Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Исследования в рамках проекта проводятся по следующим направлениям: исследование сетей и ансамблей осцилляторов; приложение нелинейной динамики к анализу биологических систем; разработка и исследование моделей параметрического взаимодействия мод, полученных в рамках приближённого описания активных распределённых систем; моделирование динамических явлений в системах наноэлектроники; разработка новых схем генерации робастного хаоса, развитие подходов к его анализу и приложений; исследование динамики систем, демонстрирующих сложное поведение и мультистабильность. В рамках первого этапа работы над проектом были получены следующие результаты. На примере автономных и неавтономных ансамблей квазипериодических генераторов с диссипативной связью выявлены детали сценариев синхронизации многочастотных квазипериодических колебаний. Для автономной системы выполнена классификация различных типов синхронизации, выявлены особенности возникновения и разрушения многочастотных квазипериодических колебаний. Обнаружены сценарии, при которых возникают хаотические колебания, характеризующиеся несколькими положительными показателями Ляпунова. Показано, что варьирование управляющих параметров позволяет осуществить управление хаосом: его стабилизацию или развитие в гиперхаотический режим. Результаты могут быть использованы для разработки новых типов генераторов сигналов сложной структуры. С целью исследования сценариев перехода к хаосу через разрушение многочастотной квазипериодичности, разработана модель многоконтурного генератора, представляющего собой ансамбль осцилляторов Ван дер Поля, связанных через среднее поле. Выявлены характерные для этой системы режимы: периодические колебания, четыре типа многочастотных квазипериодических колебаний, хаос и гиперхаос. Описаны бифуркационные сценарии развития хаотического поведения и выявлены особенности, характерные для наблюдаемых хаотических аттракторов. Результаты могут быть использованы для разработки новых генераторов хаоса высокой размерности. На примере нескольких моделей (отображение Эно и осциллятор Тоды под квазипериодическим воздействием, квазипериодически возбуждаемый RL-диодный контур) выполнено теоретическое и экспериментально исследование разрушения двухчастотного тора и возникновения хаотической динамики с дополнительным нулевым показателем. Выявлены общие закономерности этого сценария, теоретические результаты верифицированы сопоставлением с экспериментально наблюдаемыми. Рассмотрен случай, когда в систему добавляется адаптивная обратная связь (одна из частот воздействия становится зависимой от динамической переменной), выводящая систему из класса квазипериодически возбуждаемых. Показано, что в этом случае дополнительный показатель Ляпунова, близкий к нулю, сохраняется. Исследована модель сети спин-трансферных осцилляторов с полевой связью, задаваемая уравнениями Ландау-Лифшица-Гильберта-Слончевского, между которыми введена связь через магнитные поля в виде добавки к эффективному полю. Для случая, когда сеть имеет структуру малой звезды (один центральный осциллятор связан с тремя другими, которые не имеют связей друг с другом) показано существование областей в пространстве параметров, где реализуется режим синхронизации через посредника (периферийные осцилляторы синхронизированы друг с другом, но не синхронизированы с центральным осциллятором). Предложенная система может быть использована как маломощный источник СВЧ излучения с возможностью реализации сложных колебательных режимов. В силу того, что взаимодействие осуществляется только посредством магнитного поля при отсутствии электрического контакта, такую систему можно применять для реализации трансформаторной связи между узлами наноразмерных СВЧ устройств. С использованием формализма Лагранжа получены уравнения для обобщенной модели Рабиновича-Фабриканта, описывающей трехмодовое взаимодействие в присутствии кубической нелинейности общего вида. Проведён бифуркационный анализ положений равновесия и предельных циклов. Показано, что динамика обобщенной модели зависит от сигнатуры характерных выражений, присутствующих в уравнениях. Проведено сопоставление с динамикой модели Рабиновича–Фабриканта и указаны области пространства параметров, где имеет место полное или частичное совпадение динамики. Полученная модель является новой и представляет собой естественное расширение известной модели Рабиновича–Фабриканта, она является универсальной и позволяет моделировать системы различной физической природы (в том числе радиотехнические), в которых имеет место трёхмодовое взаимодействие и присутствует кубическая нелинейность общего вида. Разработаны модели генетического осциллятора, которые наиболее просто позволяют реализовать схемотехническую модель на основе аналогового моделирования. В качестве базовой использовалась классическая модель репрессилятора с ингибированием в виде функции Хилла. Была предложена математическая модель с ингибированием с помощью экспоненциальной функции, а также вариация модели с учетом аутоиндусера. Разработана радиофизическая модель репрессилятора в пакете схемотехнического моделирования MultiSim. На основе системы уравнений, являющейся математической моделью двух связанных репрессиляторов, была построена электронная