Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проект посвящён разработке методов для исследования нелинейных математических моделей, встречающихся в нелинейной оптике и при распространении импульсов в оптических волокнах. Распространение импульсов в оптическом волокне описывается нелинейными уравнениями в частных производных, которые по своей сути являются различными обобщениями нелинейного уравнения Шредингера, учитывающими ряд дополнительных нелинейных эффектов. Прежде всего при распространении импульсов в оптической среде учитываются различные типы дифракции, которые приводят к дисперсии нелинейных волн и различные виды зависимостей показателя преломления среды. С математической точки зрения обобщение математических моделей приводит к тому, что обобщенные нелинейные уравнения в частных производных теряют свойство интегрируемости и задача Коши для уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. Это обстоятельство приводит к целому ряду трудностей при изучении таких нелинейных математических моделей и требует разработки специальных методов исследования. На первом этапе выполнения проекта применялись методы группового анализа, тест Пенлеве, методы использующие преобразования переменных, метод использования неявных функций, критерий, учитывающий функцию Мельникова, несколько вариантов метода простейших уравнений. Все запланированные на первый этап проекта цели были достигнуты, а основные результаты опубликованы в рецензируемых российских и зарубежных научных изданиях и представлены на международных конференциях. При выполнении проекта рассмотрено распространение квазигармонической электромагнитной волны в объемном гиперболическом диэлектрическом метаматериале, описываемое системой гиперболических нелинейных уравнений Шрёдингера [Маймистов А.И. Квантовая электроника, 52 (10) (2022)]. На примере простой модели нелинейной среды с использованием обобщенных уравнений Манакова проиллюстрировано проявление гиперболичности диэлектрического материала в процессе модуляционной неустойчивости. Показано, что геометрическое место максимального (как и нулевого) значения инкремента неустойчивости есть гипербола в плоскости волновых векторов гармонических возмущений. Это соответствует тому, что модуляционная неустойчивость может возникать для возмущений с любыми по величине волновыми числами. Учет дисперсии групповых скоростей и более сложной зависимости поляризации среды от напряженности электрического поля волны приведет к обобщению полученных в настоящей работе уравнений, что позволит предсказать новые явления в нелинейной оптике метаматериалов. При выполнении первого этапа проекта изучен ряд математических моделей, используя прямые преобразования, позволяющие осуществить редукцию от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям и последующем построении общих решений. В результате исследования систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в переменных бегущей волны, как правило, удается при последующем интегрировании найти аналитические решения рассматриваемых уравнений. Одна из таких моделей описывается обобщенным уравнением Шредингера с двухстепенным законом нелинейной среды и переменными коэффициентами [Kudryashov N.A. Optik, 266, 169619 (2022)]. Точные решения этого нелинейного дифференциального уравнения найдены используя ряд преобразований к интегрируемому обыкновенному дифференциальному уравнению. При этом получены ограничения на параметры математической модели, при которых существуют периодические и уединенные волновые решения. Рассмотрены примеры ускорения и торможения оптических солитонов. Другая модель, к которой в рамках проекта применен прямой метод, использующий последовательность преобразований, описывается комплексным уравнением Гинзбурга-Ландау, имеющим полиномиальный закон нелинейности с четырьмя произвольными степенями [Kudryashov N.A. Optik, 265, 169548 (2022)]. Приведено обоснование физической модели. Показано, что уравнение в частных производных допускает группы преобразования переноса для двух независимых переменными, поэтому решение может быть найдено с помощью редукции к переменным бегущей волны. Установлено, что прямой метод позволяет получать точные решения без ограничений на параметры математической модели. Приведены решения в виде светлых и темных оптических солитонов. Одним из известных способов построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений является использование решений более простых дифференциальных уравнений. При выполнении проекта предложен обобщенный метод нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений или метод неявных функций. Метод неявных функций также использован при рассмотрении нового обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с тройным показателем преломления и нелокальной нелинейностью [Kudryashov N.A. Optik, 262, 169334 (2022)]. Приведена новая форма оптических солитонов. Для нахождения точных решений нелинейного уравнения в частных производных введено вспомогательное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с двойной нелинейностью. Получены точные решения этого вспомогательного уравнения. Показано, что существуют оптические солитоны обобщенного нелинейного уравнения Шредингера нового типа, которые выражаются через неявные функции. При выполнении проекта рассмотрено комплексное уравнение Радхакришнана-Кунду-Лакшманана, имеющее полиномиальный закон нелинейности с четырьмя степенями [Kudryashov N.A. Physics Letters A, 448, 128327 (2022)]. Показано, что существуют периодические решения математической модели. Уединенные волновые решения, которые по своей сути являются оптическими солитонами комплексного уравнения Радхакришнана-Кунду-Лакшманана, получены в виде неявных функций с использованием объединения метода простейших уравнений и метода неявных функций. Модифицированный метод простейших уравнений предложен для исследования семейства обобщенных уравнений Шрёдингера с керровской нелинейностью [Kudryashov N.A. Regular and Chaotic Dynamics, 27 (6) (2022)]. Доказана теорема о существовании ярких солитонов для дифференциальных уравнений любого порядка с керровской нелинейностью рассматриваемого семейства. Найдены точные решения в виде вложенных солитонов, описываемых уравнениями четвертого, шестого, восьмого и десятого порядков. Получены новые решения для вложенных солитонов обобщенных нелинейных уравнений Шрёдингера с несколькими экстремумами. Рассмотрены несколько обобщенных уравнений Шредингера высокого порядка с керровской нелинейностью в переменных бегущей волны [Kudryashov N.A. Mathematics, 10 (18), 3409, (2022)]. Применен критерий Пенлеве для нахождения произвольных констант в разложении общего решения в ряд Лорана. Показано, что все рассматриваемые уравнения не проходят тест Пенлеве, но имеют две произвольные постоянные при локальном разложении общих решений. Доказана теорема существования оптических солитонов для уравнений высокого порядка. В качестве примера приведены оптические солитоны для дифференциальных уравнений в частных производных двенадцатого порядка. Одним из важных моментов при изучении распространения импульсов в оптическом волокне, является исследование возможности возникновения динамического хаоса в рассматриваемой системе. Проведено исследование нелинейной динамики обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим возмущением, полученное в результате перехода к переменным бегущей волны в модели, описывающей распространение импульсов в нелинейной среде с насыщением [Kudryashov N.A., Lavrova S.F. Optik, 265, 169454 (2022)]. Анализ нелинейной динамики проведен с использованием подхода Мельникова. Предложен способ управления возможным гомоклиническим или гетероклиническим хаосом. Полученные результаты проверяются путем построения бассейнов притяжения системы и анализа их структуры. Установлено, что результаты, полученные методом Мельникова, согласуются со структурой построенных границ бассейна.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Проект посвящён разработке аналитических и численных методов для исследования нелинейных математических моделей, встречающихся в нелинейной оптике и при распространении импульсов в оптических волокнах. При выполнении второго этапа проекта изучен ряд новых математических моделей, описывающих распространение импульсов в нелинейной оптической среде. Важность построения новых математических моделей обусловлена необходимостью повышения точности математических моделей и учёта нелинейных свойств оптической среды. Изучаемые модели описываются различными обобщениями нелинейного уравнения Шрёдингера. Для аналитического исследования таких моделей требуется применение и разработка специальных подходов, среди которых можно выделить метод исследования интегрируемости с использованием алгоритма Ковалевской, методы группового анализа, различные модификации метода простейших уравнений для нахождения точных решений, метод прямых преобразований. При выполнении проекта проведено аналитическое исследование новой математической модели нелинейной оптики, описываемой семейством обобщённых нелинейных уравнений Шрёдингера с неограниченной дисперсией и полиномиальной нелинейностью [Kudryashov N.A., Applied Mathematics Letters, 138, 108519 (2023)]. Проведено исследование редукций семейства нелинейных дифференциальных уравнений Шрёдингера с неограниченной дисперсией и полиномиальной нелинейностью на свойство Пенлеве. Показано, что в общем случае изучаемое уравнение не проходит тест Пенлеве. Найдены два целочисленных индекса Фукса, которым соответствуют две произвольные константы при разложении общего решения в ряд Лорана. Благодаря этому факту для поиска точных решений был использован модифицированный