КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 21-71-00044
НазваниеДинамика подвижной границы фронта кристаллизации в конвективном потоке расплава
РуководительТитова Екатерина Александровна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина", Свердловская обл
Период выполнения при поддержке РНФ | 07.2021 - 06.2023 |
Конкурс№60 - Конкурс 2021 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-311 - Гидромеханика многофазных сред
Ключевые словаФазовые переходы, кинетика, рост кристаллов, структурообразование, математическое моделирование, затвердевание, новые материалы
Код ГРНТИ30.17.35
СтатусУспешно завершен
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект направлен на получение и аналитическое исследование граничного интегро-дифференциального уравнения, описывающего динамику криволинейного межфазного фронта при наличии конвективного потока в жидкой фазе. Это уравнение предлагается получить, применяя функцию Грина (функцию влияния точечного источника) к задачам конвективной теплопроводности и диффузии с подвижной границей фазового перехода. Интегрируя функцию Грина по времени и поверхности раздела фаз, можно найти решение краевой задачи в виде интегро-дифференциального граничного уравнения, определяющего связь формы межфазной поверхности с температурным и концентрационным переохлаждениями.
Результаты проекта уточнят представления о физической природе процессов кристаллизации и предоставят новый подход к моделированию таких процессов. Существующие граничные интегральные решения не учитывают вклад конвекции, который становится критически важным при кристаллизации, происходящей со скоростью, близкой к скорости течения расплава. Решение краевых задач с подвижной границей применимо в различных разделах науки при описании фазовых переходов 1 рода, от физики материалов и металлурги до геофизики, астрофизики и метеорологии. В проекте предлагается развитие ранее известного метода граничных интегралов для моделирования кристаллизации в распространенном случае подвижного расплава.
Вклад конвекции в распределение тепла и примеси может на порядок и более превышать вклад от процессов теплопроводности и диффузии, таким образом, течение жидкости может быть фактором, определяющим динамику кристаллизационного фронта. Например, размер кристаллов гидроксиапатита, выращенных в условиях невесомости, где отсутствует термогравитационная конвекция, в десять - сто раз больше, чем у их земных аналогов. Поскольку общемировой тенденцией является непрерывное увеличение диаметра кристаллов, то, соответственно, растут объемы расплава, конвективные течения расплавов, формируемые комплексом объемных и поверхностных сил, при этом неизбежно становятся турбулентными, что существенно усложняет их численное и аналитическое моделирование. Конвективный теплообмен на фронте кристаллизации происходит в режимах ламинарно-турбулентного перехода в пограничных слоях. При этом и в режимах свободной конвекции, и в режимах смешанной конвекции тепломассообмен происходит в условиях с существенной радиальной неоднородностью. Все эти факторы показывают необходимость развития методов моделирования роста кристаллов в конвективном потоке жидкости. Новизна проекта состоит в получении граничного интегрального уравнения, позволяющего как численно, так и аналитически исследовать влияние конвекции на форму и динамику движения кристаллизационного фронта.
Верификация построенной модели будет проводится путем сравнения найденных решений для конкретных поверхностных форм с решениями, известными из литературных данных, а также с результатами компьютерного и натурного эксперимента.
Ожидаемые результаты
Будет построено общее решение краевой задачи с подвижной поверхностью раздела фаз при наличии конвекции в виде суммы двух интегральных вкладов, один из которых соответствует решению для неподвижной жидкой фазы, а второй определяет влияние конвекции. Данное решение будет описывать динамику криволинейных фронтов кристаллизации (или плавления) произвольной геометрии и позволит учесть конвекцию, существенно влияющую на тепломассоперенос. Корректность найденного интегрального уравнения будет проверена при сравнении зависимостей переохлаждения от числа Пекле с известными данными для роста игольчатых и пластинчатых кристаллов.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Получено конвективное граничное интегральное уравнение для неизотермической кристаллизации из бинарного раствора. Конвективный граничный интеграл выведен в трехмерном и двумерном случаях. Рассматривая отдельно задачи теплопроводности и диффузии удалось применить две различные функции Грина для линейных задач теплопроводности и диффузии без конвекции и получить общее интегро-дифференциальное уравнение, которое задает зависимость формы поверхности кристалла от внешних условий: термического и концентрационного переохлаждений и конвективного течения. В случае стационарного роста кристалла все точки его поверхности смещаются с одной и той же постоянной скоростью, а значит его поверхность должна быть изотермической, тогда температура зависит только от одной нормальной к поверхности пространственной координаты, а градиент температуры совпадает с производной по этой