КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 21-71-00090

НазваниеКонечноэлементное моделирование геоэлектромагнитных полей в средах, содержащих непроводящие подобласти

РуководительКошкина Юлия Игоревна, Кандидат технических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Новосибирский государственный технический университет", Новосибирская обл

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2021 - 06.2023 

Конкурс№60 - Конкурс 2021 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-219 - Математическое моделирование в науках о Земле и проблемах окружающей среды

Ключевые словаМатематическое моделирование, метод конечных элементов, метод деревьев-кодеревьев, итерационные методы, прямые методы, предобусловливание, геоэлектромагнетизм

Код ГРНТИ27.41.00

СтатусУспешно завершен

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект будет посвящен разработке методов моделирования трехмерных геоэлектромагнитных полей на основе векторного метода конечных элементов (МКЭ), разработке методов решения получаемых конечноэлементных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в том числе с использованием распараллеливания, созданию программного обеспечения на основе разработанных математических методов вычислительного моделирования. Необходимость разработки и совершенствования методов численного моделирования трехмерных геоэлектромагнитных полей обусловлена сложностью моделей электропроводности реальных сред, в которых осуществляется разработка полезных ископаемых, в том числе углеводородов. Для корректного описания сложной геометрии объектов, обладающих электрической проводимостью различного контраста, необходимо использование современных методов, таких как векторный МКЭ. Основные вычислительны затраты, возникающие при моделировании трехмерных электромагнитных полей с использованием сеточных методов, таких как МКЭ, приходятся на решение СЛАУ. Затраты на решение СЛАУ являются определяющим, и во многих случаях большое время решения СЛАУ значительно затрудняет переход к более подробным моделям восстанавливаемой геологической среды, что в конечном итоге влечет за собой неточности и ошибки в определении залежей полезных ископаемых. Таким образом, задача, решаемая в рамках проекта, представляется актуальной. На протяжении долгого времени для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающих при моделировании трехмерных электромагнитных полей с использованием сеточных методов, таких как МКР и МКЭ, использовались итерационные методы ввиду большого размера и разреженности матриц СЛАУ. Однако прогресс в развитии вычислительной техники в последние годы сделал возможным эффективно применять прямые методы решения СЛАУ для решения систем большой размерности [V.Puzyrev, S. Koric, S. Wilkin, Evaluation of parallel direct sparse linear solvers in electromagnetic geophysical problems // Computers & Geosciences, Vol. 89, 2016, P. 79-87.]. К тому же, прямые методы достаточно эффективно подвергаются распараллеливанию в общей памяти. К настоящему времени существуют неплохие их реализации, например, PARDISO и MUMPS. Одной из проблем, возникающих при решении уравнений ротор-роторного типа, описывающих распределение компонент электромагнитного поля в трехмерной среде, является наличие большого нуль-ядра ротор-роторного оператора, состоящего из градиентных функций. Этот факт затрудняет эффективное использование итерационных методов и делает попросту невозможным использование прямых методов решения СЛАУ. Применение метода деревьев-кодеревьев [Alotto P., Perugia I. Tree-cotree implicit condensation in magnetostatics // IEEE Transactions on Magnetics, vol. 36, no. 4, July 2000, pp.1523-1526; Repetto M. Trevisan F. Global formulation of 3D magnetostatics using flux and gauged potentials // International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 60, 755-772 (2004).] позволяет исключить градиентные функции и позволяет получить невырожденную матрицу СЛАУ, однако при этом сильно ухудшаются спектральные характеристики матрицы [Igarashi H. On the property of the curl-curl matrix in finite element analysis with edge elements // IEEE Transactions on Magnetics, vol. 37, no. 5, September 2001, pp.3129-3132.], что резко увеличивает число итераций в итерационных методах решения СЛАУ. Одной из идей проекта является модификация метода деревьев-кодеревьев для исключения нуль-ядра матрицы СЛАУ с выбором ребер дерева (эти неизвестные будут исключены) так, чтобы максимально уменьшить ширину ленты матрицы, сделав применение прямых методов более эффективным. Таким образом, использование метода деревьев-кодеревьев при решении задач моделирования геоэлектромагнитных полей позволит, во-первых, корректно учесть наличие непроводящего воздушного пространства в расчетной области, во-вторых, получить СЛАУ с невырожденными матрицами, в-третьих, получить разреженные СЛАУ с более узкой лентой, что ускорит быстродействие прямых методов решения СЛАУ. Также будут разработаны предобусловливатели для итерационных методов решения СЛАУ, основанные на применении метода деревьев-кодеревьев. Научная новизна проекта состоит в том, что впервые будут применены методы моделирования двумерных и трехмерных геоэлектромагнитных полей, основанные на применении технологий деревьев-кодеревьев в векторном методе конечных элементов, для решения задач геоэлектроразведки с контролируемыми источниками. Будут проведены исследования эффективности разработанных методов в зависимости от задаваемых значений проводимости геоэлектрической среды. В ходе выполнения проекта будут разработаны новые методы для проведения быстрых расчетов геоэлектромагнитных полей как в частотной, так и во временной области, возбуждаемых контролируемыми источниками (незаземленная круговая токовая петля, горизонтальная электрическая линия).

