КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 22-21-00526
НазваниеОптимальное восстановление неограниченных операторов в функциональных пространствах и родственные экстремальные задачи
РуководительАрестов Виталий Владимирович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регионфедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина", Свердловская обл
| Годы выполнения при поддержке РНФ | 2022 - 2023 |
КонкурсКонкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-109 - Вещественный и функциональный анализ
Ключевые словаприближение функций и операторов; оптимальное восстановление; неравенства Колмогорова и братьев Неванлинна; экстремальные свойства полиномов и целых функций
Код ГРНТИ27.27.00, 27.25.19
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект направлен на расширение исследований в нескольких актуальных, принципиальных областях теории приближения функций и операторов в пространствах Лебега и более общих пространствах, преддуальных для пространства мультипликаторов, функций одного и нескольких вещественных переменных и пространствах аналитических функций также одного и нескольких комплексных переменных. Оптимальное восстановление значений неограниченных операторов, включая операторы дифференцирования, по различного рода неточной информации о функциях, такой как приближенно заданные значения функций, их преобразования Фурье, значения аналитических функций на подмножестве границы; вычисление модуля непрерывности операторов, в частности, точные одномерные и многомерные неравенства типа неравенств Колмогорова для дифференцируемых функций и теоремы о двух константах для аналитических функций; приближение неограниченных операторов ограниченными; экстремальные задачи для алгебраических и тригонометрических полиномов, целых функций.
Заявленная в проекте научная проблематика является важной и трудной классической областью математики. Она имеет большое значение как для внутреннего развития теории (теории приближения функций, гармонического анализа, теории аналитических функций), так и для применений в различных разделах математики и ее приложений. Спецификой данного проекта является расширение классов рассматриваемых функциональных пространств, расширение постановок задач, разработка новых методов, построение оптимальных (наилучших, точных) решений.
Планируемые для исследования задачи оптимального восстановления и наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными, точные неравенства типа неравенств Колмогорова и Адамара как в классических пространствах Лебега функций одного и нескольких переменных, так и в пространствах, преддуальных для пространств мультипликаторов, пространствах аналитических функций одного и многих комплексных переменных возникают во многих разделах математики и их приложениях.
Задача Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости, точные неравенства Маркова - Бернштейна для алгебраических и тригонометрических многочленов имеют большую историю и важны для различных областей математики и науки в целом. К примеру, задача Чебышева на компактах комплексной плоскости изучается, начиная с середины восемнадцатого века. Она связана с геометрическими характеристиками компакта; важна для вычислительной математики и теории функций. Неравенства Бернштейна, Сеге и Бернштейна - Сеге для тригонометрических полиномов в пространствах $L^p$, $1\le p\le \infty,$ довольно хорошо изучены; участники данного проекта имеют существенные результаты в этой тематике в пространствах $L^p$ при $0\le p<1.$ Однако в этой тематике существует ряд нерешенных проблем даже для тригонометрических полиномов, тем более, для целых функций; в частности, неизвестно неравенство Сеге при $0\le p<1.$
Ожидаемые результаты
Запланировано построение оптимального метода восстановления функционала, сопоставляющего значениям на подмножестве границы аналитической в области функции многих переменных ее значение в точке области; будут рассмотрены различные области (в частности, поликруг, шар и трубчатая область над конусом), различные классы функций и подмножества границы разных размерностей; в ряде случаев будет получено точное решение задач. Планируется распространить полученные результаты на случай оптимального восстановления оператора, сопоставляющего значениям на подмножестве границы аналитической в области функции ее сужение на подмножество области.
Запланировано построение оптимальных методов восстановления значений неограниченных операторов, в частности, операторов дифференцирования, по неточной информации в задании функций, их преобразовании Фурье, иной приближенной информации, вычисление модуля непрерывности оператора, исследование родственных задач наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными. Построение преддуального пространства $F_{r,s}$ для пространства мультипликаторов пары пространств Лебега $L^r=L^r(R^m)$ и $ L^s$, отличного от пространства Фига-Таламанки, удобного в тематике приближения неограниченных операторов типа свертки ограниченными операторами в пространствах Лебега. Применение этого результата в задачах восстановления и наилучшего приближения операторов дифференцирования. В частности, исследование задачи наилучшего равномерного приближения на оси оператора дифференцирования порядка $k$ в пространстве Лебега на классе функций с ограниченной производной порядка $n (0<k<n)$ ограниченными в паре других пространств Лебега операторами. Вычисление наилучших констант в соответствующем классическом и неклассическом варианте неравенства типа Колмогорова между равномерной нормой промежуточной производной функции, $F_{r,s}$-нормой функции и $F_{p,q}$-нормой старшей производной функции.