координате, что позволяет существенно упростить конвективный интегральный вклад. В этом случае удается перейти от параболических уравнений теплопроводности и диффузии в частных производных к одномерным дифференциальным уравнениям второго порядка. Используя новую ортогональную криволинейную систему, учитывающую симметрию поверхностной формы, удалось вывести упрощенный конвективный граничный интеграл для симметричных стационарно растущих поверхностных форм как в трехмерном, так и в двумерном случаях. Конвективный граничный интеграл берется от функции Грина, умноженной на скалярное произведение скорости течения и градиента температуры, по трем пространственным координатам и времени. Для симметричных стационарных форм скалярное произведение скорости движения жидкости и градиента температуры зависит только от одной пространственной координаты. Тогда вычисление конвективного граничного интеграла удобно начинать с интегрирования функции Грина по оставшимся двум пространственным координатам и времени. Вычислен интеграл от функции Грина для параболического (параболоидального) дендрита, у которой точкой источника лежит в жидком расплаве, а не на дендритной поверхности. Функция Грина зависит от двух четырехмерных векторов – точки источника и точки наблюдения. При вычислении интеграла от функции Грина было замечено, что точка наблюдения лежит на изотермической поверхности дендрита, а значит, переохлаждение не должно зависеть от положения этой точки. Интеграл удалось заметно упростить, выбрав и зафиксировав точку наблюдения в начале системы координат, совпадающем с вершиной дендрита. Проведена верификация трехмерной модели для фиксированной формы поверхности, выбранной в виде параболоида вращения, что соответствует игольчатому дендриту и равномерно набегающего на такой дендрит потока вязкой жидкости. При фиксированных поверхностной функции и течении жидкой фазы беспримесное, чисто температурное конвективное граничное интегральное уравнение определяет переохлаждение у дендритной поверхности, как функцию трех безразмерных параметров: числа Пекле, числа Рейнольдса и числа Прандтля. В случае термо-концентрационной задачи, переохлаждение дополнительно будет зависеть от концентрации примеси в жидкой фазе вдали от поверхности раздела фаз. Для двумерной модели верификация проводилась путем сравнения переохлаждений, полученных из конвективного граничного интеграла и из прямого решения краевой дифференциальной задачи для фиксированной формы поверхности – параболического цилиндра при фиксированном поле скоростей течения жидкого раствора. Параболический цилиндр используется для аппроксимации формы пластинчатых дендритов. Показано, что для дендритов, имеющих форму параболоида вращения и параболического цилиндра, конвективное граничное интегральное уравнение дает точно такую же зависимость переохлаждения от чисел Пекле, Рейнольдса и Прандтля, как и прямое решение краевой дифференциальной задачи. Термо-концентрационный граничный интеграл верифицировался сравнением переохлаждения с решением краевой задачи при различных пересыщениях раствора примесью. Нужно отметить, что результаты сравнивались численно, поскольку аналитически два решения имеют разную форму.
Другой подход к верификации заключался в сведении нового интегрального уравнения к ранее известным путем предельных переходов. Показано, что конвективное граничное термо-концентрационное уравнение содержит в себе:
1) Уравнение для беспримесной кристаллизации под действием только теплового градиента в трехмерном случае, при стремящейся к нулю концентрации примеси в жидкой фазе;
2) Двух и трехмерные уравнения для термо-концентрационной кристаллизации без конвекции, при стремящейся к нулю скорости течения.
Конвективный граничный интеграл был вычислен для роста параболического дендрита в набегающем потоке идеальной жидкости. Была проведена верификация граничного интеграла путем сравнения переохлаждения с решением краевой задачи для роста параболического дендрита в идеальном потоке жидкости. Было показано, что зависимости переохлаждения у дендритной поверхности от числа Пекле, построенные для конвекции идеальной жидкости и вязкой жидкости в приближении Осеена, практически совпадают для металлов и металлических сплавов. Расхождения между кривыми наблюдаются только в области больших чисел Рейнольдса (порядка 1), когда линейное приближение Осеена становится не применимо. В то же время изменение характера конвекции приводит к существенному сдвигу зависимости переохлаждения от числа Пекле для органических материалов и водных растворов. Был найден параметр, определяющий необходимости учета вязкости. Этим параметром является число Прандтля, которое для металлов имеет порядок 10-2, а для водных растворов - 101. Число Прандтля позволяет сравнивать два разных механизма теплопередачи: диффузионный и передачу энергии путем вязкого трения. В металлах, вследствие низкой вязкости и большой теплопроводности, число Прандтля мало и преобладает диффузионный механизм передачи тепла. Таким образом, показано, что для металлических сплавов можно использовать значительно более простую модель идеальной жидкости, вместо вязкой.
Результаты проекта были доложены на 4 научных профильных конференциях.
