Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В отчётном периоде работа по проекту выполнялась по следующим направлениям: 1. Развитие теории и модификация численных методов решения трёхмерных уравнений Вольтерра I рода с переменными нижними пределами интегрирования вида t-h (h - шаг дискретизации по времени), возникающих в задаче идентификации несимметричных ядер Вольтерра K(s1,s2,s3) с помощью кусочно-постоянных тестовых сигналов длительностью h. 2. Исследование одномерного уравнения Вольтерра I рода с переменными нижними пределами интегрирования, которое возникает в задаче идентификации нестационарных ядер Вольтерра K(t,s) с помощью кусочно-линейных тестовых сигналов. Разработка новых численных методов решения таких уравнений, в том числе основанных на аппроксимации производных второго порядка. 3. Продвижение в области теоретических исследований полиномиальных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче восстановления векторного входного сигнала. 4. Разработка соответствующего программного обеспечения и его применение для решения актуальных задач тепло- и электроэнергетики, в том числе при моделировании динамики теплотехнического оборудования крупной электроэнергетической системы. В рамках исследований по теме проекта был организован и проведён семинар с международным участием «Неустойчивые задачи вычислительной математики» (15-19 августа 2022, г. Иркутск): https://usem-site.hostman.site/index.html. За отчётный период работы по проекту получены следующие научные результаты: 1. Был исследован новый класс линейных трёхмерных интегральных уравнений Вольтерра I рода с предысторией относительно ядер K(s1,s2,s3). Получены явные формулы обращения; сформулированы достаточные условия существования и единственности решения таких уравнений в классе несимметричных и частично-симметричных непрерывных функций. 2. Выделен класс линейных одномерных уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования относительно ядра K(t,s). Сформулированы достаточные условия существования и единственности решения таких уравнений в классе непрерывных функций. Для численного решения предложены алгоритмы, порождённые квадратурной формулой средних прямоугольников, методом product integration, также на основе аппроксимации производных сглаживающим сплайном. Получена новая формула обращения для двумерного интегрального уравнения Вольтерра I рода, порождённого применением входных сигналов кусочно-линейного вида в задаче идентификации симметричного ядра K(s1,s2). 3. Выделено тестовое кубичное уравнение Вольтерра I рода, возникающее в задаче восстановления входных сигналов x(t), обеспечивающих требуемый отклик y(t). Для оценки области существования решения (правой границы отрезка [0,T]) рассмотрено специальное мажорантное уравнение. Предложена серия модельных примеров систем полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода, где x(t) – вектор-функция. В отличие от рассмотренных ранее систем полиномиальных уравнений, компоненты векторного выхода y(t) динамического объекта имеют один и тот же физический смысл. 4. На тестовой математической динамической системе выполнен сравнительный анализ областей применимости квадратичных полиномов Вольтерра, задача идентификации переходных характеристик в которых решена с помощью входных сигналов кусочно-постоянного и кусочно-линейного вида. Аппарат сглаживающих кубических сплайнов был успешно применен для моделирования нелинейной динамики элемента теплоэнергетической установки. Разработаны, протестированы и используются два пакета прикладных программ, прошедших государственную регистрацию программ для ЭВМ в Роспатенте.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В отчётном периоде работа по проекту выполнялась по следующим направлениям: 1. Исследование нового класса двумерных парных уравнений Вольтерра I рода с переменными нижними пределами интегрирования. Данные интегральные уравнения возникают в задаче идентификации переходных характеристик нелинейной динамической системы типа «вход-выход» с векторным входом, представленной в виде конечного отрезка (полинома) интегро-степенного ряда Вольтерра, с помощью тестовых сигналов из класса кусочно-линейных функций. 2. Модификация и исследование численных методов решения многомерных уравнений Вольтерра I рода с переменными нижними пределами интегрирования вида t-h (h - шаг дискретизации по времени), возникающих в задаче идентификации несимметричных и частично-симметричных ядер Вольтерра с помощью кусочно-постоянных тестовых сигналов длительностью h. 3. Продвижение в области теоретических исследований и модификация численных алгоритмов решения нелинейных систем интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче восстановления векторного входного сигнала. 4. Экспериментальная часть работы связана с созданием и тестированием разработанного соответствующего программного обеспечения для решения актуальных задач тепло- и электроэнергетики, в том числе при моделировании динамики теплотехнического оборудования крупной электроэнергетической системы. За отчётный период работы по проекту получены следующие научные результаты: 1. Исследован новый класс линейных двумерных парных интегральных уравнений Вольтерра I рода относительно несимметричных на квадрате Ω ядер Вольтерра K(s1,s2). Получены явные формулы обращения, сформулированы достаточные условия существования и единственности решения таких уравнений в классе несимметричных непрерывных функций. 2. Исследована возможность построения дискретных методов решения линейных многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода с предысторией, предназначенных для задач, содержащих зашумлённые данные. Для численного решения таких уравнений предложено семейство оригинальных алгоритмов, существенно использующих сглаживающие бикубические (двумерные) сплайны. 3. Проведены исследования о существовании и единственности решения нового класса нелинейных систем интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче восстановления векторного входного сигнала x(t), обеспечивающего требуемые значения компонент вектор-функции y(t) на выходе динамического объекта. Предложен алгоритм постобработки восстановленного входного сигнала на основе нелинейного преобразования исходных данных. 4. Выполнено тестирование разработанного программного обеспечения, реализующего новые алгоритмы идентификации ядер Вольтерра и восстановления входных сигналов. Проведена апробация для построения математических моделей реальных энергетических объектов.