КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

НазваниеРазработка аналитических и численных методов для моделирования волн в диспергирующих волноводах

РуководительКудряшов Николай Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регионфедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", г Москва

КонкурсКонкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Аннотация
Предлагаемый проект направлен на разработку аналитических и численных методов для исследования нелинейных математических моделей, встречающихся в нелинейной оптике и при распространения импульсов в оптических волокнах. Мотивация данного проекта обоснована необходимостью дальнейшего совершенствования и развития волоконной оптики, в частности, волоконно-оптических линий связи. Это привело к появлению в последние годы целого ряда нелинейных математических моделей, учитывающих ряд новых факторов при передаче оптических импульсов: учет влияния дисперсии высокого порядка, учет более сложных зависимостей коэффициентов преломления, учет произвольной степени нелинейности, распространение оптических импульсов в многожильных оптических линиях и учет передачи и обработки информации с использованием волоконных брэгговских решеток. Учет этих факторов приводит к появлению сложных нелинейных математических моделей и необходимости разработки новых аналитических и численных методов исследования физических процессов описываемых новыми нелинейными дифференциальными уравнениями. В этой связи хорошо известные методы классической математической физики для решения нелинейных задач для исследования непригодны и возникает задача разработки аналитических и численных методов, позволяющих изучать свойства нелинейных математических моделей распространения импульсов в нелинейной оптике. В настоящее время известны ряд нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые по существу являются обобщением нелинейного уравнения Шредингера для описания импульсов в оптических волокнах. В частности, уравнение Радхакришнана-Кунду-Лакшманана (Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan equation), уравнение Трики-Бисваса (Triki-Biswas equation), уравнение Саса-Сатсумы (Sasa-Satsuma equation), уравнение Фокаса-Ленелса (Fokas-Lenells), уравнение Чена-Ли-Лю (Chen-Lee-Liu), уравнение Герджикова-Иванова (Gerdjikov-Ivanov equation), уравнение Бисваса-Аршеда (Biswas-Arshed equation), уравнение Лакшманана-Порсезиана-Даниэля (Lakshmanan-Porsezian-Daniel equation), уравнение Кунду-Мухерджи-Наскара (Kundu-Mukherjee-Naskar equation) и ряд других уравнений интенсивно используются для описания распространения импульсов в нелинейной оптике и, в частности, в оптических линиях связи. Однако большинство перечисленных выше уравнений не относятся к типу интегрируемых математических моделей. Кроме того, некоторые из перечисленных выше уравнений, рассматриваются с учетом дисперсии высокого порядка и с учетом диссипативных процессов, что также приводит к неинтегрируемости математических моделей. Эти обстоятельства приводят к необходимости разработки специальных методов исследования этих и новых уравнений, которые применимы для исследования неинтегрируемых дифференциальных уравнений. При выполнении данного проекта планируется изучить ряд новых и ряд известных математических моделей, модифицированных в последние годы. Основное внимание при выполнении данного проекта планируется уделить разработке методов исследования волновых процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями высокого порядка, с учетом произвольного коэффициента преломления и с учетом произвольного показателя нелинейности. Кроме того при выполнении проекта планируется рассмотреть распространение импульсов в двух оптических волокнах при учете брэгговского резонанса и в многожильных волоконных линиях. При выполнении данного проекта планируется использовать методы исследования аналитических свойств нелинейных дифференциальных уравнений, методы группового анализа нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотические методы и нелокальные методы преобразований переменных, а также приближенные аналитические и численные методы исследования нелинейных математических моделей. Актуальность данного проекта определяется тем, что он посвящен исследованию нелинейных математических моделей имеющий как фундаментальный важный теоретический аспект, так и ярко выраженную прикладную направленность, связанную с исследованием процессов распространения импульсов в оптических волокнах. Научная новизна и значимость данного проекта определяется тем, что в результате выполнения проекта планируется исследовать новые математические модели для описания распространения импульсов в нелинейной оптике, учитывающие дисперсию высокого порядка, произвольные значения показателя преломления, произвольные степени показателя нелинейности и диссипативные процессы при распространении импульсов.

