Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Сформулированы постановки новых задач о колебаниях неоднородных предварительно напряженных (ПН) тел: сплошных и имеющих отверстия и разномодульные включения пластин, круглых и кольцевых областей, полых цилиндров (труб), ПН и механические свойства которых являются непрерывными или кусочно-непрерывными функциями двух координат. Для задач о планарных колебаниях сплошных и имеющих отверстия и включения неоднородных прямоугольных предварительно напряженных пластин проведен анализ чувствительности акустического отклика к ПН в низкочастотной области. Конечно-элементная (КЭ) методика решения задачи реализована в виде программного комплекса в КЭ-пакете FreeFem++, и на ее основе проведен ряд вычислительных экспериментов по исследованию чувствительности нескольких типов плоского ПНС, образованного в результате начального механического нагружения, к различным типам зондирующего нагружения; исследовано влияние ПН на значения собственных частот, построены соответствующие графики АЧХ и двумерные графики функций чувствительности на частотах колебаний в окрестности 1-го и 2-го резонансов. Рассмотрено несколько вариантов прямоугольных пластин: сплошная пластина; пластина с одним или двумя круглыми отверстиями; пластина с одной или двумя жесткими вставками. На основе проведенного комплекса экспериментов даны обобщенные практические рекомендации по выбору эффективных режимов нагружения, частотных диапазонов зондирования, а также областей, в которых целесообразно измерять акустический отклик. Результаты исследования позволили сформулировать новые двумерные коэффициентные обратные задачи (ОЗ) по определению трех компонент ПН, зависящих от двух координат, для сплошных и имеющих отверстия и включения пластин. В качестве дополнительной информации используются смещения, измеренные на нескольких частотах на части границы при проведении трех испытаний по акустическому зондированию, различающихся видом нагружения. Изучен ряд двумерных и трехмерных задач о колебаниях полых цилиндров (труб), выполненных из функционально-градиентных материалов (ФГМ); в качестве законов изменения параметров Ламе и плотности рассматривались непрерывные и кусочно-непрерывные функции пространственных координат. Разработаны программные комплексы в пакете FlexPDE, проведена серия вычислительных экспериментов по исследованию установившихся колебаний полых цилиндров с различными законами изменения физических свойств и граничными условиями. Осуществлен сравнительный анализ численных решений задач для цилиндрических неоднородных тел в двумерных и трехмерных постановках. Исследованы задачи о колебаниях функционально-градиентных прямоугольных, круглых и кольцевых областей для различных граничных условий. Реализована методика трансляции численных данных из пакета FlexPDE в пакет Maple, проведен анализ степени влияния отдельных физических параметров на АЧХ; для некоторых постановок проведен анализ изменения резонансных частот в зависимости от значений двух параметров градиентности материала, изменение свойств которого описывается степенными законами. Рассмотрен ряд задач об установившихся колебаниях цилиндрических тел при наличии ПН, проведен анализ влияния уровней ПН на АЧХ и значения резонансных частот; рассмотрен отдельно случай наличия температурных ПН. Проведен сравнительный анализ с результатами, полученными с помощью пакета FreeFem++. Также получено соотношение, связывающее амплитуды ПН и соответствующие изменения значений резонансных частот. Для конечного полого цилиндра исследован случай наличия неоднородных полей ПН, задаваемых четырьмя компонентами тензора ПН; проанализированы аналитический и численный способы задания ПНС, проведен анализ возможностей упрощения рассмотренной модели ПН в полом цилиндре. Проведено исследование влияния трех рассмотренных типов ПН на поле перемещений для основных видов нагружения цилиндра. Описаны рекомендации по осуществлению эффективного частотного зондирования для последующей реконструкции амплитуд неоднородных ПН рассмотренных типов. Сформулирована ОЗ по нахождению интенсивностей трех рассмотренных типов ПН, когда известна дополнительная информация о поле перемещений в области продольного сечения цилиндра. Проведены исследования по валидации разработанных в рамках проекта моделей деформирования и колебаний ПН тел на основе сравнительного анализа с опубликованными экспериментальными результатами для цилиндрических и стержневых объектов. Построены уточненные постановки задач о колебаниях стержней и цилиндров при наличии начальных напряжений и деформаций, учтены факторы измененной геометрии в ходе начального деформирования в рамках классических и неклассических гипотез деформирования. На основе этих постановок задач проведена серия экспериментов по сравнению форм колебаний и резонансных частот рассмотренных объектов с опубликованными результатами натурных экспериментов. Оттиски работ по результатам, полученным в ходе выполнения этапа, направленные для публикации в журналы, индексируемые в Scopus и WoS, приложены в разделе 1.6 настоящего отчета в виде дополнительных материалов.