О., Молчанов С.А. Population model with immigration in continuous space s Mathematical Population Studies, P. 1 - 17. (год публикации - 2019)
10.1080/08898480.2019.1626189

5. Грабчак М., Молчанов С.А. Limit Theorems for Random Exponentials: The Bounded Support Case Theory of Probability & Its Applications, Vol. 63. Issue 4. P. 634 - 647. (год публикации - 2019)
10.1137/S0040585X97T989295

6. А.Ю.Веретенников О слабых решениях сильно вырожденных СДУ Автоматика и телемеханика (год публикации - 2020)

7. Молчанов С.А., Вайнберг Б. Population dynamics with moderate tails of the underlying random walk SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2019. Vol. 51. Issue 3. P. 1824-1835 (год публикации - 2019)
10.1137/18M1211362

8. О.А.Манита, А.Ю.Веретенников On convergence of 1D Markov diffusions to heavy-tailed invariant density Moscow Mathematical Journal, 1, 19, 89-106 (год публикации - 2019)
10.17323/1609-4514-2019-19-1-89-106

9. Веретенников А.Ю., Веретенникова М.А. О скорости сходимости для однородных цепей Маркова Доклады Академии Наук, Математика (год публикации - 2020)

10. Грабчак М., Молчанов С.А. The alloy model: Phase transitions and diagrams for a random energy model with mixtures Markov Processes and Related Fields (год публикации - 2019)

11. Грабчак М., Кельберт М.Я., Пари К. On the occupancy problem for a regime switching model Journal of Applied Probability (год публикации - 2020)