КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 19-71-10003
НазваниеАлгебраические и аналитические методы теории нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их приложения к исследованию конечномерных динамических систем
РуководительБелова Мария Владимировна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва
| Период выполнения при поддержке РНФ | 07.2022 - 06.2024 |
Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по мероприятию «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными (41).
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем
Ключевые слованелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы, интегрируемость по Дарбу, интегрируемость по Лиувиллю, инвариантные алгебраические кривые, инвариантные поверхности
Код ГРНТИ27.29.21
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Основной целью настоящего проекта является исследование интегрируемости и разрешимости широких классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Планируется получить как теоретические результаты, применимые для всего класса уравнений, так и практические, которые относятся к наиболее важным с прикладной точки представителям рассматриваемых классов. Большое внимание будет уделено разработке новых методов и подходов. В частности, будут разрабатываться методы построения алгебраических предельных циклов и неавтономных инвариантов.
Планируется получить необходимые и достаточные условия существования инвариантов и первых интегралов резонансных на бесконечности систем Льенара и их обобщений, называемым системами Левинсона – Смита. Эти системы используются в теории колебаний, при моделировании процессов реакции-конвекции-диффузии и в некоторых других прикладных задачах. Первые интегралы будут рассматриваться в классе функций Дарбу и Лиувилля. Также планируется исследовать существование первых интегралов, лежащих в расширениях Пикара – Вессио поля рациональных функций. Отметим, что во многих научных работах, посвященных проблемам разрешимости и интегрируемости, приводится вывод достаточных условий интегрируемости. Соответственно, если для заданной многопараметрической системы не выполнены найденные достаточные условия, то вопрос о ее разрешимости и интегрируемости остается открытым. Современная теория интегрируемости Дарбу и метод построения алгебраических инвариантов позволяют находить не только достаточные условия существования первых интегралов, принадлежащих расширениям Лиувилля поля рациональных функций, но и необходимые. Именно этот подход планируется развивать в рамках настоящего проекта. Также большой интерес представляет задача поиска и классификации неавтономных алгебраических инвариантов и неавтономных первых интегралов. В рамках настоящего проекта планируется разработать метод построения неавтономных алгебраических инвариантов, применимый к неавтономным двумерным дифференциальным системам.
Для полиномиальных систем Льенара, систем Левинсона–Смита и некоторых кубических систем, важных для приложений, планируется рассмотреть вторую часть шестнадцатой проблемы Гильберта в алгебраической постановке. Вторая часть 16-ой проблемы Гильберта состоит в исследовании числа и взаимного расположения предельных циклов двумерных полиномиальных дифференциальных систем. В рамках алгебраической постановки учитываются только предельные циклы, задаваемые овалами алгебраических кривых. Такие предельные циклы называют алгебраическими. Вопрос построения алгебраических предельных циклов для систем Льенара и их обобщений активно исследуются в последние годы. Достаточно хорошо изучены лишь гиперэллиптические предельные циклы в нерезонансных случаях. При этом примеров более сложных алгебраических предельных циклов в научной литературе почти нет. Основная трудность при построении алгебраических предельных циклов обусловлена отсутствием верхних оценок на степени неприводимых инвариантных алгебраических кривых, задающих предельные циклы. На основе метода построения алгебраических инвариантов, разработанного в рамках проекта 2019 года, планируется предложить метод построения алгебраических предельных циклов.
В рамках проекта планируется рассмотреть ряд задач эквивалентности для семейства неавтономных кубических дифференциальных систем на плоскости и его интегрируемых линейных и нелинейных представителей, где в качестве преобразований эквивалентности используются обобщенные нелокальные преобразования. Будут выделены физически значимые примеры уравнений из построенных классов эквивалентности. Предполагается рассмотреть приложения данных результатов для построения двумерных римановых метрик с интегрируемыми и суперинтегрируемыми геодезическими потоками. Также с помощью данного подходя планируется найти новые примеры интегрируемых неавтономных одномерных гамильтоновых систем.
Ожидаемые результаты
При выполнении работ над проектом предполагается получить следующие основные результаты:
1. Новый метод построения алгебраических предельных циклов, основанный на разложении на множители соответствующих алгебраических инвариантов над полем рядов Пюизе.
2. Новый метод нахождения неавтономных алгебраических инвариантов неавтономных двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. Новый метод построения асимптотических разложений решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на многомерных многогранниках в пространствах размерности четыре и выше.
4. Решение проблемы Пуанкаре о поиске верхней оценки для степеней неприводимых алгебраических инвариантов квадратичных и кубических систем Левинсона–Смита, обобщающих системы Льенара. Явные выражения для кофакторов алгебраических инвариантов.
5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости по Дарбу и Лиувиллю систем Левинсона–Смита, встречающихся при описании нелинейных колебательных процессов.