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Представлены результаты исследования новых коэффициентных обратных задач (ОЗ) об идентификации двумерных законов изменения механических свойств и предварительных напряжений (ПН) в неоднородных цилиндрах и пластинах. С использованием результатов анализа чувствительности, проведенного на первом этапе, позволившего выявить оптимальные режимы зондирования, для решения ОЗ об идентификации трех компонент тензора ПН, являющихся функциями двух координат, в сплошных, а также имеющих отверстия и включения пластинах предложены эффективные схемы решения, основанные на акустическом подходе. В рамках этого подхода для осуществления процедуры идентификации использовались различные виды нагружения на нескольких частотах колебаний, акустический отклик считывался на свободных гранях пластин. ОЗ в такой постановке являются нелинейными, для их решения применялся метод линеаризации; построена итерационная схема решения задачи. На каждой итерации решались прямые задачи для текущих приближений искомых функций в конечно-элементном (КЭ) пакете FreeFem++, затем их решения использовались для определения поправок из выведенного операторного уравнения специального вида. Это уравнение отдельно исследовалось на основе разработанного проекционного метода, позволившего свести задачу к численному решению плохо-обусловленных СЛАУ относительно неизвестных параметров с применением метода регуляризации А.Н. Тихонова. В рамках предложенной методики были реализованы два подхода: когда совместно восстанавливаются 3 независимые функции-компоненты тензора ПН, и когда они выражены через одну восстанавливаемую функцию напряжений в условиях равновесия в начальной конфигурации. Методика решения ОЗ была апробирована в ряде вычислительных экспериментов по одновременной идентификации трех компонент тензора ПН, обусловленного действием неизвестного начального силового нагружения рассмотренных пластин. Моделирование ПН при этом также проводились в КЭ-пакете FreeFem++. Результаты экспериментов показали, что предложенная методика достаточно эффективна для идентификации ПН как в сплошных, так и в имеющих отверстия и включения пластинах. Расширен анализ чувствительности для толстостенных неоднородных ПН цилиндров при осесимметричных колебаниях для общего случая предварительно напряженного состояния (ПНС). Исследована новая коэффициентная ОЗ о восстановлении неоднородного ПНС, описываемого 6 компонентами тензора ПН, по информации об измеренном в продольном сечении цилиндра поле перемещений. Проведена оценка влияния ПН на динамические характеристики цилиндра, изучена возможность реконструкции ПН. Даны рекомендации по выбору наиболее эффективного режима акустического зондирования. Разработана методика решения ОЗ на основе слабой постановки задачи и поиска искомых двумерных функций ПН в форме линейной комбинации эталонных начальных состояний семи типов. Проведена серия вычислительных экспериментов по реконструкции 6 двумерных функций ПН. Разработана новая модель осесимметричных колебаний тонкостенного неоднородного цилиндра (оболочки) с переменными материальными свойствами при наличии неоднородного поля ПН. Проведена верификация полученной модели с помощью сравнения с классическим и конечно-элементным решениями в частных случаях. Изучено влияние ПН и переменных материальных модулей на деформационные и динамические характеристики. Проанализировано влияние параметра тонкостенности на точность построенной модели. Исследована ОЗ о восстановлении двух законов неоднородности ПН по информации о поле смещений, измеренном при фиксированной частоте колебаний, получены явные формулы для определения двух искомых функций. Проведена серия вычислительных экспериментов по реконструкции различных законов неоднородности ПН. Сформулированы новые коэффициентные ОЗ об определении двумерного закона изменения плотности в упругих неоднородной пластине и полом цилиндре по данным о полях смещений, измеренных в конечным наборах точек областей при фиксированных частотах. При их решении, для снижения погрешности вычисления производных от таблично-заданных функций двух переменных предложен многоэтапный подход, основанный на сплайн-аппроксимации, реализованной в пакете компьютерной алгебры Maple, и алгоритме локально взвешенной регрессии (LOWESS). Представлены примеры реконструкции двумерных законов изменения плотности различного вида, демонстрирующие возможность использования этого подхода. Проведен анализ влияния количества значений входных данных и погрешности их измерения на процедуру реконструкции. На примере задачи для пластины проведены соответствующие вычислительные эксперименты для различного уровня зашумления входных данных. Анализ результатов позволил сформулировать практические рекомендации по реализации наиболее эффективной процедуры реконструкции. Углублены исследования по валидации разработанных ранее моделей деформирования и колебаний предварительно напряженных стержней различных поперечных сечений и цилиндров в условиях закрепления нескольких типов путем сравнения с опубликованными данными натурных испытаний. При различных вариантах учета факторов начального напряженно-деформированного состояния сформулированы рекомендации по упрощению рассматриваемых моделей в классе задач о колебаниях рассмотренных цилиндрических тел с ПН. Усовершенствована предложенная в Проекте 18 модель решетчатой пластинки склеры глаза (РПСГ), позволившая учесть ее геометрические особенности в соответствии с опубликованными в литературе снимками. Модель представляет РПСГ как упругую неоднородную предварительно напряженную внутриглазным давлением круглую пластину в рамках гипотез Тимошенко-Миндлина. При этом рассмотрены установившиеся колебания пластины в рамках акустического зондирования. Разработана методика расчета колебаний, которая, как и расчет полей ПН, была реализована в виде вычислительного комплекса в КЭ-пакете FreeFEM++. Этот комплекс позволил провести подробный анализ с целью выявления влияния ПН на акустические характеристики: собственные формы колебаний для функций прогиба и углов поворота нормалей, резонансные частоты и АЧХ. Также, ввиду практической значимости для диагностики глаукомы, с использованием трансляции результатов КЭ-расчетов в пакет Maple предложена методика определения координаты точки перегиба РПСГ.