Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Для задач пространственной фильтрации реальных газов были получены интегральные представления решений, учитывающие уравнения состояния газа и возможные фазовые переходы 1-го рода. На их основе были созданы численные методы и созданы программы их визуализации (см. прилагаемые файлы). Математическая сторона этой части проекта опубликована в работе (Valentin Lychagin, Thermodynamics as a Theory of Measurement Journal of Geometry and Physics ,2021). Здесь же предложена схема исследования фазовых переходов 1-го рода и приведены вычисления для конкретных газов таких как метан, кислород, водород и других. Эти вычисления основаны на численной модели уравнений состояния Ландау-Лифшица для реальных газов, реализованной в работах (N.M. Kuznetsov, A.V. Dubrovsky, S.M. Frolov, Analytical approximation of the thermal and caloric equations of state for real gases over a wide density and temperature range, Russ. J. Phys. Chem. B 5(7) (2011) 1084–1105, V.V. Kozynda, A.V. Dubrovskii, S.M. Frolov, Real gas equation of state for methane, in: Atmosphere, Ionosphere, Safety. Kaliningrad, 2012, pp.55–58.). В данный момент описание фильтрации ряда реальных газов, например метана, является не только теоретическим, но и конкретным. Отметим также, что планируемое продолжение на следующий год указанной выше работы позволит также описывать фазовые переходы второго рода для реальных газов, а для конкретных газов (например, метана) включить их в расчет пространственной фильтрации. Для течений Эйлера и Навье-Стокса реальных газов вдоль пространственных кривых были вычислены алгебры Ли симметрий и найдены отвечающие им поля рациональных дифференциальных инвариантов, которые позволили записать уравнения Эйлера и Навье-Стокса в инвариантах. Полученные уравнения, так называемые фактор-уравнения, были использованы как для получения классов новых точных решений так и построения асимптотических решений, использующих вириальное разложение уравнений состояния для реальных газов. Так в статье [Duyunova A., Lychagin V., Tychkov S. Quotient of the Euler system on one class of curves // arXiv:2109.11984 [math-ph]. 2021 (принята в Journal of Geometry and Physics)] рассмотрена система уравнений Эйлера, описывающая одномерное движение невязкой среды вдоль кривой в пространстве. В данном случае изучаются кривые с квадратичной z-компонентой. Используя ранее найденные дифференциальные инварианты, мы находим сизигии, которые в данном случае являются фактор-системой исходной системы Эйлера. В качестве координат Ли — Трессе мы выбираем следующие дифференциальные инварианты: температуру, плотность, производные скорости, температуры и плотности вдоль кривой, а также производную температуры вдоль потока. Тогда фактор-уравнением является система четырех уравнений первого порядка на четыре неизвестные функции. Мы отыскиваем решения этой системы с помощью ее характеристик, добавляя соответствующие дифференциальные связи, выражающие постоянство решения вдоль характеристического векторного поля. В качестве примера мы рассматриваем среды, термодинамическое состояние которых описывается уравнением Клапейрона — Менделеева. Для нахождения решения исходного уравнения Эйлера мы добавляем решения фактор-уравнения к системе Эйлера, тем самым переопределяя последнюю. В статье [Duyunova A., Lychagin V., Tychkov S. Quotients of Navier–Stokes equation on space curves // Anal.Math.Phys. 2021. Т. 11. № 4. С. 175] рассмотрена одномерная система уравнений Навье — Стокса, описывающая движение вязкой среды вдоль обобщенной спирали: z-компонента кривой пропорциональна длине кривой. Найдено фактор-уравнение и классифицированы симметрии фактор-уравнения в зависимости от допускаемого средой термодинамического состояния. С помощью характеристик найдены решения фактора для случаев идеального и реального (уравнение Ван-дер-Ваальса) газов. Также с помощью вириального разложения уравнения состояния газа это фактор-уравнение сведено к последовательности решений обыкновенных дифференциальных уравнений и найдено решение для нулевого члена разложения. В следующем году планируется применить этот подход к системе уравнений в частных производных, описывающую движение невязкой жидкости (газа) в окрестности пространственной кривой. В работе (Roop M. Singularities in one-dimensional Euler flows // Journal of Geometry and Physics. — 2021. — Vol. 166. — P. 104272) были рассмотрены баротропические одномерные уравнения Эйлера. Были найдены многозначные решения для произвольной модели термодинамического состояния среды. Основная идея нахождения таких решений - добавление дифференциальных связей, совместных с исходной системой. Они, в свою очередь, находятся из фактор-уравнений для некоторой подгруппы группы симметрий. Получено фактор-уравнение относительно группы x-трансляций, установлено условие его приводимости к волновому. При помощи решений фактор-уравнения строятся решения уравнений Эйлера, которые содержат особенности типа сборки. Описаны также области возникновения ударных волн, каустики и фазовых переходов 1-го рода.