Ожидаемые результаты
При выполнении проекта предполагается получить следующие результаты. 1. Нелинейные математические модели распространения импульсов в оптическом волокне, учитывающие дисперсию высокого порядка как линейной, так и нелинейной восприимчивости. 2. Аналитические свойства нелинейных дифференциальных уравнений, учитывающие дисперсию высокого порядка. 3. Результаты исследования симметрии нелинейных дифференциальных уравнений учитывающих дисперсию высокого порядка. 4. Обобщенный метод простейших уравнений для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. 5. Метод нелокального преобразования переменных для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений при учете дисперсии высокого порядка. 6. Периодические точные решения нелинейных дифференциальных уравнений при учете дисперсии высокого порядка. 7. Точные решения в виде уединенных волн нелинейных дифференциальных уравнений учитывающих дисперсию высокого порядка 8. Результаты исследования устойчивости стационарных точек соответствующих динамических систем при учете дисперсионных слагаемых высокого порядка. 9. Фазовые портреты динамических систем при описании распространения импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии высокого порядка. 10. Необходимые условия возникновения гомоклинического и гетероклинического хаоса для динамических систем соответствующих дифференциальным уравнениям распространения импульсов в оптическом волокне. 11. Результаты исследования возникновения гомоклинического и гетероклинического хаоса для динамических систем соответствующих дифференциальным уравнениям распространения импульсов в оптических волокнах при периодических внешних возмущениях. 12. Программный комплекс построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в среде MAPLE при учете производных высокого порядка. 13. Программный комплекс численного решения задач распространения импульса в оптическом волокне при учете дисперсии высокого порядка. 14. Нелинейные математические модели распространения импульсов в оптическом волокне, учитывающие произвольные значения (как положительные, так и отрицательные и близкие к нулю) коэффициента преломления. 15. Аналитические свойства нелинейных дифференциальных уравнений, учитывающие произвольные значения коэффициентов преломления и произвольные показатели степеней нелинейности. 16. Результаты исследования симметрии нелинейных дифференциальных уравнений при учете произвольного значения коэффициента преломления. 17. Фазовые портреты динамических систем при описании распространения импульсов в оптическом волокне с учетом произвольного значения коэффициентов преломления. 18. Результаты применения метода преобразования координат для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений для произвольных значений коэффициентов преломления оптического волокна. 19. Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений при учете произвольных значений коэффициента преломления в оптическом волокне и при произвольном показателе степени нелинейности. 20. Результаты исследования устойчивости стационарных точек соответствующей динамической системы при учете произвольного значения коэффициента преломления в оптическом волокне и при произвольном показателе степени нелинейности. 21. Условия возникновения гомоклинического и гетероклинического хаоса для динамических систем соответствующих дифференциальным уравнениям распространения импульсов в оптическом волокне при учете произвольного значения коэффициента отражения. 22. Результаты исследования возникновения гомоклинического и гетероклинического хаоса для динамических систем при периодических внешних возмущениях для произвольного значения коэффициента отражения в оптическом волокне. 23. Программный комплекс построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений при учете произвольного значения коэффициента отражения в оптическом волокне и при произвольном показателе степени нелинейности. 24. Неавтономные нелинейные математические модели распространения импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии высокого порядка и произвольного показателя степени нелинейности. 25. Результаты исследования аналитических свойств нелинейных дифференциальных уравнений учитывающих дисперсию высокого порядка и произвольные показатели степени нелинейности. 26. Результаты анализа симметрии нелинейных дифференциальных уравнений учитывающих дисперсию высокого порядка и произвольные значения коэффициентов преломления оптического волокна. 27. Результаты применения метода преобразования переменных для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений при учете дисперсии высокого порядка и произвольного показателя степени нелинейности оптического волокна для обобщенных уравнений Радхакришнана-Кунду-Лакшманана, Трики-Бисваса, Саса-Сатсумы, Фокаса-Ленелса, Чена-Ли-Лю, Герджикова-Иванова, Бисваса-Аршеда, Лакшманана-Порсезиана-Даниэля. 28. Результаты исследования устойчивости стационарных точек соответствующей динамической системы при учете дисперсии высокого порядка и произвольных значений показателей преломления. 29. Условия возникновения гомоклинического и гетероклинического хаоса для динамических систем распространения импульсов в оптическом волокне при учете дисперсии высокого порядка и произвольного значения показателя преломления. 