Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Научные результаты по проекту за первый год его реализации получены в полном объёме. Первый год выполнения проекта: «Объёмная кристаллизация полидисперсного ансамбля частиц в пересыщенном растворе кристаллизатора с учётом их нуклеации, роста/растворения, а также отвода кристаллов продукта из метастабильной жидкости». 1. В статьях [1] и [2] были сформулированы две интегро-дифференциальные модели нуклеации и объёмного роста полидисперсного ансамбля кристаллов в метастабильных растворах. Первая модель построена с учётом постоянных скоростей растворения и отвода кристаллов (статья [1]), вторая модель учитывает тот факт, что скорости растворения и отвода кристаллов могут зависеть от концентрации примеси раствора (статья [2]). Обе модели состоят из (1) кинетического уравнения со стоковым слагаемым типа Фоккера-Планка для функции распределения кристаллов по размерам, (2) уравнения сохранения общего массового баланса для концентрации примеси раствора, которое учитывает приток кристаллов извне, растворение мелких фракций частиц и отвод кристаллов продукта, (3) граничных и начальных условий для замыкания математической постановки задачи. Новизной этих моделей является одновременный учёт притока примеси извне для поддержания бесперебойного режима работы кристаллизатора (которая является изменяющейся во времени величиной), растворения мелких фракций кристаллов в пересыщенном растворе, различных законов отвода кристаллов продукта из раствора, а также различных кинетик нуклеации и роста частиц в пересыщенной жидкости. Аналитически были выведены стационарные решения модели: концентрация примеси раствора, функция распределения кристаллов по размерам и её моменты, определяющие основные характеристики процесса: количество кристаллов в жидкости, их средний размер и массу. Также был проанализирован вид стационарной функции распределения и найдена её характерная ширина (см. рис. 2 в [1] и рис. 2 в [2]). Был выполнен анализ стационарных решений - построены аналитические зависимости, управляющие стационарным режимом выращивания кристаллов. Полученные аналитические зависимости для стационарной функции распределения были проанализированы графически для реального раствора KCl при разных константах скоростей нуклеации и роста кристаллов (статья [1]), а также разных законах растворения кристаллов в растворе и отвода готовых кристаллов продукта из кристаллизатора (статья [2]). Выполненный анализ стационарного решения показал, что варьирование указанных характеристик существенно изменяет функцию распределения кристаллов по размерам. При этом в статье [1] (рис. 2 в [1]) проанализировано, что вследствие растворения мелких частиц и вывода кристаллов продукта, распределение частиц имеет изломы при характерных значениях радиусов кристаллов. При этом, чем интенсивнее зарождение кристаллов, тем выше функция распределения. По мере роста кристаллов скорость их роста увеличивается, частицы быстрее достигают размера готового продукта и удаляются из системы [1]. В статье [2] (рис. 2 в [2]) при разных законах для скоростей растворения и отвода кристаллов, зависящих от концентрации примеси раствора, на основе стационарных решений было показано, что увеличение скорости удаления кристаллов продукта существенно уменьшает функцию распределения. Кроме того, увеличение скорости растворения приводит к уменьшению функции распределения частиц по размерам. 2. В статьях [1] и [2] построено нестационарное решение сформулированных нелинейных моделей нуклеации и объёмного роста полидисперсного ансамбля кристаллов в метастабильных растворах с учётом постоянных скоростей растворения и отвода кристаллов (статья [1]), а также скоростей растворения и отвода кристаллов, зависящих от концентрации примеси раствора (статья [2]). Для построения нестационарных решений был использован метод седловой точки для вычисления интегралов лапласовского типа. Решение кинетического и балансового уравнений позволило получить аналитические выражения для нестационарной функции распределения кристаллов по размерам, текущей (зависящей от времени) концентрации раствора, а также его пересыщения в зависимости от управляющего процесса - динамики притока примеси извне к жидкости кристаллизатора. Также были выведены аналитические выражения для моментов функции распределения в нестационарном режиме, определяющие основные динамические характеристики роста кристаллов (количество кристаллов в жидкости, их средний размер и массу) при различных интенсивностях притока примеси к системе. Для осуществления управления бесперебойным режимом работы кристаллизатора был выполнен анализ полученных решений при различных внешних воздействиях на систему (различных законах подвода примеси), были построены необходимые графики, даны объяснение и интерпретация поведения расчётных зависимостей. В работах [1] и [2] (см. рис. 3 в [1] и рис. 3 и 4 в [2]) было показано, что нестационарные решения с течением времени стремятся к стационарным решениям. Это, в частности, означает, что процесс объёмной кристаллизации при заданных параметрах системы и законах массообмена с окружающей средой является динамически устойчивым. Общим выводом построенной в [1] и [2] теории также является то обстоятельство, что, изменяя скорости подачи и удаления продукта можно управлять распределением частиц и удалением кристаллов из кристаллизатора. 3. На основе найденных в пп. 1 и 2 стационарных и нестационарных решений был разработан вычислительный программный модуль [3], позволяющий моделировать процесс роста полидисперсного ансамбля кристаллов в пересыщенном растворе кристаллизатора. С его помощью была сделана визуализация полученных теоретических зависимостей, а также построены графики поведения основных величин, управляющих объёмной кристаллизацией. Разработанный вычислительный модуль [3] прошёл государственную регистрацию (копия свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ приложена к отчёту). Результаты проделанной работы опубликованы в тематических научных журналах [1, 2], входящих в Q1 и Q2. По тематике проведённых исследований были сделаны доклады [4, 5] на научных конференциях. 