Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Исследовались локально конечные группы. насыщенные специальными унитарными группами степени m над конечными полями. Для случая m=3 получено полное описание таких групп – это в точности специальные унитарные группы степени 3 над подходящим локально конечным полем. 2. Исследовались локально конечные группы, насыщенные унитарными группами степени m над конечными полями. Для случая m=3 получено полное описание таких групп – это в точности унитарные группы степени 3 над подходящим локально конечным полем. 3. Исследовались группы Шункова, насыщенные специальными унитарными группами степени 3 над конечными полями. Доказано, что контрпример содержит собственную подгруппу, изоморфную специальной унитарной группе группы степени 3 над подходящим локально конечным полем. 4. Исследовались группы Шункова, насыщенные унитарными группами степени 3 над конечными полями. Доказано, что контрпример содержит собственную подгруппу, изоморфную унитарной группе группы степени 3 над подходящим локально конечным полем. 5. Исследовались локально конечные группы, насыщенные специальными линейными группами степени m над конечными полями. Доказано, что такая локально конечная группа изоморфна специальной линейной группе над подходящим локально конечным полем. Получен ряд следствий из данного результата и результатов пп. 1-3, указанных выше, которые значительно расширяют возможности описания локально конечных групп, насыщенных множествами, содержащими специальные линейные группы над конечными полями. 6. Важным направлением в исследованиях групп с условиями насыщенности является изучение групп, насыщенных прямыми произведениями различных групп. В результате работы над проектом получено частичное решение вопроса Б. Амберга и Л.С. Казарина о периодических группах, насыщенных группами диэдра, в классе локально конечных групп. Установлено строение локально конечной группы, насыщенной прямым произведением двух конечных групп диэдра и доказано, что в этом случае группа будет разрешимой. Полученный результат является важным шагом на пути решения вопроса Амберга и Казарина. 7. Эффективным инструментом исследования бесконечных групп является понятие насыщенности. К настоящему времени накоплен большой массив результатов, устанавливающих строение периодических групп и групп Шункова, насыщенных различными наборами конечных простых неабелевых групп, а также группами Фробениуса. Поэтому изучение групп, насыщенных почти простыми группами, представляет интерес, так как расширяет набор инструментов, используемых для локального анализа бесконечных групп. Получен следующий результат: доказано, что группа Шункова, насыщенная конечными почти простыми группами и обладающая инволюцией, централизатор которой в группе содержит лишь конечное число элементов конечного порядка, обладает периодической частью, являющейся конечной почти простой группой. http://old.math.nsc.ru/conference/malmeet/22/maltsev22.pdf 8. Доказано, что периодическая группа Шункова G, насыщенная {Ф_p}-группами для простого числа p > 2, является группой Фробениуса c ядром F и дополнением H. Если в H есть инволюция, то F абелева и G локально конечна. 9. Дан ответ на вопрос М. Лори и Б. Стейнберга о существовании конечно порожденной нильпотентной группы с неразрешимой проблемой вхождения в подмоноиды. Также дан ответ на вопрос Т. Колкомбета, Д. Оукнайна, П. Семухина и Д. Уоррела о существовании такой группы в классе прямых степеней группы Гейзенберга. Этот результат влечет существование аналогичного подмоноида в любой свободной нильпотентной группе N_{k,c} достаточно большого ранга k ступени c\geq 2. Доказательства основываются на неразрешимости 10-й проблемы Гильберта и интерпретации диофантовых уравнений в нильпотентных группах. http://semr.math.nsc.ru/v20/n1/p293-305.pdf

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Получено значимое продвижение в решении вопроса Б. Амберга и Л. С. Казарина о периодических группах, насыщенных группами диэдра, в классе локально конечных групп. Доказано, что локально конечная группа, насыщенная прямым произведением конечного числа конечных групп диэдра, изоморфна прямому произведению локально циклических групп, умноженных на группу порядка 2. Также доказано, что локально конечная группа, насыщенная прямым произведением конечного числа конечных групп диэдра, является разрешимой. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=iigum&paperid=560&option_lang=rus 2.Найден ряд свойств периодических и смешанных групп с фробениусо-энгелевыми элементами. Полученные результаты используются для описания смешанных и периодических групп с конечными элементами, насыщенных конечными группами Фробениуса. Доказано, что бинарно конечная группа, насыщенная конечными группами Фробениуса, является группой Фробениуса c локально конечным дополнением. Установлено, что в насыщенной конечными группами Фробениуса примитивно бинарно конечной группе G без инволюций характеристическая подгруппа, порожденная всеми элементами простых порядков из G, является периодической группой Фробениуса с ядром F и локально циклическим дополнением H. http://journal.imm.uran.ru/2024-v.30-1-pp.213-222 3. Доказано, что локально конечная группа, насыщенная группами из множества групп {SL_m(p^n)}, где m - фиксированное число, изоморфна SL_m(Q) для подходящего локально конечного поля Q. 4. Доказано, что локально конечная группа G, насыщенная группами из множества групп {GL_k(q^l), SL_m(p^n)}, где m,k - фиксированные, отличные от 1 числа, изоморфна GL_k(Q), либо изоморфна SL_m(Q) для подходящего локально конечного поля Q. 5. Пусть локально конечная группа G насыщена группами из множества групп {GL_k(F_1),\ SL_m(F_2), PSL_m(F_3),\ PGL_k(F_4),\ PSU_3(F_5),\ Sz(F_6)}, где F_1, F_2, F_3, F_4, F_5, F_6 независимо пробегают некоторое множество конечных полей. Тогда группа G изоморфна одной из групп {GL_n(F), SL_n(F),PSL_n(F), PGL_n(F), PSU_3(F), Sz(F)} для подходящего локально конечного поля F. 6. Пусть G - группа всех ограниченных подстановок множества натуральных чисел N. Доказано, что каждая счетная локально конечная группа изоморфна некоторой регулярной подгруппе группы G, а если регулярная подгруппа H группы G содержит элемент бесконечного порядка, то H содержит нормальную бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса. 7. В результате работы, основанной на компьютерных вычислениях с таблицами характеров, а также предшествующей работы ди Мартино, Пеллегрини и Залесского получено уточнение оценок Гуралника и Саксла величины a(x,S) для случая, когда S - спорадическая группа. 8. Доказано, что для в любой конечно порожденной нильпотентной группы ступени нильпотентности два проблема принадлежности произведению двух подгрупп разрешима.