КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 19-71-10048

НазваниеТеория гиперхаоса и ее приложение к задачам биомедицины

РуководительКазаков Алексей Олегович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2022 - 06.2024 

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по мероприятию «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными (41).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые словаХаотическая динамика, странные аттракторы, гиперхаос, псевдогиперболичность, гомоклинические траектории, математические модели, модели динамики контрастных агентов, ансамбли нейронов

Код ГРНТИ27.29.17

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Данный проект является логическим продолжением проекта 2019 года. Планируется проведение исследований по двум направлениям: (i) развитие теории и методов исследования гиперхаоса и (ii) применение этой теории к исследованию прикладных моделей, возникающих в задачах биомедицины (модели динамики газовых пузырьков; динамические системы, моделирующие функционирование синтетических генных сетей; модели ансамблей связанных нейронов). В рамках проекта 2019 года получены существенные продвижения в теории многомерного хаоса: описаны универсальные бифуркационные механизмы возникновения гиперхаотических аттракторов с двумя положительными показателями Ляпунова; получены исчерпывающие результаты по теории гетероразмерных циклов; предложены численные методы проверки псевдогиперболичности аттракторов и, с помощью этих методов, обнаружен первый пример дикого спирального аттрактора и установлена псевдогиперболичность дискретного аттрактора Лоренца; предложено несколько новых критериев возникновения хаотической динамики. Результаты были применены к исследованию прикладных задач. Так, в моделях взаимодействующих газовых пузырьков выявлены устойчивые к возмущениям гиперхаотические режимы колебаний. В ансамблях синтетических генных сетей объяснены механизмы возникновения мультистабильности. В моделях взаимодействующих нейронов обнаружены новые типы опасных колебаний, характеризующихся неограниченным ростом продолжительности подпороговых колебаний, выявлены механизмы возникновения таких режимов и предложены способы их устранения. По результатам Проекта 2019 опубликовано более 20 статей в ведущих международных журналах. Полученные результаты существенно расширили представления о том, каким может быть хаос в трехмерных и четырехмерных системах и каковы механизмы его возникновения. Эти результаты подчеркнули важность дальнейшего развития теории гиперхаоса и способствовали постановке новых задач, решению которых будет посвящен проект 2022 года. К таким задачам относятся: выявление универсальных бифуркационные сценариев возникновения гиперхаотических аттракторов, характеризующихся тремя и четырьмя положительными показателями Ляпунова, обнаружение новых типов псевдогиперболических аттракторов, разработка новых критериев возникновения странных аттракторов и др. В области приложений, в моделях трех взаимодействующих пузырьков газа в жидкости будут описаны механизмы перехода от простых режимов к полезным для ультразвуковой диагностики гиперхаотическим аттракторам с тремя положительными показателями Ляпунова, будут описаны механизмы разрушения частичной синхронизации за счет возмущения радиуса одного из пузырьков. В синтетических генных сетях, моделирующих динамику роста раковых клеток, будут описаны механизмы возникновения и устранения нежелательной хаотической динамики. Будет проведен анализ мультистабильности и гиперхаоса в многомерных ансамблях синтетических генных сетей. В рамках исследования феноменологических моделей связанных нейронов будут выявлены возможности возбудимости нейрона, находящегося в устойчивом равновесии, за счет влияния внешнего сигнала, порождаемого системой из двух нейронов. Будет выявлена возможность синхронизации динамики отдельного нейрона с внешним сигналом, создаваемым системой из нескольких взаимодействующих нейронов. Ожидаемые результаты могут лечь в основу новых медицинских технологий. Так, исследование мультистабильности и хаоса в ансамблях синтетических генных сетей могут оказаться важными для понимания причин и динамики роста раковых опухолей. Выявление устойчивости к возмущениям асинхронных гиперхаотических режимов колебаний взаимодействующих пузырьков газа в жидкости может найти применение при разработке новых высокотехнологичных методов проведения ультразвуковых исследований. Исследование моделей взаимодействующих нейронных элементов позволит предложить способы подавления опасных динамических режимов, которые могут вызывать гибель нейрона.