1. E.V. Makoveeva, D.V. Alexandrov, A.A. Ivanov, On the theory of unsteady-state operation of bulk continuous crystallization, Crystals, 2022, Vol. 12(11), art. no. 1634, https://doi.org/10.3390/cryst12111634 (Q2, impact factor: 2.67); 2. E.V. Makoveeva, A.A. Ivanov, Analysis of an integro-differential model for bulk continuous crystallization with account of impurity feeding, dissolution/growth of nuclei and removal of product crystals, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2023, Vol. 46, pp. 1-9, https://doi.org/10.1002/mma.9191 (Q1, impact factor: 3.007); 3. Е.В. Маковеева, Д.В. Александров, Crystallizer with a supersaturated solution, Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022680362 от 25.10.2022 (прикреплено к отчёту); 4. Е.В. Маковеева, Моделирование кристаллизации полидисперсного ансамбля частиц в пересыщенном растворе с учетом удаления кристаллов продукта, Национальный Суперкомпьютерный Форум (НСКФ-2022), 29 ноября - 02 декабря 2022 года, г. Переславль-Залесский, устный доклад, https://2022.nscf.ru/info/Schedule.pdf; 5. E.V. Makoveeva, Analysis of an integro-differential model for crystallization process with account of impurity feeding, growth of nuclei and removal of crystals, X Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации ФТИ-2023, 15-19 мая 2023, г. Екатеринбург, стендовый доклад, https://fizteh.urfu.ru/fileadmin/user_upload/site_19855/Conference/2023/Programma_FTI-2023.pdf.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Научные результаты по проекту за второй год его реализации получены в полном объёме. Второй год выполнения проекта: «Автоколебательные режимы бесперебойной работы кристаллизаторов». 2.1. Проанализировано формирование автоколебательных режимов кристаллизации полидисперсного ансамбля кристаллов в пересыщенном растворе кристаллизатора на основе аналитических решений, описывающих стационарные и нестационарные режимы работы. Проведение линейного анализа динамической устойчивости стационарных решений (стационарных функции распределения кристаллов по размерам и концентрации примеси (пересыщения) относительно малых возмущений этих величин [1]. Используя классическую гипотезу о малости возмущений, было получено дисперсионное уравнение и кривая нейтральной устойчивости, которые изменяются в зависимости от физических параметров кристаллизующейся системы. Эти зависимости определяют области абсолютной устойчивости и колебательной неустойчивости непрерывной кристаллизации. Первый из них соответствует случаю, когда нестационарные решения со временем стремятся к стационарному распределению кристаллов по размерам. Второй режим неустойчивости описывает автоколебания относительно стационарного решения из-за взаимодействия между скоростью зарождения и движущей силой. Между этими процессами существует сильная обратная связь, математически подтвержденная в рассматриваемом процессе непрерывной кристаллизации. Результаты исследования были опубликованы в статье [1]. А также результаты представлены на конференции [2]. 2.2. Проведен нелинейный анализ устойчивости системы управляющих уравнений для определения амплитуды автоколебаний концентрации примеси в кристаллизаторе в окрестности кривой нейтральной устойчивости. Выведены возмущённые уравнения и граничные условия с помощью разложения решений в ряды вплоть до кубических членов по малому параметру – надкритичности в соответствии с теорией Ландау-Хопфа. Решена выведенная система уравнений и определены фундаментальный вклад в решение, а также ближайшие к нему боковые гармоники. Анализ автоколебаний концентрации примеси/пересыщения метастабильной жидкости кристаллизатора. Подготовлены материалы исследования по нелинейной теории устойчивости кристаллизатора к опубликованию в тематическом журнале «Расплавы». В настоящее время статья направлена в журнал [3]. А также результаты представлены на конференции [4]. 2.3. Разработана вычислительная программа, позволяющая моделировать автоколебательный процесс роста кристаллов в кристаллизаторе на основе линейного и нелинейного анализа устойчивости (пп. 2.1 и 2.2). Построены графики, показывающие теоретические зависимости для концентрации примеси и функции распределения кристаллов по размерам. Подготовлена вычислительная программа и документация к ней для государственной регистрации. 2.4. В настоящее время проведено сопоставление теоретически найденных в проекте автоколебаний концентрации пересыщенного раствора или пересыщения жидкости с экспериментальными данными. Статья подготовлена к печати в журнале «Расплавы» [3]. Результаты исследований представлены в статьях и на конференциях: 1. Makoveeva E. V., Alexandrov D. V. Unsteady, steady, and self-oscillatory modes of the bulk continuous crystallization with mass influx and withdrawal of product crystals, European Physical Journal: Special Topics. 2023, 232, 8, 1199-1205, https://doi.org/10.1140/epjs/s11734-023-00852-2 2. VII Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (B&NAK 2023), 04-08 декабря 2023 года, Россия, г. Нальчик, устный доклад «Нестационарный, установившийся и автоколебательный режимы объёмной кристаллизации с притоком массы и выводом кристаллов продукта. Анализ устойчивости», http://binak.niipma.ru/. 3. Маковеева Е.В. Нелинейная устойчивость и нестационарные процессы объёмной кристаллизации, Расплавы, 2023, направлена в печать. 4. X Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации ФТИ-2024, 20-25 мая 2024, Россия г. Екатеринбург, стендовый доклад «Analysis of the stability of crystallization modes with account of mass influx and withdrawal of product crystals», https://fizteh.urfu.ru/ru/conference/.