схема. Проведено исследование, как одного осциллятора, так и связанных генетических осцилляторов, выявлены условия возбуждения автоколебаний. Показана возможность возникновения бёрстового (пачечного) и спайкового режимов в системе, демонстрирующей бифуркацию ассоциирующуюся с катастрофой голубого неба. В результате данной бифуркации возникает гиперболический хаотический аттрактор Смейла-Вильямса. При этом на пороге бифуркации наблюдаемый аттрактор можно классифицировать как бёрстовый (пачечный). С изменением параметров пачечный аттрактор разрушается и превращается в спайковый. Разработаны несколько вариантов схемотехнической модели генератора с катастрофой голубого неба в программном пакете Multisim на основании математической модели. Создан лабораторный макет, соответствующий разработанной схеме. В физическом эксперименте продемонстрирована возможность рождения гиперболического хаоса в виде бёрстовых аттракторов в результате катастрофы голубого неба. Построена геометрическая модель потоковой системы с аттрактором Смейла -- Вильямса в сечении Пуанкаре. Это негладкая четырехмерная система, фазовое пространство которой состоит из двух областей, в которых динамика описывается разными наборами дифференциальных уравнений для двух комплексных переменных. Это первый пример точно решаемой системы дифференциальных уравнений с аттрактором типа Смейла -- Вильямса в сечении Пуанкаре. Обнаружен гиперболический аттрактор, типа соленоида Смейла-Вильямса в модели комплексных уравнений Шимицу-Мориока (с дополнительной модификацией введением слагаемого, обеспечивающего необходимое растяжение фазы комплексной переменной). Комплексные уравнения Шимицу-Мориока являются физически обоснованной моделью, полученной заменой переменных из комплексных уравнений Лоренца, описывающих динамику одномодового лазера. Сужение комплексной системы Шимицу -- Мориока на случай чисто вещественных переменных демонстрирует бифуркацию гомоклинической «бабочки» и аттрактор Лоренца. Полученные результаты представлены на российских и международных конференциях, опубликованы в рецензируемых научных журналах, включая журналы из первого квартиля. Также результаты представлены на сайте научного коллектива http://sgtnd.narod.ru/

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Исследования в рамках проекта проводятся по следующим направлениям: исследование сетей и ансамблей осцилляторов; приложение нелинейной динамики к анализу биологических систем; разработка и исследование моделей параметрического взаимодействия мод активных распределённых систем; моделирование динамических явлений в системах наноэлектроники; разработка и приложение схем генерации робастного хаоса; исследование динамики систем, демонстрирующих сложное поведение и мультистабильность. В рамках второго этапа работы над проектом были получены следующие результаты. Изучена динамика трех связанных генераторов, способных по отдельности демонстрировать квазипериодические колебания. Проведён бифуркационный анализ, проанализировано пространство параметров. Выявлены инвариантные торы разной размерности, квазипериодические бифуркации торов и резонансную паутину Арнольда на базе торов разной размерности. Рассмотрены аналогия и отличия от случая трех связанных осцилляторов ван дер Поля. В частности, показано, что четырехчастотные торы возникают и в случае, когда все три индивидуальных генератора находятся в режиме предельных циклов. Исследованы системы спин-траснферных осцилляторов с одноосной симметрией и полевой связью. Выполнен теоретический анализ системы двух таких осцилляторов, проанализирована бистабильность синхронного и несихронного решений, получены оценки области их существования. Для двух осцилляторов нагруженных на RLC-цепочки предложен метод управления бистабильностью: независимо от начальных условий осцилляторов их можно заставить всегда выбирать синхронный или несинхронный режимы. В системе трёх осцилляторов обнаружен и исследован эффект опосредованной синхронизации — два периферийных осциллятора синхронизируются, хотя не взаимодействуют напрямую друг с другом, а связаны только с центральным. Выявлен режим «структурно устойчивой квазипериодичности»: в области отсутствия синхронизации, когда траектории наматываются на инвариантны торы, отсутствуют характерные для таких случаев резонансы старших порядков. Этот режим интересен с практической точки зрения так как должен дать возможность получить в эксперименте хорошее приближение к истинной в математическом смысле квазипериодичности без паразитного затягивания подстраиваемых частот в резонансы. Получено представление об универсальной картине режимов для моделей разной природы (радиофизический генератор, модель нейрона), демонстрирующих бифуркацию, ассоциирующуюся с катастрофой голубого неба. Показано, что в модели нейрона пиявки наблюдаются характерные бифуркации добавления периода. Исследованы особенности трансформации пачечного аттрактора, показано, что при удалении от линии бифуркации катастрофы голубого неба длительность пачечного участка на временной реализации уменьшается. Получена схемотехническая модель радиофизического генератора с масштабируемыми динамическими переменными. Предложенное масштабирование позволяет избежать проявления в схеме режимов ограничения амплитуд операционных усилителей разрушающих