Ожидаемые результаты
Как и в проекте 2019 года исследования проекта 2022 года будут проводиться по шести основным направлениям: теория гиперхаотических аттракторов, дикие аттракторы и проблема псевдогиперболичности, нормальные формы и локальные бифуркации, приводящие к возникновению диких и спиральных аттракторов нового типа, прикладные модели динамики газовых пузырьков в жидкости, динамические системы, моделирующие функционирование генных сетей, и феноменологические модели связанных нейронов. Будут получены следующие результаты. 1. Теория гиперхаотических аттракторов. Будут выявлены универсальные бифуркационные сценарии возникновения гиперхаотических аттракторов, характеризующихся тремя и четырьмя положительными показателями Ляпунова. В классе трехмерных обратимых диффеоморфизмов будут даны необходимые и достаточные условия возникновения гетероразмерных циклов, обеспечивающих неразделимое существование периодических траекторий всех возможных типов, допускаемых размерностью системы. Будет предложен бифуркационный механизм возникновения гетероразмерных циклов в результате столкновения хаотического аттрактора и репеллера в широком классе систем общего положения. Будут предложены методы выявления блендеров многомерных диффеоморфизмов, обеспечивающих существование гетероразмерных циклов в открытых областях параметров. Решение этих задач будет являться существенным развитием теории многомерного хаоса. 2. Дикие аттракторы и проблема псевдогиперболичности. Будут обнаружены новые типы псевдогиперболических аттракторов: аттракторы лоренцевского типа в классе трехмерных диффеоморфизмов, в том числе меняющих ориентацию, а также спиральные псевдогиперболические аттракторы четырехмерных диффеоморфизмов. Будут приведены примеры прикладных систем (модель оптического лазера, шестимерная модель гидродинамики, описывающая конвекцию в слое жидкости и др.), демонстрирующих псевдогиперболические аттракторы. Таким образом, будет не только расширен класс псевдогиперболических аттракторов, но и приведен ряд систем из приложений, в которых такие аттракторы наблюдаются. Будут получены продвижения в теории неориентированных аттракторов Лоренца. Полученные результаты будут приложены к исследованию псевдогиперболической динамики в системах Шимицу-Мориока и Любимова-Закса. 3. Нормальные формы и локальные бифуркации, приводящие к возникновению диких и спиральных аттракторов нового типа. Для бифуркации состояния равновесия с тремя нулевыми собственными числами, а также неподвижной точки с тройкой мультипликаторов (-1,-1,1) будут построены асимптотические нормальные форма при условии дополнительной центральной симметрии. Будет выделено два принципиально разных новых случая рождения псевдогиперболических аттракторов лоренцевского типа: пара симметричных аттракторов Лоренца и сдвоенный аттрактор Лоренца, содержащий три седловых состояния равновесия, соединенных гетероклиническим контуром. Будет показано, что области с такими аттракторами примыкают к точке коразмерности 3, когда состояния равновесия имеет три нулевых собственных числа, а также, когда неподвижная точка имеет тройку мультипликаторов (-1,-1,1). Будет решена задача о бифуркации гетероклинического контура с тремя состояниями равновесия: двумя состояниями седлового типа и одного состояния типа вырожденный седло-фокус. Будут получены условия, при которых при расщеплении контура рождается псевдогиперболический аттрактор лоренцевского типа. Полученные результаты будут применены для изучения локальных бифуркаций, приводящих к рождению псевдогиперболических аттракторов в отображениях, меняющих ориентацию. Решение этой задачи существенно расширит представление о псевдогиперболических аттракторов трехмерных потоков, трехмерных меняющих ориентацию диффеоморфизмов, а также четырехмерных сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Будут даны необходимые и достаточные условия рождения аттракторов Шильникова с парой гомоклинических петель в результате локальных бифуркаций. Будут даны необходимые и достаточные условия возникновение аттрактора Ровеллы из гомоклинической бифуркации "восьмерка-бабочка нейтрального седла". Важность ожидаемых результатов сопоставима с таким продвижением в теории динамических систем, как доказательство Бенедиксом и Карлесоном факта существования хаотического аттрактора для двумерного отображения Эно на множестве параметров, имеющем положительную меру Лебега. 4. Прикладные модели динамики газовых пузырьков. Для моделей трех взаимодействующих пузырьков газа в жидкости будут описаны механизмы перехода от простых режимов к гиперхаотическим аттракторам с тремя положительными показателями Ляпунова, обнаруженными в рамках проекта 2019 года. Будет предложен феноменологический сценарий появления таких аттракторов и продемонстрированы его реализации. Будут изучены механизмы разрушения частичной синхронизации без разрушения симметрии в модели газовых пузырьков, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника, а также в узлах цепочки без разрушения симметрии. В модели трех взаимодействующих пузырьков, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника, а также в узлах цепочки, будет предложен новый способ возмущений радиуса одного из пузырьков, сохраняющий симметрию системы. Будет изучена возможность частичной синхронизации в возмущенной системе и устойчивость найденных ранее частично синхронных режимов к таким типам возмущений. Полученные результаты в перспективе могут быть использованы в разработке новых технологий проведения ультразвуковых исследований. 