Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В ходе выполнения работ первого этапа проекта рассматривалось семейство начально-краевых задач, связанных с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, допускающими консервативную форму записи (форму закона сохранения). В качестве первой модельной задачи рассматривалась задача для квазилинейного уравнения переноса (уравнения Хопфа) с граничными условиями типа Дирихле. Первый этап проекта был посвящен разработке универсального подхода к численному моделированию начально-краевых задач, связанных с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка, допускающими консервативную форму записи, на адаптивных сетках. Построение подвижной сетки, адаптирующейся к особенностям исследуемого процесса, рассматривалось с точки зрения перехода в подвижную систему координат, локальная скорость которой опирается на свойства решения. В качестве основы подхода использовался известный принцип квазистационарности. В рамках исследования физическая расчетная область рассматривалась как пространство тривиального расслоения с базой из положительной оси времени. Переход в подвижную систему координат рассматривался как изоморфизм расслоений с одинаковой базой, такие системы координат были названы синхронными. В основу предлагаемого метода расчета была положена простейшая схема Годунова для исследуемого закона сохранения, но рассмотренного в подвижной системе координат. Потоки через границы расчетных ячеек рассчитывались на основе решения вспомогательной задачи Римана о распаде разрыва. Скорость движения сетки в рамках предлагаемого подхода находилась не из условий квазистационарности исследуемого процесса, а из требований обнуления скорости разрыва в соотношениях Ренкина-Гюгонио для всякой границы ячейки расчетной сетки. Для предупреждения неизбежного вырождения расчетной сетки на особенности решения предложен универсальный регуляризирующий механизм, выравнивающий коэффициенты деформации ячеек в областях сильного сгущения сетки. Соответствующее регуляризирующее слагаемое содержит один управляющий параметр, который может быть эффективно использован при численном решении исследуемой задачи. Показано, что можно оценить зависимость характерной величины сгущения сетки от величины параметра регуляризации: сгущение = максимальная скорость * шаг расчетной сетки / коэффициент регуляризации. Максимальная скорость движения узлов может быть оценена как максимальная характеристическая скорость системы. Таким образом коэффициент регуляризации может быть выбран автоматически в зависимости от допустимой степени сгущения сетки. Последняя величина имеет естественную физическую трактовку. Поскольку, как правило, численное решение некоторой задачи предполагает ее приближенное решение, естественным образом возникает величина предельно допустимой ширины разрешения особенности решения d. В идеальном случае для разрешения разрыва достаточно 2 узла расчетной сетки (по одному на каждом берегу разрыва), если в начальный момент времени синхронная система координат с шагом сетки h совпадает с физической, то оптимальная величина сгущения есть h/d. В этой связи регуляризирующий коэффициент оказывается вовсе не подгоночным, а оптимизирующим и может быть вычислен по следующей формуле: коэффициент регуляризации = максимальная скорость * ширина разрешения Показано, что величина характерного сгущения связана со стационарным положением динамической системы, приближенно описывающей движение узлов расчетной сетки. Методом линейного анализа показано, что указанное стационарное состояние устойчиво. Предложенный подход позволяет избежать сгущения сетки в областях постоянного решения. В связи с тем, что скорость системы координат находится в каждом узле из соотношений Ренкина-Гюгонио, между ячейками с одинаковыми значениями сохраняющейся величины происходит деление на ноль. Поэтому вводится последний управляющий параметр, определяющий минимальное значение перепада решения, который следует отслеживать. Если перепад меньше этого значения, то локальная скорость системы координат определяются исключительно регуляризирующим слагаемым. Таким образом, предложенный подход может быть применен с целому семейству нелинейных уравнений, для которого можно записать соотношения Ренкина-Гюгонио (т.е. допускающих консервативную форму записи). При этом, фигурирующие в методе подгоночные параметры не являются эмпирическими в смысле необходимости их явной подгонки под каждую конкретную задачу, а определяются из ответов на 2 вопроса: 1. Какова допустимая точность разрешения (размытия) особенности? 