Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Задачи управления. Исследован класс линейных непрерывно-дискретных систем с полной памятью, сосредоточенной в конечном наборе моментов времени, совпадающих со значениями дискретного времени, и допускающих полное описание в терминах матричных параметров при фазовых переменных в непрерывной и дискретной подсистемах. Для такой системы ставятся две задачи: задача достижимости относительно заданной системы линейных целевых функционалов, число которых совпадает с размерностью системы, и задача управления относительно заданной конечной системы линейных целевых функционалов (их число конечно и не связано с размерностью системы). В задаче достижимости фиксируется система из упомянутого класса и матричные параметры целевого вектор-функционала. Предполагается, что фиксированная таким образом задача достижимости однозначно разрешима. Система подвергается возмущениями произвольной природы (в том числе, с детерминированной, интервальной или стохастической неопределенностью). Информация о неопределенности исчерпывается оценками по соответствующей норме в пространстве параметров. Разработан и реализован подход, позволяющий дать эффективное описание окрестности фиксированной системы, в пределах которой любые возмущенные системы сохраняют свойство однозначной разрешимости задачи. Результаты исследования опубликованы в журнале Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics (индексируется в Scopus). В задаче управления относительно заданной конечной системы линейных целевых функционалов также фиксируется управляемая система, которая подвержена произвольным возмущениям ее параметров. Информация о возмущениях параметров представлена оценками по норме в пространстве возмущаемых параметров. Здесь также разработан и реализован подход, позволяющий дать эффективно проверяемые условия сохранения свойства управляемости. Результаты представлены в статье, принятой к печати в журнале Functional Differential Equations (индексируется в Scopus). Для проверки полученных условий сохранения свойства управляемости разработан алгоритм, сочетающий аналитические преобразования и вычисления в арифметике рациональных чисел, производимые с параметрами невозмущенной системы. Алгоритм реализован с помощью системы компьютерной алгебры Maple. Пример его применения к конкретной задаче приведен в упомянутой статье. В качестве прикладной задачи управления для гибридной системы исследовалась задача управления деятельностью группы малых предприятий, осуществляющих сотрудничество друг с другом и имеющих возможность перераспределения средств внутри группы предприятий. Учитывается неполнота информации о параметрах предприятий. Для решения этой задачи разработан и реализован алгоритм. Краевые задачи Предложен новый класс достаточных условий однозначной разрешимости краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений (вообще говоря, невольтерровых уравнений). Эти условия являются необходимыми условиями однозначной разрешимости краевой задачи для всех уравнений из некоторого семейства, определяемого видом изучаемой неопределенности. Неопределенности задаются ограничениями на положительную и отрицательную части функциональных операторов. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка получены 1) при заданных действиях положительной и отрицательной частей функционального оператора уравнения на единичной функции, 2) при заданных действиях положительной и отрицательной частей функционального оператора уравнения на произвольной непрерывной функции, 3) при заданных действиях положительной и отрицательной частей функционального оператора уравнения на двух различных непрерывных функциях, 4) при заданном действии положительной части оператора на единичной функции и интегральном ограничении на действие отрицательной части оператора, 5) при заданном действии отрицательной части функционального оператора на единичной функции и интегральном ограничении на действие положительной части оператора, 6) при интегральных ограничениях на положительную и отрицательную части оператора. Получены условия разрешимости, в которых явно учитывается отклоняющийся аргумент. Для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с меняющим знак линейным коэффициентом получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши при всех сосредоточенных отклонениях аргумента. Полученные условия разрешимости улучшают все известные. Устойчивость В большинстве работ, посвященных устойчивости непрерывно-дискретных (гибридных) систем, рассматривается задача получения достаточных условий асимптотической устойчивости гибридных систем. Необходимые и достаточные признаки устойчивости можно рассчитывать получить для линейных автономных гибридных систем функционально-дифференциальных уравнений. В свою очередь эти гибридные системы разбивается на два класса. Первый класс составляют гибридные системы, асимптотические свойства которых определяются вспомогательной разностной (конечномерной) системой уравнений. В частности, к данному классу относятся гибридные системы, у которых подсистема с непрерывным временем имеет форму системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для гибридных систем данного класса построен алгоритм построения области устойчивости в пространстве неопределенных коэффициентов системы. Используя данный подход, в рамках настоящего проекта были получены области устойчивости для ряда гибридных систем из данного класса. Второй класс составляют уравнения, исследование асимптотических свойства которых не сводятся к изучению вспомогательной конечномерной разностной системы. Рассмотрен один достаточно репрезентативный представитель данного класса - система, область устойчивости которой в пространстве параметров неизвестна. Показано, однако, что задача построения области устойчивости сводится к проблеме расположения корней вспомогательного квазиполинома относительно окружности переменного радиуса. Рассмотрение случая комплексных корней квазиполинома – достаточно сложная задача, поэтому в качестве первого этапа решения данной задачи рассмотрен случай вещественных корней. Рассмотрение даже этого случая – содержательная задача, которая была успешно решена методом D-разбиения. Таким образом, были получены необходимые условия асимптотической устойчивости рассматриваемой гибридной системы.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Задачи управления Исследован класс линейных непрерывно-дискретных систем управления с дискретной памятью, сосредоточенной в заданном наборе точек конечного промежутка. Рассматриваемая система содержит неопределенность в описании операторов, реализующих управляющие воздействия. Эта неопределенность является следствием случайных возмущений в предположении об их равномерном распределении на известных интервалах. Закон равномерного распределения выбран как случай с минимальной информацией об особенностях в распределении частот реализации возможных значений, не обладающий при этом (в отличие от нормального) свойством сохранения при линейных преобразованиях. При каждой реализации случайных возмущений возникает соответствующая траектория, а в совокупности – ансамбль траекторий, для которого получено покомпонентное вероятностное описание в виде семейства плотностей вероятности, параметризованных текущим временем. При построении этих функций для рассматриваемого класса систем с последействием используется полученное ранее представление оператора Коши, дающего представление решений рассматриваемой системы. Полученное вероятностное описание возмущений для траекторных переменных позволяет находить их стандартные характеристики, включая математическое ожидание и дисперсию, а также весь возможный диапазон значений. Основные конструкции и соотношения допускают эффективную компьютерную реализацию. Разработанный подход лежит в основе метода оценки достижимых значений целевых функционалов с учетом упомянутой неопределенности в описании операторов. Этот метод охватывает общий случай линейных целевых функционалов и позволяет получать эффективные оценки для разнообразных частных случаев целевых функционалов, включая терминальные, многоточечные и интегральные функционалы. Краевые задачи Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости различных краевых задач для семейств функционально-дифференциальных уравнений, задающих рассматриваемую неопределенность. Рассмотрены неопределенности, задаваемые различными видами поточечных и интегральных ограничений на функциональные операторы. В качестве параметров используются оценки положительной и отрицательной частей регулярного оператора, определяющего уравнение. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости сформулированы в виде неравенств, связывающих упомянутые характеристики. Получены наилучшие для заданного семейства функционально-дифференциальных уравнений оценки решений краевых задач. Разработаны методы приближенного вычисления точных границ множества параметров рассматриваемой неопределенности, при которых краевая задача однозначно разрешима для всех уравнений семейства. Разработанные методы реализованы средствами системы компьютерной алгебры Maple. Устойчивость Рассмотрена задача об устойчивости линейной гибридной системы функционально-дифференциальных уравнений, непрерывная часть которой представляет дифференциальное уравнение запаздывающего типа. Эта система эквивалентна уравнению с постоянным сосредоточенным запаздыванием и дискретным запаздывающим аргументом. Задача об асимптотической устойчивости этого уравнения cведена к эквивалентной задаче исследования спектра оператора сдвига решений по траектории. Этот подход обобщает известный ранее подход сведения гибридных систем, непрерывная часть которых представляет систему обыкновенных дифференциальных уравнений, к системе разностных уравнений. Параметры оператора сдвига явно выражаются через параметры системы, что позволяет получать принципиально новые условия асимптотической устойчивости. В частности, получены достаточные условия асимптотической устойчивости в аналитической и геометрической формах. Выделена область в пространстве параметров, в которой найденные достаточные условия являются необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости уравнения.