5. Динамические системы, моделирующие функционирование генных сетей. Будут описаны механизмы возникновения спиральных хаотических аттракторов в моделях раковых клеток, предложенных в работах де Пиллис, Радунской. Будет показано, что хаотическая динамика в моделях роста раковых опухолей связана с возникновением аттрактора Шильникова. Как следствие, будет показано, что в этих системах могут возникать опасные режимы колебаний, открытые и описанные ранее в рамках проекта 2019 года. Будет проведен анализ мультистабильности и гиперхаоса в многомерных ансамблях синтетических генных сетей. Будут описаны механизмы их возникновения и способы устранения; в пространстве параметров будут найдены границы областей мультистабильности. Важность этих исследований обусловлена тем, что возникновение мультистабильности в рассматриваемых моделях, как известно из литературы, может приводить к непредсказуемому выходу системы на опасные режимы колебаний (cancer-аттрактор), характеризующееся быстрым ростом раковых клеток. 6. Феноменологические модели связанных нейронов. 6.1. Будут выявлены возможности возбудимости нейрона, находящегося в устойчивом состоянии равновесия, за счет влияния внешнего сигнала, порождаемого системой из двух нейронов, находящихся в различных режимах периодической, квазипериодической и хаотической активности. Будет выявлена возможность синхронизации динамики отдельного нейрона с внешним сигналом, создаваемым системой из двух нейронов. В моделях взаимодействующих элементов будет дано математическое объяснение ранее обнаруженного динамического эффекта существования хаотических аттракторов с дополнительным нулевым показателем Ляпунова в обширных областях пространства параметров. На основе современных методов машинного обучения будут разработаны алгоритмы, позволяющие генерировать любую заданную динамику, будут исследованы динамические свойства полученных моделей и устойчивость режимов, генерируемых ими к внешним воздействиям, а также сбоям работы отдельных элементов сетей. Комплекс проведенных исследований позволит получить более продвинутое представление о динамики многомерных моделей сетей нейроподобных элементов, что, в свою очередь, является важнейшей составляющей для разработки новых технологий лечения заболеваний нервной системы. Мы полагаем, что результаты проекта могут быть использованы в обозримом будущем для создания условий повышения конкурентоспособности отечественной медицины и формирования устойчивой научно-технологической базы для интенсивного развития новых биомедицинских технологий.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В рамках работ над четвертым этапом выполнения проекта получены новые результаты по всем заявленным шести направлениям. (1) По теории гиперхаотических аттракторов: описаны бифуркационные механизмы возникновения гиперхаотических аттракторов, характеризующихся тремя положительными показателями Ляпунова, введен новый тип гомоклинических аттракторов, содержащих неподвижную точку с трехмерным неустойчивым многообразием, разработанная теория продемонстрирована на примере трехмерного эндоморфизма Канеко; для трехмерных отображений, заданных на компактном многообразии предложен новый сценарий возникновения гиперхаотической динамики, показано, что такая динамика может возникать в результате слияния странного аттрактора и странного репеллера, предложенные сценарии апробированы на модельном трехмерном отображении; для трехмерных диффеоморфизмов предложен новый метод выявления блендеров, в основе которого лежит явное построение гетероразмерного цикла, соединяющего седловые периодические точки смежных индексов; для ряда гомоклинических и гетероклинических бифуркаций, показано, что общее двухпараметрическое семейство, разворачивающее такие бифуркации, имеет открытые области значений параметров, соответствующих гетероразмерной динамике. (2) По теории диких псевдогиперболических аттракторов: в классе трехмерных диффеоморфизмов с центральной симметрией обнаружен новый тип псевдогиперболических аттракторов, содержащих три седловые неподвижные точки, соединенные гетероклиническими траекториями, описаны сценарии возникновения таких аттракторов из устойчивой точки; в классе трехмерных отображений обнаружен первый и единственный пример дискретного аттрактора Ровеллы, описаны сценарии возникновения этого аттрактора из устойчивой точки, а также из аттрактора Лоренца; описаны границы области существования аттрактора Лоренца при малых значениях сепаратрисной величины, на плоскости параметров лоренцевского отображения построена граница существования аттракторов Лоренца, полученные результаты применены к исследованию границы существования аттрактора Лоренца в классических системах Лоренца и Шимицу-Мориока. (3) По направлению исследования локальных бифуркаций нормальных форм, приводящих к рождению псевдогиперболических и спиральных аттракторов: построена потоковая нормальная форма для бифуркации состояния равновесия с тремя нулевыми собственными числами при наличии лоренцевской и центральной симметрии; получены условия, при которых бифуркации гомоклинической "восьмерки-бабочки" к нейтральному седлу приводят к рождению хаотического аттрактора Ровеллы, показано, что соответствующее множество на плоскости бифуркационных параметров имеет положительную