Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Получено конвективное граничное интегральное уравнение для неизотермической кристаллизации из бинарного раствора. Конвективный граничный интеграл выведен в трехмерном и двумерном случаях. Рассматривая отдельно задачи теплопроводности и диффузии удалось применить две различные функции Грина для линейных задач теплопроводности и диффузии без конвекции и получить общее интегро-дифференциальное уравнение, которое задает зависимость формы поверхности кристалла от внешних условий: термического и концентрационного переохлаждений и конвективного течения. В случае стационарного роста кристалла все точки его поверхности смещаются с одной и той же постоянной скоростью, а значит его поверхность должна быть изотермической, тогда температура зависит только от одной нормальной к поверхности пространственной координаты, а градиент температуры совпадает с производной по этой координате, что позволяет существенно упростить конвективный интегральный вклад. В этом случае удается перейти от параболических уравнений теплопроводности и диффузии в частных производных к одномерным дифференциальным уравнениям второго порядка. Используя новую ортогональную криволинейную систему, учитывающую симметрию поверхностной формы, удалось вывести упрощенный конвективный граничный интеграл для симметричных стационарно растущих поверхностных форм как в трехмерном, так и в двумерном случаях. Конвективный граничный интеграл берется от функции Грина, умноженной на скалярное произведение скорости течения и градиента температуры, по трем пространственным координатам и времени. Для симметричных стационарных форм скалярное произведение скорости движения жидкости и градиента температуры зависит только от одной пространственной координаты. Тогда вычисление конвективного граничного интеграла удобно начинать с интегрирования функции Грина по оставшимся двум пространственным координатам и времени. Вычислен интеграл от функции Грина для параболического (параболоидального) дендрита, у которой точкой источника лежит в жидком расплаве, а не на дендритной поверхности. Функция Грина зависит от двух четырехмерных векторов – точки источника и точки наблюдения. При вычислении интеграла от функции Грина было замечено, что точка наблюдения лежит на изотермической поверхности дендрита, а значит, переохлаждение не должно зависеть от положения этой точки. Интеграл удалось заметно упростить, выбрав и зафиксировав точку наблюдения в начале системы координат, совпадающем с вершиной дендрита. Проведена верификация трехмерной модели для фиксированной формы поверхности, выбранной в виде параболоида вращения, что соответствует игольчатому дендриту и равномерно набегающего на такой дендрит потока вязкой жидкости. При фиксированных поверхностной функции и течении жидкой фазы беспримесное, чисто температурное конвективное граничное интегральное уравнение определяет переохлаждение у дендритной поверхности, как функцию трех безразмерных параметров: числа Пекле, числа Рейнольдса и числа Прандтля. В случае термо-концентрационной задачи, переохлаждение дополнительно будет зависеть от концентрации примеси в жидкой фазе вдали от поверхности раздела фаз. Для двумерной модели верификация проводилась путем сравнения переохлаждений, полученных из конвективного граничного интеграла и из прямого решения краевой дифференциальной задачи для фиксированной формы поверхности – параболического цилиндра при фиксированном поле скоростей течения жидкого раствора. Параболический цилиндр используется для аппроксимации формы пластинчатых дендритов. Показано, что для дендритов, имеющих форму параболоида вращения и параболического цилиндра, конвективное граничное интегральное уравнение дает точно такую же зависимость переохлаждения от чисел Пекле, Рейнольдса и Прандтля, как и прямое решение краевой дифференциальной задачи. Термо-концентрационный граничный интеграл верифицировался сравнением переохлаждения с решением краевой задачи при различных пересыщениях раствора примесью. Нужно отметить, что результаты сравнивались численно, поскольку аналитически два решения имеют разную форму. Другой подход к верификации заключался в сведении нового интегрального уравнения к ранее известным путем предельных переходов. Показано, что конвективное граничное термо-концентрационное уравнение содержит в себе: 1) Уравнение для беспримесной кристаллизации под действием