Ожидаемые результаты
Будут разработаны методы моделирования трехмерных геоэлектромагнитных полей, превосходящие существующие аналоги по скорости и точности вычислений. Результаты проекта могут быть использованы геологоразведочными организациями при обработке полевых данных, полученными электромагнитными методами поиска и разведки полезных ископаемых, в том числе направленными на поиск углеводородов, а также при проектировании таких работ. Таким образом, результаты проекта смогут позволить получить более качественные результаты обработки данных электроразведки при меньших затратах. Ожидается, что уровень полученных научных результатов будет не ниже мирового.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В ходе выполнения проекта были разработаны программные модули для моделирования двумерных и трехмерных электромагнитных полей в задачах геоэлектромагнетизма, которые были объединены в программный комплекс. В программном комплексе реализованы: технология выделения поля горизонтально-слоистой среды, построение конечноэлементных аппроксимаций на двумерных сетках с терминальными узлами, основанных на векторном методе конечных элементов. При этом в двумерном случае конечноэлементная сетка может быть как согласованной, так и несогласованной. Это учитывается в вычислительном модуле построения конечноэлементных сеток, модуле сборки глобальных матриц и вектора правой части конечноэлементной СЛАУ (при этом на несогласованной сетке используется технология сборки глобальной матрицы с помощью матрицы перехода, и формируется матрица соответствия регулярных и нерегулярных ребер из-за используемых векторных базисных функций). Использование алгоритмов построения несогласованных сеток уменьшает ширину ленты матриц конечноэлементных СЛАУ, и, как следствие, сокращает время, затраченное на решение данной СЛАУ, а, как известно, наиболее вычислительно затратной операцией при расчетах многомерных электромагнитных полей является именно решение больших систем линейных алгебраических уравнений, получаемых в результате дискретизации решаемой задачи. Разработан алгоритм построения остовного дерева в двумерной сетке с несогласованными конечноэлементными ячейками и висячими узлами с целью уменьшения ширины ленты получаемой конечноэлементной матрицы СЛАУ. Разработан алгоритм корректной предварительной обработки ребер, включаемых в дерево на сетке с висячими узлами и несогласованными элементами. Вычислительные эксперименты показали корректность разработанных алгоритмов и программ с применением построения остовного дерева в непроводящей подобласти. Был проведен контроль точности, выполненный путем вложенного дробления конечноэлементной сетки, который показал, что погрешность расчетов не превышает 1-2 %. Проведена верификация программного комплекса, реализующего разработанные на данном этапе проекта алгоритмы, в сравнении с результатами международного проекта COMMEMI (рассмотрена модель 1A из данного проекта). Результаты согласуются в пределах 2-3%. Время счета при этом составило около 15 секунд для постановки без учета ядра и около 10 секунд с построением дерева.

 

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Разработаны методы и программы моделирования трехмерных геоэлектромагнитных полей с использованием векторного МКЭ и технологии деревьев-кодеревьев. При этом трехмерные конечноэлементные сетки содержат несогласованные ячейки. Были разработаны вещественнозначные предобусловливатели для матриц конечноэлементных СЛАУ, полученных, в результате декомпозиции матрицы СЛАУ, полученной с помощью метода деревьев-кодеревьев. Данные предобусловливатели основанны на полной факторизации блоков матрицы СЛАУ. Первый из них состоит из суммы вещественной и мнимой части полной матрицы СЛАУ. Второй состоит из двух факторизованных блоков данной вещественнозначной матрицы: факторизованного блока, соответствующего реберным степеням свободы, и блока, соответствующего неизвестным, ассоциированных с узлами. Данные предобусловливатели использовались совместно с методом COCR. Разработан и успешно применен свернутый предобусловливатель, состоящий из диагонального предобусловливания для блоков, соответствующих реберным и узловым степеням свободы и с использованием матрицы перехода, которая устанавливает соответствие между реберными базисными функциями и градиентами скалярных узловых базисных функций. Проведены вычислительные эксперименты на моделях COMMEMI 3D-1A и DTM1 в широком диапазоне частот от 0.0001 Гц до 10 Гц и выполнен анализ точности полученного решения путем сравнения с решениями на вложенных сетках, а также путем сравнения с решениями, проведенными другими авторами. Вычислительные эксперименты показали успешное применение метода деревьев-кодеревьев в сочетании с прямым методом решения СЛАУ (время решения СЛАУ уменьшилось в среднем в 1.6 раза.) в отличие от использования итерационного метода. Использование предобусловливателей, основанных на полной факторизации блоков матрицы СЛАУ позволило дополнительно уменьшить время решения СЛАУ. При этом наилучшие результаты показал предобусловливатель, основанный на факторизации блоков для неизвестных, соответствующих реберным базисным функциям и узловым базисным функциям.

 

Публикации

1. Домников П.А., Кошкина Ю.И. Конечноэлементное моделирование трехмерного магнитотеллурического поля в среде с непроводящей подобластью Обработка информации и математическое моделирование : материалы науч.- техн. конф., 4 c. (год публикации - 2023)

2. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Домников П.А., Кошкина Ю.И., Киселев Д.С., Киселева А.С. Iterative solver with folded preconditioner for finite element simulation of magnetotelluric fields Computers & Geosciences, Vol. 169, December 2022. - Art. 105244 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1016/j.cageo.2022.105244

3. Домников П.А., Кошкина Ю.И. Сравнение прямых и итерационных методов решения конечноэлементных СЛАУ в магнитотеллурических задачах с непроводящей подобластью Марчуковские научные чтения-2022 : Тезисы Междунар. конф., С. 30 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.24412/cl-35065-2022-1-00-22

4. Домников Петр Александрович, Кошкина Юлия Игоревна TridiagVFEM2D (Tridiagonal Vector Finite Element Method in 2D) -, 2023618625 (год публикации - )

Возможность практического использования результатов
Полученные результаты могут быть использованы на предприятиях, проводящих расчеты электромагнитных полей в области геоэлектромагнитных исследований.