Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Изучен вопрос о конечной базируемости таких аи-полуколец (S,+,•), что (1) мультипликативный редукт (S,•) – инверсная полугруппа, (2) аддитивный редукт (S,+) – полурешетка относительно естественного частичного порядка полугруппы (S,•). Доказано, что тождества такого аи-полукольца не имеют конечного базиса, если (S,•) – конечная полугруппа без нетривиальных подгрупп, порождающая многообразие инверсных полугрупп, которое содержит 6-элементный моноид Брандта, т.е. моноид, образованный шестью 2х2-матрицами с элементами нуль и единица: нулевой матрицей, единичной матрицей и четырьмя матричными единицами. Аналогичный результат верен для аи-полуколец с сигнатурным нулем. Указанные результаты вошли в статью С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring identities of finite inverse semigroups»; статья сдана в журнал Semigroup Forum 26-го апреля 2022 г., а также выложена на сайт arxiv.org (https://doi.org/10.48550/arXiv.2204.10514), см. теорему 1.2 и замечание 2 в версии статьи на arxiv.org. Далее мы ссылаемся на эту версию как на [GV1]. В [GV1] получен и ряд других результатов о конечной базируемости аи-полуколец (S,+,•) со свойством (1), но необязательно (2). Отметим здесь два из них. Ладейным аи-полукольцом размерности n называется совокупность всех nxn-матриц с элементами нуль и единица, в которых каждая строка и каждый столбец содержат не более одной единицы. (Такие матрицы кодируют всевозможные расстановки не атакующих друг друга ладей на шахматной доске размера nxn.) Операции в ладейном аи-полукольце таковы: умножение – это обычное умножение матриц, а сложение это покомпонентное умножение (умножение Адамара). Мультипликативная полугруппа ладейного аи-полукольца размерности n – не что иное как симметрический инверсный моноид, т.е. моноид всевозможных биекций между подмножествами n-элементного множества; по классической теореме Вагнера-Престона он играет в теории конечных инверсных полугрупп ту же универсальную роль, какую симметрическая группа играет в теории конечных групп. Теорема 1.3 из [GV1] полностью решает проблему конечности базиса тождества для ладейных аи-полуколец: такое аи-полукольцо допускает конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Этот результат верен и в сигнатуре полуколец с нулем. Теорема 4.3 из [GV1] устанавливает отсутствие конечного базиса для широкого класса конечных аи-полуколец (S,+,•) со свойством (1). А именно, тождества такого аи-полукольца не имеют конечного базиса, если многообразие, им порожденное, содержит аи-полукольцо, мультипликативный редукт которого 6-элементный моноид Брандта, а все подгруппы полугруппы (S,•) нильпотентны. Техника статьи [GV1] былв использована для изучения проблемы конечности базиса тождества в значительно более широком классе аи-полуколец. Блок-группой называется полугруппа, в которой каждый элемент имеет не более одного инверсного. Вопрос о конечной базируемости аи-полуколец, мультипликативный редукт которых – блок-группа, изучался в статье С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring and involution identities of power groups»; статья сдана в журнал Journal of the Australian Mathematical Society 2-го июля 2022 г., а также выложена на сайт arxiv.org (https://doi.org/10.48550/arXiv.2206.08761). Статья принята к печати 7-го декабря 2022 г. Далее мы ссылаемся на версию статьи на сайте arxiv.org как на [GV2]. Теорема 4.2 из [GV2] устанавливает отсутствие конечного базиса у любого конечного аи-полукольца (S,+,•) такого, что (S,•) есть блок-группа, все подгруппы которой разрешимы, а многообразие, порожденное (S,+,•), содержит аи-полукольцо, мультипликативный редукт которого 6-элементный моноид Брандта. Среди приложений этой теоремы к конкретным аи-полукольцам отметим следующие два результата: аи-полукольцо всех подмножеств любой конечной разрешимой неабелевой группы не имеет конечного базиса тождеств [GV2, теорема 1.1]; аи-полукольцо всех холловских отношений на n-элементном множестве допускает конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда n = 1 [GV2, теорема 1.2] (бинарное отношение на множестве называется холловским, если оно содержит перестановку этого множества). Первый из этих результатов представляет собой существенное продвижение в задаче И. Долинки о характеризации конечных групп, аи-полукольца подмножеств которых имеют конечный базис тождеств (проблема 6.5 в I.Dolinka, «A class of inherently nonfinitely based semirings». Algebra Universalis 60, 19–35 (2009)); отметим, что до самого последнего времени примеры группы с бесконечно базируемым аи-полукольцом подмножеств не были известны. Аналогичный результат верен и в сигнатуре полуколец с нулем. Аи-полукольца подмножеств групп допускают естественную инволюцию: для подмножества А группы А* есть множество всех элементов, обратных к элементам из А. Поэтому аи-полукольца подмножеств групп можно рассматривать как алгебры типа (2,2,1). Техника статьи [GV2] позволяет доказать отсутствие конечного базиса тождеств у аи-полукольца подмножеств любой конечной разрешимой недедекиндовой группы и в сигнатуре полуколец с инволюцией. (Напомним, что группа называется дедекиндовой, если все ее подгруппы нормальны.) Мы изучали также проблему конечности базиса тождеств для аи-полуколец, мультипликативный редукт которых принадлежит одной из «канонических» серий J-тривиальных полугрупп (моноиды Каталана, т..е. моноиды сохраняющих порядок и экстенсивных преобразований n-элементной цепи, моноиды рефлексивных бинарных отношений на n-элементном множестве, моноиды унитреугольных булевых nxn-матриц). С.В.