хаотический аттрактор. Определены величины ненулевого смещения операционных усилителей, которые не изменяют существенно аттрактор. Описана картина динамических режимов одиночного генетического осциллятор с экспоненциальной функцией ингибировния. Проведен сравнительный анализ модели с классической моделью с нелинейностью Хилла, в результате которого выявлено соответствие моделей. Проведена корректировка схемотехнической модели, в результате которой схемотехническая модель демонстрирует характерные динамические режимы. Проведено исследование системы трёх взаимодействующих репрессиляторов. Показано, что при достаточно большой связи характерный гиперхаотический аттрактор в результате кризиса разрушается и доминирует устойчивый несимметричный режим: два осциллятора полностью синхронны друг другу, а третий отличен. Для данной модели проведено численное исследование динамики, изучены бифуркационные диаграммы модели. Получены обобщённые модели параметрического взаимодействия трёх волновых мод активной среды в присутствии квадратичной и кубической нелинейностей. Выполнено исследование этих моделей и сопоставление с ранее известными частными случаями. Сформулированы уравнения для цепочек связанных неидентичных контактов Джозефсона нагруженных на RLC цепь. Выполнено численное моделирование системы из трех элементов, неидентичных по критическим токам. Структура пространства параметров системы представляет собой паутину Арнольда, в узлах которой области полной синхронизации, динамика представлена резонансными предельными циклами. Исследован механизм возникновения гиперхаотического аттрактора. Продемонстрировано существование каскада из нескольких вторичных бифуркаций Неймарка-Сакера резонансных циклов предшествующих возникновению гиперхаоса. Обратный каскад бифуркаций поглощения хаотическим аттрактором множества седло-фокусных циклов и седловых множеств, возникающих в результате удвоений седловых резонансных циклов приводит к возникновению гиперхаотического дискретного аттрактора Шильникова. Исследованы закономерности возникновения гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса в комплексной системе Шимицу-Мориока. Показано, что гиперболический аттрактор указанного типа возникает при введении степенного вида возмущения в окрестности точек гомоклинической бифуркации «бабочка» с отрицательным седловым индексом. В пространстве параметров выявлены области где для траекторий системы выполняются одновременно условия, которым должен удовлетворять гиперболический аттрактор типа Смейла-Вильямса. Проведено исследование динамики комплексной системы Шимицу-Мориока при введении возмущения для значений параметров соответствующих псевдогиперболическому аттрактору Лоренца, который существует в такой системе в случае действительных переменных. Показано, что критерий псевдогиперболичности для инвариантных многообразий в этой области параметров не выполняется и псевдогиперболических аттракторов в такой системе не наблюдается. Предложено и исследовано несколько схем конфиденциальной коммуникации на основе синхронизации хаотических генераторов гиперболического типа. Исследована устойчивость передачи в случае неидентичных передатчика и приёмника и в присутствии шума в канале связи. Показано, что по сравнению с хаотическими генераторами общего вида, грубый гиперболический хаос обеспечивает более надёжную, более стабильную и широкополосную передачу, "грубую" синхронизацию приёмника и передатчика и более точное детектирование информации. Получена картина динамических режимов многоконтурного генератора с общей схемой управления при достаточно больших значениях параметра, отвечающего за возбуждение колебаний в контурах. Наблюдаемые в численном математическом моделировании динамические режимы были обнаружены и в эксперименте. Экспериментальные результаты и результаты моделирования находятся в хорошем соответствии. Разработана математическая модель многоконтурного генератора с общей нелинейностью. Показано, что в такой модели могут наблюдаться периодические, квазипериодические и хаотические автоколебания. Выполнено исследование динамической системой заданной неявным отображением. Обоснована мотивация важности исследования такого рода систем – они возникают при анализе поведения итерационных процедур различных численных методов. Проработаны подходы к изучению таких систем. Показано, что структура притягивающих инвариантных множеств у неявных отображений в значительной степени усложнена по сравнению с системами традиционными. Показано, что в определённых ситуациях возникает сверхсильная мультистабильность притягивающих орбит. При этом эти орбиты могут быть как регулярными, так и странными. Полученные результаты представлены на российских и международных конференциях, опубликованы в рецензируемых научных журналах. Также результаты представлены на сайте научного коллектива http://sgtnd.narod.ru/