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Исследованы модели Дарси и Дарси–Форхгеймера [. Лычагин В.В. On Darcy–Forchheimer Flows in Porous Media, Lobachevskii Journal of Mathematics (2022 г.) ], описывающие фильтрационные потоки реальных газов в пористых средах. Для уравнений Дарси–Форхгеймера были построены асимптотики решений по параметру к-проницаемости среды. Отметим, что законы Дарси и Дарси–Форхгеймера отличаются на члены порядка к3, где значение κ варьируется от 10-12 м2 до 10-20 м2, а поскольку скорости фильтрационных потоков очень малы, то мы изучаем только асимптотики по параметру к0.5 для стационарных фильтраций. Отметим, что члены асимптотического разложения до четвертого порядка не зависят от поправки Форхгеймера к закону Дарси, и только начиная с пятого порядка эта поправка играет существенную роль. Для членов первого и более высоких порядков асимптотики получены линейные дифференциальные уравнения с коэффициентами, зависящими от членов асимптотики меньшего порядка. Эти уравнения являются эллиптическими в областях, где вторая производная давления, P (ρ), не обращается в нуль. Отметим также что только начальный член асимптотических разложений уравнений Дарси и Дарси–Форххаймера явно зависит от гравитационного ускорения g. В случае, когда мы пренебрегаем гравитацией, это уравнение может быть решено явно, но при наличии гравитации это требует дополнительных исследований. Это проделано в работе (И.С. Красильщик, О.И. Морозов (I.S. Krasil’shchik, O.I. Morozov) The equation of filtration for real gases: group classification, exact solutions, conservation laws, and differential invariants Lobachevskii Journal of Mathematics (2022 г.)), где для этого дифференциального уравнения дана групповая классификация, описаны точные решения фактор-уравнений и построены законы сохранения, а также дано описание алгебры дифференциальных инвариантов. Это позволяет получить более полную информацию о начальных членах асимптотики. В случае фильтрации идеального газа была построена функция источника, которая экспоненциально убывает с расстоянием до источника и зависит от удельной газовой постоянной, ускорения, силы тяжести и температуры. Также была исследована фильтрация реальных газов, описываемых уравнениями состояния Ландау-Лифшица, без учёта гравитационной силы, в области трёхмерного пространства с непроницаемой границей, и при постоянных термодинамических потенциалах таких, как энтропия, энтальпия или свободная энергия Гиббса. Получаемые здесь нелинейные уравнения исследовалось с помощью асимптотических разложений решений по малому параметру, обратно пропорциональному времени наблюдения за фильтрацией. Были найдены члены асимптотики нулевого и первого порядков для случая нескольких источников и стоков в шаре. Это позволило, частности, исследовать фазовые переходы 1-го рода в фильтрации метана, уравнения состояния которого задавались уравнениями Ландау-Лифшица. Была рассмотрена также фильтрация метана при постоянной энтальпии. Решение было реализовано в виде библиотеки на языке Python, которая содержит уравнения состояния метана, моделирует фильтрацию метана в сфере и строит графики процесса в плоскости различных термодинамических переменных. Более того, в библиотеке реализована функция, которая анализирует фазовые переходы 1-рода и строит кривую сосуществования на плоскости интенсивных переменных температуры и давления. Используя результаты работы (V. Lychagin, “Thermodynamics as a theory of measurement,” J. Geom. Phys. 172, 104430 (2022).), был предложен метод нахождения фазовых переходов 2-го и высших родов как особенностей, возникающих при продолжении уравнений состояния газа в пространства джетов высших порядков. Найдены фазовые переходы 2-го и 3-го родов для газов описываемых уравнениями Ван дер Ваальса. Для уравнений состояния Ландау-Лифшица (в частности для газа метана) также найдены уравнения, описывающие фазовые переходы 2-го рода. Однако их численная обработка (хотя это и алгебраические уравнения) оказалась пока не выполнимой. В работах Красильщика И., совместно с соавторами, и Дуюновой А., Тычкова С. разрабатываются новые подходы к исследованию решений нелинейных дифференциальных уравнений, которые применяются и будут в дальнейшем применены к исследованию уравнений, описывающих фильтрацию и потоки реальных жидкостей и газов. Так в работе (I. S. Krasil’shchik, A. M. Verbovetsky.,Recursion operators in the cotangent covering of the rdDym equation. Analysis and Mathematical Physics (2022) 12:1.) описан общий метод построения нелокальных операторов рекурсии для симметрий нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, а в работах (I. S. Krasil’shchik. On Recursion Operators for Symmetries of the Pavlov–Mikhalev Equation. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022,I. S. Krasil’shchik, O. I. Morozov. The Equation of Filtration for Real Gases: Group Classification, Exact Solutions, Conservation Laws, and Differential Invariants. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022) этот метод применен к конкретным уравнениям, в том числе и к уравнениям фильтрации газа. В работе Дуюновой А. (Дуюнова А.А. (Duyunova A.A.) Quotient and Solutions of the One-Dimensional Navier–Stokes System Lobachevskii Journal of Mathematics (2022 г.)) рассматривается система уравнений Навье — Стокса, описывающая одномерное течение вязкой среды вдоль кривой, моделирующей тонкую трубу, при наличии силы тяжести. Кривая задана параметрически: а) двумя произвольными функциями натурального параметра, описывающими кривую на плоскости xy, б) квадратичной функцией, определяющей подъем кривой вдоль оси z. Данная система не является определённой. Поэтому для ее замыкания к ней добавляются уравнения термодинамического состояния газа, задаваемые потенциалом Планка. Для итоговой системы дифференциальных уравнений Навье — Стокса были найдены дифференциальные инварианты и отвечающая им фактор-система. Последняя система является определенной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Ее характеристические векторные поля позволяют явно построить классы решений фактора-уравнения. В свою очередь, эти решения были использованы для переопределения исходной системы Навье — Стокса, таким образом получая системы конечного типа. В итоге получены некоторые классы решений системы уравнения Навье — Стокса в аналитическом виде. При этом отметим, что полученные решения определены и имеют физический смысл только на ограниченных интервалах времени и только на ограниченных участках кривой, что вносит существенную коррекцию в наше представление о поведении решений уравнений Навье — Стокса.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
На основе контактной геометрии разработаны термодинамика движущихся и фильтрующихся сред, а также термодинамика гомогенных многокомпонентных сред. Это позволяет рассматривать термодинамические и химические процессы как потоки вдоль контактных векторных полей и тем самым включать их в уравнения фильтрации и движения. Полученные результаты опубликованы в статьях (Lychagin, On Thermodynamics of Multicomponent Systems, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, Vol. 44, No. 9, pp. 3951–3961) и (Duyunova A., V. Lychagin V., Tychkov S., Thermodynamics of One-Dimensional Flows, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, Vol. 44, No. 9, pp. 3913–3917), еще одна статья послана в печать, а ее препринт опубликован (arXiv:2311.15938, DOI: 10.13140/RG.2.2.20542.66885, Duyunova A., V. Lychagin V., Tychkov S., On dynamics and thermodynamics of moving media). Для системы уравнений Эйлера в пространстве, описывающей движение невязкой среды в поле силы тяжести, найдены алгебры Ли симметрий для произвольных уравнений состояния среды, и полностью описано поле рациональных инвариантов решений. Эта система уравнений перенесена на многообразие, представляющее собой цилиндрическую окрестность произвольной гладкой кривой, которую можно рассматривать как трубу малого, но конечного, радиуса. Отметим, что полученная система также зависит от инвариантов кривой, и для нее вычислено поле рациональных дифференциальных инвариантов, которые планируется использовать в следующем году для анализа течений. Результаты работы опубликованы в статье (Duyunova A. A., Differential invariants of inviscid flows in pipes, Contemporary Mathemtics, 2023,Vol. 788, pp. 101-110). Найдены конечномерные динамики для тепловых потоков в нелинейных средах которые позволили найти конечномерные инвариантные подмногообразия в пространствах решений соответствующих нелинейных уравнений теплопроводности и выделить среди их аттракторы и репеллеры. Результаты опубликованы в статье (Lychagin, Finite-Dimensional Dynamics in Nonlinear Heat Transfer, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, Vol. 44, No. 4, pp. 1407–1415). Продолжены исследования, связанные с описанием фазовых переходов высших порядков. Показана связь фазовых переходов с особенностями, возникающими при продолжениях лежандровых многообразий, определяющих уравнения состояния, в пространства джетов. Предложена методика нахождения фазовых переходов высшего порядка, компьютерный вариант которой реализован в пакете программ Maple. В частности, найдены кривые реализации фазовых переходов 2-го рода для газов описываемых van der Waals уравнениями. Результаты работы опубликованы в статье (Lychagin, Measurement of random operators, jet geometry and high-order phase transitions, Contemporary Mathemtics,2023, Volume 788,179-191). Инициированы исследование применения волновых управляющих воздействий в комбинации с физико-химическими реагентами (таких, как СО2, двуокись углерода, поверхностно-активные вещества, щелочные, полимерные и мицеллярные растворы) на процессы фильтрации. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье(Akhmetzyanov A., Samokhin A. A Model of the Wave Displacement of Hard-to-recover Oil Fields Reservoirs by Active Reagents, 2023 16th International Conference Management of large-scale system development (MLSD), Moscow, Russian Federation, 2023, pp. 1-5). Начаты совместные исследования сотрудников ИПУ РАН им. В.А. Трапезникова и РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина по моделям и алгоритмам оптимальной расстановки скважин на нефтяных и газовых месторождениях, которые предполагается продолжить в следующем году. Результаты работы представлены в докладе на конференции IFAC World Congress 2023 (Decomposition of the Model of Optimal Well Placement at Gas Fields» (Ermolaev A, Latipov A: IFAC Papers Online, Volume 56, Issue 2, 2023, Pages 2644-2649, 22nd IFAC World Congress 2023 July 9-14, 2023, Yokohama, Japan). Изучались фазовые переходы 1-го рода и особенности в термодинамике сред, описываемых уравнениями состояния Битти-Бриджмен и MSLV (Modified Solid-Liquid-Vapor). В первом случае найдены три критические точки и описаны фазовые переходы первого рода. В случае MSLV уравнений метана, описано лагранжево многообразие, задающее уравнения состояния, которое является поверхностью, разделенную на два непересекающихся листа, из которых один лист соответствует твёрдой фазе, второй – жидкой и газообразной фазам. Точки фазового перехода, а также критическая точка и области допустимых и недопустимых состояний, лежат на этом лагранжевом многообразии. При этом фазовые переходы твёрдое вещество-жидкость и твёрдое вещество-газ не имеют критических точек, а имеют только разрывы. Результаты работы посланы в печать и опубликованы в препринте (A. V. Batov,I. A. Galyaev, M. I. Kostiuchek, A. M. Salnikov, Some Features of the Modified Solid-Liquid-Vapor Equation of State, arXiv:2312.01877, 2023, https://doi.org/10.48550/arXiv.2312.01877), а также представлены в докладе на конференции (Костючек, М. И. Исследование особенностей уравнения состояния Битти–Бриджмен и фазовых переходов 1-го рода. Труды 65-й Всероссийской научной конференции МФТИ в честь 115-летия Л. Д. Ландау, 3–8 апреля 2023 г. Прикладная математика и информатика. – 2023. – С. 190-192). В статье ([Krasilshchik I.S., Morozov O.I., The equations of the Darcy--Brinkman flow: the Lie symmetry classification, conservation laws, and traveling wave solutions , Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. – Vol. 44) рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая потоки Дарси--Бринкмана. Для этой системы найдена алгебра Ли симметрий и приведена классификация рассматриваемых уравнений, основанная на этой алгебре Ли симметрий, а также построены законы сохранения и исследована редукция исходной системы, к системе описывающей решения типа бегущей волны. Показано, что при такой редукции система приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению Абеля и также рассмотрены случаи, когда последнее уравнение интегрируется в квадратурах. Коллективом авторов Батов, Галяев, Костючек, Сальников рассматривалось уравнение состояния Битти-Бриджмен, описывающее состояние смеси различных реальных газов, в том числе алканов, получаемых при нефтедобыче. Получен программный код, позволяющий строить фазовые переходы и находить особенность уравнения для любого процентного содержания ряда газов в смеси. Результаты работы были опубликованы в статье Галяев И.А., Костючек М.И., Батов А.В., Сальников А.М. (I. Galyaev, M. Kostiuchek, A. Batov and A. Salnikov) Critical Phenomena of Massieu–Plank Potential for Gas Mixtures Described by the Beattie–Bridgeman Equations of State Lobachevskii Journal of Mathematics (2023 г.) Создана библиотека классов feslib с открытым программным кодом на языке python, реализующая подходы и методы, разработанные в проекте. Библиотека применима как для чистых флюидов, так и для смесей. Классы флюидов включают в себя уравнения состояния, выражения для термодинамических потенциалов, уравнения фазового перехода, уравнения кривой особенностей. В библиотеке также реализованы функции расчёта точек фазового перехода. В библиотеке приведены практические примеры использования методов. Расчёты с использованием библиотеки feslib проводились на многопроцессорной вычислительной системе МВС-10П OП2 CLK (Cascade Lake) МСЦ РАН – филиала Федерального научного центра Научно-исследовательского института системных исследований Российской академии наук. Библиотека доступна для скачивания и установки по адресу https://github.com/LychaginTeam/feslib.