только теплового градиента в трехмерном случае, при стремящейся к нулю концентрации примеси в жидкой фазе; 2) Двух и трехмерные уравнения для термо-концентрационной кристаллизации без конвекции, при стремящейся к нулю скорости течения. Конвективный граничный интеграл был вычислен для роста параболического дендрита в набегающем потоке идеальной жидкости. Была проведена верификация граничного интеграла путем сравнения переохлаждения с решением краевой задачи для роста параболического дендрита в идеальном потоке жидкости. Было показано, что зависимости переохлаждения у дендритной поверхности от числа Пекле, построенные для конвекции идеальной жидкости и вязкой жидкости в приближении Осеена, практически совпадают для металлов и металлических сплавов. Расхождения между кривыми наблюдаются только в области больших чисел Рейнольдса (порядка 1), когда линейное приближение Осеена становится не применимо. В то же время изменение характера конвекции приводит к существенному сдвигу зависимости переохлаждения от числа Пекле для органических материалов и водных растворов. Был найден параметр, определяющий необходимости учета вязкости. Этим параметром является число Прандтля, которое для металлов имеет порядок 10-2, а для водных растворов - 101. Число Прандтля позволяет сравнивать два разных механизма теплопередачи: диффузионный и передачу энергии путем вязкого трения. В металлах, вследствие низкой вязкости и большой теплопроводности, число Прандтля мало и преобладает диффузионный механизм передачи тепла. Таким образом, показано, что для металлических сплавов можно использовать значительно более простую модель идеальной жидкости, вместо вязкой. Результаты проекта были доложены на 4 научных профильных конференциях. О результатах проекта подготовлено 2 сообщения в СМИ: 1) https://urfu.ru/ru/news/41533/ 2) https://poisknews.ru/themes/matematika/matematicheskoe-uravnenie-pomozhet-v-proizvodstve-stali-s-uluchshennymi-svojstvami/

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Построено решение конвективного граничного интегрального уравнения для стационарного роста дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида в бинарном растворе. Данное решение определяет переохлаждение на изотермической поверхности дендрита в зависимости от числа Пекле, числа Рейнольдса, числа Прандтля и параметра эллиптичности формы. Учитывается влияние набегающего на дендрит потока жидкой фазы, уносящего с собой тепло и примесь, выделившиеся на поверхности дендрита. Проведена верификация метода граничного интеграла, путем сравнения построенного интегрального решения с ранее известным решением краевой дифференциальной задачи. Показано, что найденное решение может быть сведено к более простым случаям роста трехмерного осесимметричного дендрита, двумерного параболического дендрита и дендрита растущего в неподвижном растворе. Найдено переохлаждение на поверхности двумерного дендрита, растущего в наклонном потоке. Если ось натекания потока совпадает с направлением роста дендрита, то задача имеет ось симметрии и может быть сведена к ОДУ с одной пространственной параболической координатой. Когда направление течения отклоняется от оси роста дендрита, задача математически существенно усложняется. Метод граничного интеграла позволил построить приближенное распределение температуры в окрестности дендрита, растущего в наклонном потоке, в зависимости от угла наклона потока. Определено переохлаждение на дендритной поверхности и построены изотермы в жидкой фазе. Получено качественное совпадение с экспериментальными данными, изотермы смещены в противоположную сторону от направления натекания холодного расплава. Показано, что метод граничного интеграла позволяет исследовать линейную устойчивость кристаллических фронтов при наличии конвекции. Интегро-дифференциальное уравнение использовалось для исследования линейной устойчивости плоского фронта. Рассматривались нормальные возмущения плоской границы между двумя жидкостями разного химического состава и определялись области устойчивости, в зависимости от внешних параметров системы: скорости течения, стабилизирующего градиента концентрации примеси на бесконечности и разности равновесных концентраций в двух жидких фазах. Из граничного конвективного интегрального уравнения была определена поправка на параболическую форму вдали от вершины дендрита. Показано влияние набегающего потока на форму дендрита.