Будет проведено исследование ряда экстремальных задач для алгебраических многочленов на компактах комплексной плоскости и целых функций; в том числе, исследование задачи Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля, неравенства Маркова для алгебраических многочленов, не обращающихся в нуль в области; точного неравенства Бернштейна - Сеге для операторов Сеге - Вейля для целых функций в пространствах $L^p, 0\le p\le \infty$.
Предполагаемая работа носит теоретический характер. Будут получены решения актуальных задач, планируемые результаты могут послужить серьезным толчком для дальнейшего развития новых направлений теории.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проведены научные исследования фундаментального характера проблем теории оптимального восстановления и наилучшей аппроксимации функций, операторов и родственных экстремальных задач. Основные полученные результаты следующие.
1. Исследовано несколько взаимосвязанных экстремальных задач для голоморфных функций в поликруге $D^m$, $m\ge 2$. Получено точное неравенство между значением голоморфной функции в $D^m$ и весовыми $L^{p_1}(G_1)$ и $L^{p_0}(G_0)$, $0<p_0, p_1 \le \infty$, нормами ее предельных значений на двух измеримых подмножествах $G_1$ и $G_0=S^m\setminus G_1$ остова $S^m$, являющееся аналогом теоремы братьев Неванлинна о двух константах. Изучено, когда неравенство дает значение модуля непрерывности функционала голоморфного продолжения функции в заданную точку поликруга с части остова $G_1$. В этих случаях решены соответствующие задачи оптимального восстановления функции по приближенно заданным значениям на $G_1$ и наилучшего приближения функционала продолжения функции в поликруг с части остова $G_1$. Полученные результаты перенесены на случай произвольных полицилиндрических областей.
2. Для пространства $(p,q)$-мультипликаторов пары пространств Лебега на $m$-мерном евклидовом пространстве предъявлено преддуальное банахово функциональное пространство. Это пространство описано в терминах, отличных от использованных ранее в подобной ситуации А.Figa-Talamanca и G.I.Gaudry (1967). Построенное пространство применено в задаче Стечкина о приближении оператора дифференцирования ограниченными операторами в пространствах Лебега на оси.
3.1. Изучена задача Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на компакте $K$ с ограничением на расположение корней многочленов, а именно на множестве $P_n(G)$ многочленов степени $n$ с единичным старшим коэффициентом, не обращающихся в нуль в открытом множестве $G$. Получено точное решение для $K = [−1, 1]$ и $G$ - круга с радиусом $R \ge r_n$, где $r_n$ - определенная величина такая, что $r_n^2\ge (\sqrt(5) − 1)/2$.
Введено понятие постоянной Чебышева компакта $K$ относительно открытого множества $G$. Для произвольного компакта $K$, принадлежащего замыканию круга и содержащего его центр, доказано, что постоянная Чебышева компакта $K$ относительно круга равна радиусу круга.
3.2. Получено точное неравенство Бернштейна - Сеге для оператора Вейля - Сеге с производной (вещественного) порядка $\alpha\ge 1$ в пространствах $L^p$, $1\le p \le\infty$ для целых функций экспоненциального типа. Доказано, что точная константа неравенства равна $\sigma^\alpha$.
3.3. На множестве тригонометрических полиномов порядка $n$ исследовано неравенство Бернштейна - Сеге для производной Рисса и сопряженной производной Рисса вещественного порядка $\alpha \ge 0$. В каждом из этих случаев для любого $n$ точно описано множество таких значений $\alpha$, для которых точная константа неравенства имеет классическое значение $n^\alpha$ во всех пространствах $L^p$, $0 \le p \le \infty$.
Публикации
1. Арестов В.В. Преддуальные пространства для пространства (p,q)-мультипликаторов и их применение в задаче Стечкина о приближении операторов дифференцирования Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й международной Саратовской зимней школы. Саратов: Саратовский университет, 2022., С. 33-39 (год публикации - 2022)
2. Арестов В.В. Predual spaces for the space of (p; q)-multipliers and their application in Stechkin's problem on approximation of differentiation operators Analysis Mathematica, - (год публикации - 2023)
3. Леонтьева А.О. Неравенство Бернштейна - Сеге для производной Рисса тригонометрических полиномов в пространствах $L_p$, $0 \le p \le \infty,$ с классическим значением точной константы Математический сборник, - (год публикации - 2023)
4. Пестовская А.Э. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, с ограничением на расположение корней Труды Института математики и механики УрО РАН, Т. 28, № 3. С. 166-175 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-3-166-175