О результатах проекта подготовлено 2 сообщения в СМИ:
1) https://urfu.ru/ru/news/41533/
2) https://poisknews.ru/themes/matematika/matematicheskoe-uravnenie-pomozhet-v-proizvodstve-stali-s-uluchshennymi-svojstvami/
Публикации
1. Титова Е.А. The Boundary Integral Equation for the Growth of a 2D Dendrite in the Presence of Convection AIP Conference Proceedings, - (год публикации - 2022)
2. Титова Е.А., Александров Д.В. The boundary integral equation for curved solid/liquid interfaces propagating into a binary liquid with convection Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, том 55, выпуск 5, номер статьи 055701 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1088/1751-8121/ac463e
3. Титова Е.А., Александров Д.В. Analysis of the boundary integral equation for the growth of a parabolic/paraboloidal dendrite with convection Journal of Physics: Condensed Matter, 34 (24), 244002 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1088/1361-648X/ac623e
4. - Математическое уравнение поможет в производстве стали с улучшенными свойствами Портал Уральского федерального университета, - (год публикации - )
5. - Математическое уравнение поможет в производстве стали с улучшенными свойствами Портал "Поиск", - (год публикации - )
Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Построено решение конвективного граничного интегрального уравнения для стационарного роста дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида в бинарном растворе. Данное решение определяет переохлаждение на изотермической поверхности дендрита в зависимости от числа Пекле, числа Рейнольдса, числа Прандтля и параметра эллиптичности формы. Учитывается влияние набегающего на дендрит потока жидкой фазы, уносящего с собой тепло и примесь, выделившиеся на поверхности дендрита. Проведена верификация метода граничного интеграла, путем сравнения построенного интегрального решения с ранее известным решением краевой дифференциальной задачи. Показано, что найденное решение может быть сведено к более простым случаям роста трехмерного осесимметричного дендрита, двумерного параболического дендрита и дендрита растущего в неподвижном растворе.
Найдено переохлаждение на поверхности двумерного дендрита, растущего в наклонном потоке. Если ось натекания потока совпадает с направлением роста дендрита, то задача имеет ось симметрии и может быть сведена к ОДУ с одной пространственной параболической координатой. Когда направление течения отклоняется от оси роста дендрита, задача математически существенно усложняется. Метод граничного интеграла позволил построить приближенное распределение температуры в окрестности дендрита, растущего в наклонном потоке, в зависимости от угла наклона потока. Определено переохлаждение на дендритной поверхности и построены изотермы в жидкой фазе. Получено качественное совпадение с экспериментальными данными, изотермы смещены в противоположную сторону от направления натекания холодного расплава.
Показано, что метод граничного интеграла позволяет исследовать линейную устойчивость кристаллических фронтов при наличии конвекции. Интегро-дифференциальное уравнение использовалось для исследования линейной устойчивости плоского фронта. Рассматривались нормальные возмущения плоской границы между двумя жидкостями разного химического состава и определялись области устойчивости, в зависимости от внешних параметров системы: скорости течения, стабилизирующего градиента концентрации примеси на бесконечности и разности равновесных концентраций в двух жидких фазах.
Из граничного конвективного интегрального уравнения была определена поправка на параболическую форму вдали от вершины дендрита. Показано влияние набегающего потока на форму дендрита.
Публикации
1. Титова Е.А., Александров Д.В. Convective boundary integral equation: the case of a non-axisymmetric dendrite with a forced viscous flow Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, том 55, выпуск 48, номер статьи 485701 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1088/1751-8121/aca63c
2. Титова Е.А., Александров Д.В. The thermal field around a parabolic dendrite growing in inclined melt flow The European Physical Journal Special Topics, - (год публикации - 2023)
3. Титова Е.А., Александров Д.В. Linear stability of the flat liquid/liquid interface in the forced flow European Physical Journal Special Topics, 232 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1140/epjs/s11734-023-00822-8
4. Титова Е.А., Александров Д.В., Торопова Л.В. Mathematical modeling of the solid-liquid interface propagation by the boundary integral method with nonlinear liquidus equation and atomic kinetics Crystals, том 12, номер статьи 1657 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.3390/cryst12111657
5. Титова Е.А., Александров Д.В., Торопова Л.В. BIM_inclined -, 2023619062 (год публикации - )
Возможность практического использования результатов
При изменении агрегатного состояния или физико-химической природы материала его теплофизические коэффициенты изменяются скачкообразно, и для переходов требуется теплота плавления (сорбции, испарения) или теплота химических реакций. Решение таких задач тепломассопереноса имеет большое практическое значение в металлургии, строительной теплотехнике и в других прикладных дисциплинах, например, в моделировании теплозащитных свойств разрушающихся систем охлаждения. Процесс плавления сопровождается тепловым эффектом, величина которого связана с температурой фазового перехода. На разрушение материала затрачивается значительная часть тепла, поступающего к поверхности тела извне, в результате лишь малая его часть отводится внутрь материала теплопроводностью. На практике далеко не все вещества, обладающие большой теплотой испарения, могут быть использованы в качестве теплозащитных материалов. Малая эффективность воды и металлов связана с тем, что при плавлении они образуют пленку с очень низким значением вязкости расплава, которая практически мгновенно сдувается с поверхности набегающим потоком газа. Разрушающиеся теплозащитные материалы используются для защиты космических аппаратов, камер сгорания ракетных двигателей и т. д. Таким образом, моделирование процессов плавления и кристаллизации в конвективном потоке представляет большой практический интерес.