Гусев установил, что при любом n тождества каждого такого аи-полукольца имеют конечный базис. Отметим, что полугрупповые тождества соответствующих мультипликативных редуктов не имеют конечного базиса при n > 4 (M.V.Volkov, «Reflexive relations, extensive transformations and piecewise testable languages of a given height». Int. J. Algebra and Computation 14, 817 827 (2004)). Насколько нам известно, это – первый пример конечно базируемого конечного аи-полукольца с бесконечно базируемым мультипликативным редуктом. М.В.Волковым совместно с коллегами из Северо-Западного университета в Сиане (Китай) Мяомяо Женем и Шианжонгом Жао рассмотрены решеточные свойства отображения, которое сопоставляет каждому квазимногообразию групп Q многообразие полуколец, порожденное плоскими расширениями групп из Q; их статья «The Burnside ai-semiring variety defined by $x^n\approx x$» выложена на сайт arxiv.org 12-го июля 2022 г. (https://doi.org/10.48550/arXiv.2207.05490). В этой статье установлено, что указанное отображение является вложением решеток и описан образ решетки всех квазимногообразий групп данной экспоненты n-1 в решетке многообразий аи-полуколец с тождеством xn=x. Из этого описания и примеров квазимногообразий групп с немодулярной решеткой квазимногообразий, приведенных в монографии А.И. Будкина «Квазимногообразия групп» (Барнаул, 2002) извлечены конкретные примеры многообразий аи-полуколец с немодулярной решеткой подмногообразий.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Получены существенные продвижения по конечной аксиоматизируемости многообразий аддитивно идемпотентных полуколец. Методы, развитые в ходе выполнения проекта, позволили продвинуться и в направлении, которое не было исходно запланировано, а именно, в проблематике конечной аксиоматизируемости многообразий полугрупп с инволюцией. Основные полученные результаты таковы. Полукольцо всех подмножеств любой конечной разрешимой неабелевой группы не имеет конечного базиса тождеств (теорема 1.1 статьи С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring and involution identities of power groups», Journal of the Australian Mathematical Society, 115, no.3 (2023), 354-374; https://doi.org/10.1017/S1446788722000374). Полукольцо всех подмножеств конечной инверсной полугруппы S не имеет конечного базиса тождеств при выполнении каждого из следующих двух условий: а) полугруппа S не является объединением своих подгрупп; б) полугруппа S является объединением своих разрешимых подгрупп, по крайней мере одна из которых неабелева. (Теорема А статьи И.Долинки, С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring and involution identities of inverse semigroups», принята к печати в журнале Communications in Algebra, онлайн-версия опубликована по адресу https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2277413.) Инволютированная полугруппа и инволютированное полукольцо всех подмножеств любой конечной разрешимой недедекиндовой группы не имеют конечного базиса тождеств (теорема 1.3 и замечание 6 статьи С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring and involution identities of power groups», Journal of the Australian Mathematical Society, 115, no.3 (2023), 354-374; https://doi.org/10.1017/S1446788722000374). Инволютированная полугруппа всех подмножеств конечной инверсной полугруппы S не имеет конечного базиса тождеств при выполнении каждого из следующих двух условий: а) полугруппа S не является объединением своих подгрупп; б) полугруппа S является объединением своих разрешимых подгрупп, по крайней мере одна из которых недедекиндова. (Теорема В статьи И.Долинки, С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring and involution identities of inverse semigroups», принята к печати в журнале Communications in Algebra, онлайн-версия опубликована по адресу https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2277413.) Полукольцо всех эндоморфизмов цепи 0 < 1 < 2 <…< m-1 имеет конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда m = 1 или m = 2 (теорема 3 статьи С.В.Гусева и М.В.Волкова «The finite basis problem for endomorphism semirings of finite chains», препринт опубликован по адресу https://doi.org/10.48550/arXiv.2312.01770). Конечное аддитивно идемпотентное полукольцо, мультипликативная полугруппа которого инверсна и имеет только нильпотентные подгруппы, не имеет конечного базиса тождеств, если многообразие, порожденное этим полукольцом, содержит аддитивно-идемпотентное полукольцо, мультипликативная полугруппа которого - 6-элементный моноид Брандта (теорема 4.3 статьи С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring identities of finite inverse semigroups», Semigroup Forum 106, no.2 (2023), 403 420; https://doi.org/10.1007/s00233-022-10336-9). Полукольцо, образованное всеми nxn-матрицами с элементами нуль и единица, в которых каждая строка и каждый столбец содержат не более одной единицы, относительно покомпонентного умножения в качестве сложения и обычного умножения матриц в качестве умножения имеет конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда n = 1 (теорема 1.3 той же статьи). Аддитивно идемпотентное полукольцо всех бинарных отношений на n-элементном множестве, содержащих какую-либо перестановку этого множества, имеет конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда n = 1 (теорема 1.2 статьи С.В.Гусева и М.В.Волкова «Semiring and involution identities of power groups», Journal of the Australian Mathematical Society, 115, no.3 (2023), 354-374; https://doi.org/10.1017/S1446788722000374). Аддитивно идемпотентные полукольца, мультипликативные полугруппы которых принадлежат «каноническим» сериям J-тривиальных полугрупп моноиды сохраняющих порядок и экстенсивных преобразований n-элементной цепи, моноиды рефлексивных бинарных отношений на n-элементном множестве, моноиды унитреугольных булевых nxn-матриц) имеют конечный базис тождеств при каждом n; этот базис явно выписан. (Статья С.В.Гусева «Semiring identities of semigroups of reflexive relations and upper triangular boolean matrices», препринт опубликован по адресу https://doi.org/10.48550/arXiv.2301.11863.)