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Изучена динамика автоколебательных систем с внешним адаптивным воздействием, фаза которого зависит от переменной системы. В этом контексте исследованы: осциллятор ван дер Поля, радиофизический генератор квазипериодических колебаний, хаотическая система (система Ресслера). Методом карт динамических режимов и карт ляпуновских показателей исследованы плоскости параметров частота – амплитуда воздействия при увеличении параметра адаптивности. Выявлена картина усложнения и эволюция периодических, двух- и трехчастотных квазипериодических, хаотических режимов при увеличении параметра адаптивности. Разработана и исследована искусственная нейронная сеть с архитектурой типа «машинная ассоциация», предназначенная для выявления синхронных режимов нелинейных динамических систем с дискретным временем на основе анализа пар последовательностей, генерируемых этими системами. Протестированы различные виды синхронизации, в том числе полная и опосредованная. Рассмотрены примеры синхронизации со сдвигом и с инверсией. Во всех случаях сеть показала высокую точность определения наличия синхронных режимов. Разработан лабораторный макет генератора, демонстрирующего рождение гиперболического хаоса, в форме пачечных колебаний. Характеристики пачечных колебаний соответствуют моделям нейронного типа. Показано, что важным при реализации макета является подбор параметров при учете ненулевого смещения операционных усилителей. Разработан схемотехническая модель генетического осциллятора (репрессилятора), показано соответствие поведение математической модели и схемотехнической модели. Разработан схемотехническая модель связи “кворум сенсинг”, характерной для взаимодействия репрессиялторов. Для ансамбля репрессиляторов обнаружен новый тип неоднородных решений, которые могут стабилизироваться и доминировать при определенном уровне взаимодействия. Показано семейство таких циклов с различными числами вращения. Исследована динамика систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих параметрическое взаимодействие колебательных мод, в присутствии квадратичной и кубической нелинейности общего вида. Проведено сопоставление их динамики с динамикой аппроксимирующих моделей, с целью определения их возможностей и ограничений при моделировании систем указанного ранее типа. Используя формализм Лагранжа сконструированы системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих параметрическое взаимодействие трех и более колебательных мод, для различных резонансных условий и типов нелинейности, характеризующих взаимодействие между модами. Рассмотрен автогенератор на основе двух контуров, один из которых включает отрицательную проводимость, между которыми выполняется условие параметрического резонанса, и которые взаимодействуют на квадратичной нелинейности, а в цепь нелинейности добавлена обратная запаздывающая связь. Проведено численное исследование записанных для него уравнений Кирхгофа, моделирование в системе Multisim и численное исследование аналитически полученной трехмерной аппроксимирующей модели. Для малых сетей спин-трансферных осцилляторов с полевой связью и RLC или RC нагрузкой исследован метод подавления мультистабильности (сосуществование синхронных и несинхронных режимов). Подавление осуществляется за счёт настройки параметров нагрузки и предварительной зарядки конденсаторов. В случае двух осцилляторов точная настройка нагрузочных цепочек не требуются, а с их увеличением механизм становится менее грубым. Для подавления мультистабильности требуется более точная настройка параметров цепочек под конкретный набор частотных расстроек осцилляторов ансамбля. Впервые показано, что гомоклиническая бифуркация «бабочка», играющая ключевую роль в сценарии рождения классического псевдогиперболического аттрактора Лоренца, является также частью одного из сценариев возникновения равномерно гиперболического хаотического аттрактора, который представляет собой другой тип грубого хаоса. Рождение гиперболического аттрактора является результатом наложения двух механизмов, первый из которых связан с существованием гомоклинической бифуркации “бабочка” которая обеспечивает последовательный возврат траектории к седлу, а второй связан с эффектом умножения угла при прохождении траектории вблизи положения равновесия. Предложено и исследовано несколько схем конфиденциальной коммуникации на основе синхронизации хаотических генераторов гиперболического типа.Разработан новый способ декодирования информации подмешанной к хаотическому сигналу гиперболического типа. Он основан на учете однородности во времени корреляции между динамикой грубых передатчика и приемника. Этот новый способ помогает Значительно улучшить выделение информации при существенной неидентичности приемника и передатчика. Проблемы невозможности добиться абсолютной идентичности подсистем коммуникационной схемы, наличия полной синхронизации между ними в свое время стала основным аргументом критики хаотической коммуникации и поводом к потере к ней интереса. Новая методика, основанная на использовании гиперболического хаоса и присущих ему свойств, может возродить это перспективное направление технических приложений хаоса. В результате экспериментального и численного исследования на примере двух типов многоконтурных генераторов (с линейной и нелинейной схемой управления средним полем) показано, что в таких генераторах возможно возникновение многочастотных квазипериодических колебаний. Максимальное число несоизмеримых компонент в динамическом режиме определяется количеством контуров в генераторе. Разрушение двухчастотного тора отвечает сценарию Афраймовича-Шильникова, разрушение многочастотных торов ассоциируется с появлением седловых торов.