6. Классификация алгебраических инвариантов и первых интегралов Дарбу и Лиувилля для резонансных на бесконечности систем Льенара. Новые интегрируемые по Дарбу и Лиувиллю осцилляторы третьей и пятой степеней, обобщающие осцилляторы Дуффинга и ван дер Поля.
7. Системы Льенара и Левинсона–Смита с первыми интегралами, не являющимися функциями Лиувилля.
8. Новые алгебраические предельные циклы важных для приложений двумерных полиномиальных дифференциальных систем.
9. Решение задачи эквивалентности для линейного гармонического осциллятора и семейства неавтономных кубических дифференциальных систем на плоскости, где в качестве преобразований эквивалентности используются обобщенные нелокальные преобразования. Построение физических значимых примеров линеаризуемых уравнений.
10. Классификация неавтономных двумерных кубических дифференциальных систем, имеющих нетривиальные пары Лакса и обладающих рациональными квадратичными первыми интегралами.
11. Решение задачи о построении классов эквивалентности для некоторых двумерных автономных дифференциальных систем, в частности, для гармонического осциллятора c диссипацией, где в качестве преобразований эквивалентности используются обобщенные преобразования Зундмана и некоторые другие обобщенные нелокальные преобразования. Выделение физически значимых примеров дифференциальных систем из построенного класса эквивалентности.
12. Приложение классификационных результатов для построения новых примеров двумерных римановых метрик с интегрируемыми и суперинтегрируемыми геодезическими потоками.
13. Приложение классификационных результатов для построения новых примеров интегрируемых неавтономных одномерных гамильтоновых систем.
14. Доказательство теоремы о существовании и единственности решения краевой задачи для уравнения типа Рэлея со сложным потенциалом. Рассматриваемая задача возникает при изучении двухпалубной структуры пограничного слоя в течении, индуцированном равномерно вращающимся диском с малыми неровностями на его поверхности.
15. Новые равновесные конфигураций для дифференциальной системы, описывающей взаимодействие точечных вихрей на плоскости.
Научная значимость ожидаемых результатов проекта связана с широким спектром применимости обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитические и качественные исследования свойств решений представляют большое интерес для многих прикладных областей науки, таких как робототехника, электроника, оптика, экономика и т.п. В связи с этим разработка новых методов и подходов для исследования решений дифференциальных уравнений, к которым не применимы известные методы, является важнейшей задачей.
Практическая значимость ожидаемых результатов определяется возможностью использовать эти результаты для получения новых количественных и качественных характеристик нелинейных процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые планируется рассмотреть в рамках настоящего проекта. Периодические траектории и, в частности, изолированные периодические траектории (предельные циклы) имеют большое значение для приложений. Также ряд результатов может быть использован при проверке корректной работы численных алгоритмов. Новые методы, которые планируется разработать при выполнении настоящего проекта, могут применяться при изучении других нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты классификации интегрируемых и разрешимых обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть использованы при составлении справочников.
Ожидаемые результаты проекта в полной мере соответствуют мировому уровню. При выполнении проекта планируется получить как новые теоретические результаты, так и практические знания, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и системам, важным с прикладной точки зрения. Будут применяться современные методы аналитической теории дифференциальных уравнений, алгебраической геометрии, асимптотического анализа. Результаты, полученные в ходе выполнения проекта, планируется опубликовать в рецензируемых российских и международных журналах.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Первый этап проекта посвящен исследованию интегрируемости и разрешимости полиномиальных систем Левинсона–Смита, описывающих нелинейные осцилляторы при наличии трения, зависящего от скорости. Множество таких систем было разбито на три подмножества, которые состоят из невырожденных на бесконечности систем, алгебраически вырожденных на бесконечности систем и трансцендентно вырожденных на бесконечности систем. Для невырожденных на бесконечности систем найдены оценки сверху, ограничивающие степени относительно переменной, характеризующей скорость, неприводимых алгебраических инвариантов, а также точные оценки для числа попарно различных неприводимых алгебраических инвариантов, существующих одновременно. Найдены явные выражения для кофакторов неприводимых алгебраических инвариантов. Получены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Лиувиллю. Построены явные выражения соответствующих интегрирующих множителей Дарбу. Для полиномиальных систем Левинсона–Смита предложен новый алгоритм решения проблемы интегрируемости по Лиуивиллю, который не предполагает построения всех неприводимых алгебраических инвариантов. Новый алгоритм применялся при исследовании интегрируемости невырожденной или алгебраически вырожденной кубической системы Левинсона–Смита, описывающей осциллятор Рэлея–Дуффинга–ван дер Поля. Показано, что с точностью до аффинных преобразований существует только одна интегрируемая подсистема.
Построены ранее неизвестные примеры интегрируемых по Лиувиллю кубических относительно первой производной систем Левинсона–Смита. Первые интегралы найдены в явном виде и представляют собой рациональные функции относительно скорости с квадратичным числителем и знаменателем. Зависимость от переменной, характеризующей смещение, является более сложной и описывается одной квадратурой. Коэффициенты соответствующих систем и их первые интегралы параметризуются четырьмя произвольными функциями. Предполагая, что эти произвольные функции не являются многочленами, мы обобщаем полученный результат на случай неполиномиальных систем Левинсона–Смита.