меру Лебега, установлено, что при приближении седловой величины к нулю соответствующее множество параметров стремится к множеству полной меры; доказано, что бифуркации неподвижной точки с тройкой мультипликаторов (-1,i,-i) могут приводить к рождению псевдогиперболических лоренцевских аттракторов, показано, что эти аттракторы существуют в классе обращающего ориентацию квадратичного трехмерного отображения Эно. В направлении (4), связанном с изучением прикладных моделей динамики газовых пузырьков: построена двухпараметрическая карта режимов динамики в модели трех взаимодействующих микропузырьковых контрастных агентов, расположенных в вершинах правильного треугольника, показано, что в построенной модели может возникать динамика любого типа, допускаемого размерностью системы; предложен новый сценарий возникновения гиперхаотического аттрактора с тремя положительными показателями Ляпунова и продемонстрирована его реализация на примере предложенной модели контрастных агентов; описаны сценарии возникновения хаотических аттракторов вдоль различных однопараметрических маршрутов в пространстве параметров в модели трех взаимодействующих микропузырьковых контрастных агентов; установлено, что в случае симметричной конфигурации пузырьков также существуют хаотические и гиперхаотические аттракторы с дополнительным нулевым показателем Ляпунова; продемонстрировано что одним из основных механизмов разрушения синхронных и частично синхронных режимов колебаний в модели трех взаимодействующих пузырьков является сценарий "пузырькового" перехода. По направлению (5), посвященному исследованию динамических систем, моделирующих функционирование генных сетей: установлено сосуществование двух устойчивых квазипериодических режимов, вложенных друг в друга. Показано, что по отдельности эти режимы соответствуют режимам последовательной активности репрессиляторов, но их сосуществование может приводить к непредсказуемым явлениям, в том числе длительной переходной динамике; описаны бифуркации коразмерности два, в результате которых возникает бистабильность; в пространстве параметров модели Пиллиса-Радунской выделаны области устойчивости динамических режимов, соответствующих "контролируемому" росту раковых клеток, выделены области с хаотической динамикой, описаны бифуркационные перехода от одних режимов к другим. В направлении (6), посвященному исследованию ансамблей взаимодействующих элементов: показано, что в области малых токов бифуркационные механизмы возбудимости системы из двух нейронов схожи с резонаторами согласно классификации Ижикевича, а при больших токах в области устойчивости стационарной точки основным механизмом возбудимости является бистабильность, установлены спектральные характеристики нескольких сигналов, создаваемых отдельным нейроном при различных значениях тока, найдены границы возбуждения этой системы в пространстве параметров для различных сигналов, создаваемыми внешним нейроном; показано, что аналитическая гамильтонова динамика на торах, кольцах, а также в евклидовом пространстве может быть аппроксимирована композицией отображений нелинейного сдвига, где каждый из сдвигов зависит только от положения или только от импульса, доказано, что каждое аналитическое семейство гамильтоновых диффеоморфизмов симплектического тора или кольца может быть сколь угодно хорошо аппроксимировано аналитическими семействами композиций вертикальных и горизонтальных сдвигов, опровергнута гипотеза Биркгофа об аналитических псевдо-вращениях, предложена новая архитектура нейронной сети для обучения обратимых по времени симплектических динамических систем по данным; дано математическое объяснение ранее обнаруженному динамическому эффекту существования хаотических аттракторов с дополнительным нулевым показателем Ляпунова в обширных областях параметров модели, описывающей взаимодействие идентичных колебательных элементов, связанных через бигармоническую функцию. Результаты работы содержаться в шести опубликованных или принятых в печать статьях: 4 статьи WoS, Q1; 1 статьи WoS, Q2; 1 статьи Scopus.

 

Публикации

1. Гаращук И.Р., Синельщиков Д.И. Excitation of a Group of Two Hindmarsh – Rose Neurons with a Neuron-Generated Signal Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Vol. 19, no. 1, pp. 19-34 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.20537/nd220901

2. Гонченко С., Каратецкая Е., Казаков А., Круглов В. Conjoined Lorenz twins – a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, - (год публикации - 2022)

3. Гонченко С.В., Сафонов К.А., Зеленцов Н.Г. Antisymmetric Diffeomorphisms and Bifurcations of a Double Conservative H\'enon Map Regular and Chaotic Dynamics, 27(6), pp. 647–667 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1134/S1560354722060041

4. Гринес Е.А., Казаков А., Сатаев И.Р. On the origin of chaotic attractors with two zero Lyapunov exponents in a system of five biharmonically coupled phase oscillators Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 32(9), 093105 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1063/5.0098163

5. Чигарев В., Казаков А., Пиковский А. Attractor-repeller collision and the heterodimensional dynamics Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, - (год публикации - 2023)

6. Шыхмамедов А., Каратецкая Е., Казаков А., Станкевич Н. Scenarios for the Creation of Hyperchaotic Attractors in 3D Maps Nonlinearity, - (год публикации - 2023)