30. Результаты исследования возникновения гомоклинического и гетероклинического хаоса для динамических систем, соответствующих дифференциальным уравнениям распространения импульсов в оптических волокнах при периодических внешних возмущениях и при учете дисперсии высокого порядка и произвольного значения коэффициента отражения. 31. Программный комплекс построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений при учете производных высокого порядка. 32. Асимптотические решения для нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих распространение импульсов в оптическом волокне при учете дисперсии высокого порядка и произвольного значения коэффициента отражения. 33. Программный комплекс построения асимптотических решений уравнений, описывающих распространение импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии высокого порядка и произвольного значения коэффициента отражения. 34. Нелинейные математические модели распространения импульсов в волоконной брэгговской решетке с учетом дисперсии высокого порядка и произвольного значения показателя преломления. 35. Точные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для описания волн в брэгговской решетке с учетом дисперсии высокого порядка и произвольного значения показателя преломления. 36. Программный комплекс для математического моделирования распространения волн в брэгговской решетке с учетом дисперсии высокого порядка и произвольного значения показателя преломления. 37. Результаты численного моделирования распространения волн в брэгговской решетке с учетом дисперсии высокого порядка и произвольного значения показателя преломления. 38. Результаты численного моделирования гомоклинических и гетероклинических бифуркаций при периодических возмущениях волновых процессов в оптических системах 39. Результаты вычисления показателей Ляпунова для ряда математических моделей с учетом периодических возмущений при распространении импульсов в оптических системах. 40. Результаты построения бифуркационных диаграмм и бассейнов притяжения при распространении оптических импульсов с учетом внешних возмущений. Научная значимость ожидаемых результатов проекта определяется необходимостью разработки новых нелинейных математических моделей для описания волновых процессов в оптических системах и методов их исследования. Разработанные в ходе выполнения проекта методы могут быть применены при исследовании широкого класса нелинейных неинтегрируемых математических моделей. Практическая значимость ожидаемых результатов проекта определяется возможностью учёта диссипативных процессов, дисперсии высокого порядка, произвольного значения показателя преломления и других факторов при моделировании распространения импульсов в волноводах. Ожидаемые результаты соответствуют мировому уровню, планируется их публикация в журналах, входящих в базы данных Web of Science и Scopus, а также доклады на международных и всероссийских конференциях.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проект посвящён разработке методов для исследования нелинейных математических моделей, встречающихся в нелинейной оптике и при распространении импульсов в оптических волокнах. Распространение импульсов в оптическом волокне описывается нелинейными уравнениями в частных производных, которые по своей сути являются различными обобщениями нелинейного уравнения Шредингера, учитывающими ряд дополнительных нелинейных эффектов. Прежде всего при распространении импульсов в оптической среде учитываются различные типы дифракции, которые приводят к дисперсии нелинейных волн и различные виды зависимостей показателя преломления среды. С математической точки зрения обобщение математических моделей приводит к тому, что обобщенные нелинейные уравнения в частных производных теряют свойство интегрируемости и задача Коши для уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. Это обстоятельство приводит к целому ряду трудностей при изучении таких нелинейных математических моделей и требует разработки специальных методов исследования. На первом этапе выполнения проекта применялись методы группового анализа, тест Пенлеве, методы использующие преобразования переменных, метод использования неявных функций, критерий, учитывающий функцию Мельникова, несколько вариантов метода простейших уравнений. Все запланированные на первый этап проекта цели были достигнуты, а основные результаты опубликованы в рецензируемых российских и зарубежных научных изданиях и представлены на международных конференциях. При выполнении проекта рассмотрено распространение квазигармонической электромагнитной волны в объемном гиперболическом диэлектрическом метаматериале, описываемое системой гиперболических нелинейных уравнений Шрёдингера [Маймистов А.