2. Какая величина перепада решения на стационарной сетке не существенна для результатов? Предложенный подход был протестирован на нескольких начально-краевых задачах для уравнения Хопфа, имеющих точное решение с особенностями. Результаты численного моделирования тестовых задач сравнивались с точными решениями и результатами расчетов на неподвижной сетке. Следует отметить, что на неподвижной сетке предлагаемый алгоритм воспроизводит простейшую схему Годунова. В рамках первого этапа проекта более эффективные схемы не рассматривались в силу своей не универсальности. На тестовых решениях проверялась сеточная сходимость используемых схем. В качестве сеточной нормы, использовалась l_1-норма, унаследованная из физического пространства через переход в подвижную систему координат. В этом случае в выражение для сеточной нормы явно входит коэффициент сгущения сетки, что иллюстрирует качество разрешения особенностей. Для каждой задачи строились траектории движения узлов подвижной сетки, а также исследовалась эффективность построенной оценки зависимости параметра регуляризации от сгущения. Для этого в каждом случае строились графики зависимости отношения максимального сгущения сетки к прогнозному от времени. Показано, что для достаточно больших значений оптимального сгущения (более 20), построенная оценка состоятельна. Для иллюстрации общности разработанного подхода была рассмотрена начально краевая задача для гиперболического уравнения Бакли-Леверетта. Результаты численных расчетов показали значительное повышение качества воспроизведения особенности решения по сравнению с результатами, полученными на неподвижной сетке. Как и в случае тестовых задач для уравнения Хопфа строились траектории движения узлов подвижной сетки, а также исследовалась эффективность построенной оценки зависимости параметра регуляризации от оптимального сгущения. Следует отметить, что при вычислении оптимального значения параметра регуляризации, следует аккуратно подходить к оценке максимальной характеристической скорости системы. В частности, в отличие от уравнения Хопфа, в случае уравнения Бакли-Леверетта последняя достигает своего максимального значения не на максимуме решения. Таким образом, в рамках выполнения работ первого этапа проекта, был предложен универсальный и простой в реализации подход, позволяющий разрешать особенности решений достаточно широкого класса нелинейных уравнений в частных производных с точностью, близкой к заданной. Наличие оценки на характерное сгущение (эквивалентно, расстояние между узлами) позволяет либо априорно задавать достаточно мелкий шаг по времени (достаточный, для устойчивости явной схемы), либо проводить корректировку шага по времени на каждом временном слое с гарантией его ограниченности снизу. В этой связи, предложенный подход может быть адаптирован и к решению содержательных задач на современных многопроцессорных вычислительных системах. Отдельно следует отметить, что разработанная модификация принципа квазистационарности, опирающаяся на соотношения Ренкина-Гюгонио с регуляризацией локального сгущения допускает прозрачное обобщение на многомерный случай.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В рамках второго этапа проекта результаты, полученные на первом этапе, были обобщены на более широкий класс приложений. Основные работы были посвящены разработке методов динамической адаптации расчетных сеток для нелинейных параболических уравнений. Для определения оптимальной скорости системы координат использовались соотношения типа Ренкина-Гюгонио, полученные для уравнения, которому удовлетворяет 1-джет решения исходной задачи. При численном решении задачи сеточная функция решения задается в узлах сетки, а сеточная функция 1-джета решения задается в ячейках сетки. В рамках предложенного подхода каждый узел (граница ячейки), трактуется как точка сильного разрыва 1-джета решения, требование стационарности разрыва определяет скорость движения узлов расчетной сетки. Были предложены два способа численного решения рассматриваемой задачи, так называемые одношаговая u-схема и двухшаговая p-схема. Для нахождения сеточной функции решения на новом временном слое в рамках u-схемы использовалась явная конечно-объемная аппроксимация дивергентной формы исходного уравнения в подвижной системе координат. Для нахождения сеточной функции решения на новом временном слое в рамках p-схемы использовалась явная конечно-объемная аппроксимация дивергентной формы уравнения для 1-джета решения в подвижной системе координат. Для предотвращения схлопывания ячеек расчетной сетки вблизи слабого разрыва решения использовался регуляризирующий механизм, предложенный в рамках первого этапа работ по проекту. Была получена оценка на величину характерного сгущения сетки в зависимости от параметра регуляризации. При переходе в подвижную систему координат задача для уравнения теплопроводности (диффузии) становится задачей для уравнения типа конвекции-диффузии за счет возникновения конвекционного члена, связанного с движением системы координат. В этой связи актуальным становится вопрос о монотонности разностной схемы. Предложены монотонизированные варианты u-схемы и p-схемы. На примере двумерных аналогов уравнения Хопфа и Бакли-Леверетта была рассмотрена возможность обобщения разработанного подхода к многомерным задачам. При численном решении величина, претерпевающая сильный разрыв, вычисляется в ячейках сетки, каждая грань ячейки трактуется как поверхность разрыва, а скорость узлов определяется системой уравнений из соотношений Гюгонио-Ренкина на гранях. Главным результатом работ второго этапа проекта, является простое в реализации обобщение предложенного ранее метода построения динамически адаптирующихся сеток на случай параболических уравнений. Предложены монотонные схемы для численного решения рассматриваемых задач с негладкими решениями, осуществляющие высокоточное разрешение слабых разрывов.