метод простейших уравнений и найдены оптические солитоны семейства нелинейных уравнений Шрёдингера с неограниченной дисперсией и полиномиальной нелинейностью. Одним из важных этапов в аналитическом исследовании нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных является нахождение законов сохранения, поскольку они позволяют найти сохраняющиеся величины для математической модели. Для семейства обобщённых нелинейных уравнений Шрёдингера с неограниченной дисперсией и полиномиальной нелинейностью был применён метод прямых преобразований для нахождения трёх законов сохранения [Kudryashov N.A., Nifontov D.R., Chaos, Solitons & Fractals, 175, 2, 114076, (2023)]. Полученные законы сохранения найдены без использования дифференциального оператора Эйлера и соответствуют мощности, энергии и импульсу оптических солитонов. Вычислены сохраняющиеся величины для оптических солитонов рассматриваемого семейства уравнений. Гамильтониан получен в общем виде для всего семейства обобщённых нелинейных уравнений Шрёдингера с неограниченной дисперсией и полиномиальной нелинейностью. При исследовании распространения импульсов в оптической среде часто используют модель Шрёдингера–Хироты, учитывающую дисперсионное слагаемое третьего порядка, а также её модификации. На втором этапе проекта рассмотрены два обобщения нелинейной модели Шрёдингера–Хироты. Первое обобщение модели Шрёдингера–Хироты, изученное при выполнении проекта, подразумевает рассмотрение произвольной степени нелинейности [Kudryashov N.A., Optik, 272, 170365, (2023)]. Проанализировано условие совместности переопределённой системы уравнений для действительной и мнимой частей редукции обобщённого уравнения Шрёдингера–Хироты к переменным бегущей волны. Получены условия на скорость и частоту волны. Найдены дисперсионные оптические солитоны изучаемого уравнения при произвольной степени нелинейности. Найдены периодические решения обобщённого уравнения Шрёдингера–Хироты при определённых значениях степени нелинейности. Второе обобщение модели Шрёдингера–Хироты, которое рассматривалось при выполнении второго этапа проекта, содержит производную четвёртого порядка [Kudryashov N.A., Optik, 274, 170587, (2023)]. Найдены условия совместности для системы уравнений, полученной из исходного уравнения после перехода к переменной бегущей волны. Для исследования свойства интегрируемости редукции обобщенного уравнения Шрёдингера–Хироты четвёртого порядка к переменным бегущей волны использован тест Пенлеве. Показано, что уравнение не проходит тест Пенлеве и поэтому не имеет общего решения в аналитическом виде. Для нахождения точных решений был использован метод простейших уравнений. Получено периодическое решение для математической модели, описываемой обобщенным уравнением Шредингера–Хироты четвертого порядка. Найдены оптические солитоны рассматриваемого уравнения. Одной из важных задач проекта является развитие методов исследования математических моделей, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. При выполнении проекта была изучена математическая модель Чави–Вадди–Колокольникова, которая используется для описания распространения бактериальных колоний при фототаксисе [Kudryashov N.A., Lavrova S.F., Mathematics, 11(14), 3203, (2023)]. Разработанные методы аналитического исследования данной модели планируется применить при изучении моделей нелинейной оптики. Установлено, что нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению Чави-Вадди-Колокольникова, в общем случае не проходит тест Пенлеве. Найдены ограничения на параметры математической модели, при которых система обыкновенных дифференциальных уравнений проходит тест Пенлеве. Получен первый интеграл нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, соответствующий исходной математической модели Чави–Вадди–Колокольникова. Выполнена классификация фазовых портретов соответствующей динамической системы, проиллюстрировавшая возможность нахождения стационарных ограниченных аналитических решений. Найдены аналитические решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению в частных производных Чави–Вадди–Колокольникова при помощи метода прямых преобразований и метода простейших уравнений. В дополнение к аналитическому исследованию модели Чави–Вадди–Колокольникова было проведено численное исследование этой модели и её модификации с учётом дисперсии [Кутуков А.А., Кудряшов Н.А., Вестник НИЯУ МИФИ, 6, (2023)]. Численное исследование модели выполнено с использованием псевдоспектрального метода. Для тестирования программы использованы точные решения обобщённого уравнения Чави–Вадди–Колокольникова. Для численного моделирования использованы начальные условия в виде периодических и уединённых волн, а также в виде белого шума. Установлено, что при различных значениях параметров модели происходит формирование периодических структур.