Исследовалась интегрируемость резонансных на бесконечности систем Льенара, имеющих третью и пятую степени относительно переменной, характеризующей смещение. Установлено, что наличие резонанса приводит к появлению новых интегрируемых подсистем. Детально изучался резонанс порядка 0.5. Найдены интегрируемые по Лиувиллю подсистемы, имеющие гиперэллиптические инвариантные алгебраические кривые.
При выполнении данного этапа проекта рассмотрена задача эквивалентности для семейства неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка, кубических относительно первой производной, и гармонического осциллятора. В качестве преобразований эквивалентности использовались обобщенные нелокальные преобразования. Показано, что рассматриваемый класс нелокальных преобразований сохраняет интегрируемость по Лаксу. Это позволило установить, что уравнения из рассматриваемого семейства линеаризуются тогда и только тогда, когда допускают представление Лакса и обладают квадратичным рациональным первым интегралом. В общем случае сформулированы необходимые и достаточные условия линеаризуемости. В явном виде построены критерии линеаризации для некоторых частных случаев рассматриваемых преобразований. Найденные формулы, задающие представления для пары Лакса и первого интеграла линеаризуемых уравнений через функции, определяющие преобразования эквивалентности. Рассмотрен ряд физически значимых примеров линеаризуемых уравнений, в частности неавтономный осциллятор Рэлея–Дуффинга–ван дер Поля и обобщенный осциллятор, использующийся для описания химических и биохимических реакций. Для каждого из примеров в явном виде построены линеаризующие преобразования, представления Лакса и первые интегралы.
Также при выполнении проекта показано, что для поиска новых интегрируемых и суперинтегрируемых двумерных Римановых метрик можно эффективно использовать интегрируемые, в частности, линеаризуемые, уравнения из рассматриваемого семейства кубических неавтономных и автономных осцилляторов. Например, установлено, что неавтономные линеаризуемые осцилляторы могут быть использованы для нахождения интегрируемых Римановых метрик. Предложен алгоритм построения суперинтегрируемых метрик с один линейным по импульсам первым интегралом и другим, в общем случае трансцендентным, первым интегралом. В основе этого алгоритма лежит использование метризуемых автономных кубических осцилляторов. Показано, что неавтономный первый интеграл подобных уравнений приводит к закону сохранения, который является функционально независимым от Гамильтониана и линейного по импульсам интеграла. При выполнении проекта проведена классификация всех метризуемых кубических осцилляторов. В результате такие осцилляторы были разбиты на пять классов. Первые три класса являются частными случаями линеаризуемых с помощью нелокальных преобразований уравнений. Остальные два класса интегрируются тривиальными методами. Данные результаты иллюстрируются примером ангармонического осциллятора. Этот осциллятор является метризуемым и соответствующая Гамильтонова система для геодезических является суперинтегрируемой с линейным и трансцендентным первыми интегралами.
Разработан метод построения асимптотических разложений решений полиномиальных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на построении многомерных многогранников в пространствах размерности четыре и выше. Этот метод обобщает методы степенной геометрии, имеющиеся для двумерного и трехмерного случаев. Новый метод применялся при изучении асимптотических свойств решений уравнения F-VI классификации Косгрове.
Установлена связь между разрешимостью уравнения типа Рэлея с потенциалом кулоновского типа на полубесконечном цилиндре и спектральной задачей для оператора Шредингера на полуоси с условиями Дирихле. Доказано существование и единственность решения краевой задачи для рассматриваемого уравнения.
Публикации
1. Аношин В.И., Бекетова А.Д., Парусникова А.В., Прокопенко Е.Д. Сходимость формальных решений второго члена четвертой иерархии Пенлеве Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 63, No. 1, с.102-111 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S0965542523010049
2. Белова М.В. The Darboux Polynomials and Integrability of Polynomial Levinson–Smith Differential Equations International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, 33, 03, 2350035, 1-16 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1142/S0218127423500359
3. Вишневская А.Д., Демина М.В. Отрицательное уравнение Пелля и статические конфигурации точечных вихрей на плоскости Математические заметки, - (год публикации - 2023)
4. Синельщиков Д.И. Linearizabiliy and Lax representations for cubic autonomous and non-autonomous nonlinear oscillators Physica D, 448,133721 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1016/j.physd.2023.133721
5. Белова М.В. Теория интегрируемости Дарбу для полиномиальных дифференциальных систем на плоскости Аннотации докладов второй конференции Математических центров России, с. 48 (год публикации - 2022)
6. Гайдуков Р. К. Modeling of fluid flow along a small heated irregularity on the plate surface in the framework of double-deck boundary layer structure Indian Journal of Pure and Applied Mathematics (на рецензии), с. 1-24 (год публикации - 2023)