И. Квантовая электроника, 52 (10) (2022)]. На примере простой модели нелинейной среды с использованием обобщенных уравнений Манакова проиллюстрировано проявление гиперболичности диэлектрического материала в процессе модуляционной неустойчивости. Показано, что геометрическое место максимального (как и нулевого) значения инкремента неустойчивости есть гипербола в плоскости волновых векторов гармонических возмущений. Это соответствует тому, что модуляционная неустойчивость может возникать для возмущений с любыми по величине волновыми числами. Учет дисперсии групповых скоростей и более сложной зависимости поляризации среды от напряженности электрического поля волны приведет к обобщению полученных в настоящей работе уравнений, что позволит предсказать новые явления в нелинейной оптике метаматериалов. При выполнении первого этапа проекта изучен ряд математических моделей, используя прямые преобразования, позволяющие осуществить редукцию от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям и последующем построении общих решений. В результате исследования систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в переменных бегущей волны, как правило, удается при последующем интегрировании найти аналитические решения рассматриваемых уравнений. Одна из таких моделей описывается обобщенным уравнением Шредингера с двухстепенным законом нелинейной среды и переменными коэффициентами [Kudryashov N.A. Optik, 266, 169619 (2022)]. Точные решения этого нелинейного дифференциального уравнения найдены используя ряд преобразований к интегрируемому обыкновенному дифференциальному уравнению. При этом получены ограничения на параметры математической модели, при которых существуют периодические и уединенные волновые решения. Рассмотрены примеры ускорения и торможения оптических солитонов. Другая модель, к которой в рамках проекта применен прямой метод, использующий последовательность преобразований, описывается комплексным уравнением Гинзбурга-Ландау, имеющим полиномиальный закон нелинейности с четырьмя произвольными степенями [Kudryashov N.A. Optik, 265, 169548 (2022)]. Приведено обоснование физической модели. Показано, что уравнение в частных производных допускает группы преобразования переноса для двух независимых переменными, поэтому решение может быть найдено с помощью редукции к переменным бегущей волны. Установлено, что прямой метод позволяет получать точные решения без ограничений на параметры математической модели. Приведены решения в виде светлых и темных оптических солитонов. Одним из известных способов построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений является использование решений более простых дифференциальных уравнений. При выполнении проекта предложен обобщенный метод нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений или метод неявных функций. Метод неявных функций также использован при рассмотрении нового обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с тройным показателем преломления и нелокальной нелинейностью [Kudryashov N.A. Optik, 262, 169334 (2022)]. Приведена новая форма оптических солитонов. Для нахождения точных решений нелинейного уравнения в частных производных введено вспомогательное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с двойной нелинейностью. Получены точные решения этого вспомогательного уравнения. Показано, что существуют оптические солитоны обобщенного нелинейного уравнения Шредингера нового типа, которые выражаются через неявные функции. При выполнении проекта рассмотрено комплексное уравнение Радхакришнана-Кунду-Лакшманана, имеющее полиномиальный закон нелинейности с четырьмя степенями [Kudryashov N.A. Physics Letters A, 448, 128327 (2022)]. Показано, что существуют периодические решения математической модели. Уединенные волновые решения, которые по своей сути являются оптическими солитонами комплексного уравнения Радхакришнана-Кунду-Лакшманана, получены в виде неявных функций с использованием объединения метода простейших уравнений и метода неявных функций. Модифицированный метод простейших уравнений предложен для исследования семейства обобщенных уравнений Шрёдингера с керровской нелинейностью [Kudryashov N.A. Regular and Chaotic Dynamics, 27 (6) (2022)]. Доказана теорема о существовании ярких солитонов для дифференциальных уравнений любого порядка с керровской нелинейностью рассматриваемого семейства. Найдены точные решения в виде вложенных солитонов, описываемых уравнениями четвертого, шестого, восьмого и десятого порядков. Получены новые решения для вложенных солитонов обобщенных нелинейных уравнений Шрёдингера с несколькими экстремумами. Рассмотрены несколько обобщенных уравнений Шредингера высокого порядка с керровской нелинейностью в переменных бегущей волны [Kudryashov N.A. Mathematics, 10 (18), 3409, (2022)]. Применен критерий Пенлеве для нахождения произвольных констант в разложении общего решения в ряд Лорана. Показано, что все рассматриваемые уравнения не проходят тест Пенлеве, но имеют две произвольные постоянные при локальном разложении общих решений. Доказана теорема существования оптических солитонов для уравнений высокого порядка. В качестве примера приведены оптические солитоны для дифференциальных уравнений в частных производных двенадцатого порядка. Одним из важных моментов при изучении распространения импульсов в оптическом волокне, является исследование возможности возникновения динамического хаоса в рассматриваемой системе. Проведено исследование нелинейной динамики обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим возмущением, полученное в результате перехода к переменным бегущей волны в модели, описывающей распространение импульсов в нелинейной среде с насыщением [Kudryashov N.A., Lavrova S.F. Optik, 265, 169454 (2022)]. Анализ нелинейной динамики проведен с использованием подхода Мельникова. Предложен способ управления возможным гомоклиническим или гетероклиническим хаосом. Полученные результаты проверяются путем построения бассейнов притяжения системы и анализа их структуры. Установлено, что результаты, полученные методом Мельникова, согласуются со структурой построенных границ бассейна.

Публикации

1. Кудряшов Н.А. Solitary waves of the generalized Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan equation with four powers of nonlinearity Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics, Volume 448, Article number 128327 (год публикации - 2022).

2. Кудряшов Н.А. Exact solutions of equation for description of embedded solitons Optik, Volume 268, Article number 169801 (год публикации - 2022).

3. Кудряшов Н.А. Optical Solitons of the Generalized Nonlinear Schrödinger Equation with Kerr Nonlinearity and Dispersion of Unrestricted Order Mathematics, Volume 10 (18), Article number 3409 (год публикации - 2022).

4. Кудряшов Н.А. Governed optical solitons of the generalized Schrödinger equation with dual-power law of refractive index Optik, Volume 266, Article number 169619 (год публикации - 2022).

5. Кудряшов Н.А. Exact solutions of the complex Ginzburg–Landau equation with law of four powers of nonlinearity Optik, Volume 265, Article number 169548 (год публикации - 2022).

6. Кудряшов Н.А. Solitary waves of model with triple arbitrary power and non-local nonlinearity Optik, Volume 262, Article number 169334 (год публикации - 2022).

7. Кудряшов Н.А. Embedded Solitons of the Generalized Nonlinear Schrödinger Equation with High Dispersion Regular and Chaotic Dynamics, Volume 27, No. 6, pp. 680-696 (год публикации - 2022).

8. Кудряшов Н.А., Лаврова С.Ф. Complex dynamics of perturbed solitary waves in a nonlinear saturable medium: A Melnikov approach Optik, Volume 265, Article number 169454 (год публикации - 2022).

9. Кутуков А.А., Кудряшов Н.А. Аналитические решения обобщённого уравнения Трики-Бисваса Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», - (год публикации - 2022).

10. Маймистов А.И. Распространение электромагнитных волн в нелинейной гиперболической среде Квантовая электроника, - (год публикации - 2022).