Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Сильное загрязнение воздуха является одной из наиболее серьезных проблем как здоровья человека, так и для природных экосистем. В частности, серьезную проблему представляют твердые частицы малого диаметра (PM2,5), поведение которых во многом определяется как движением воздуха, так и процессами на молекулярном уровне, включая процессы диффузии и агрегации. Агрегация имеет первостепенное значение, поскольку приводит к образованию более крупных агломератов, которые, в конечном итоге, опускаются на землю. Скорость агрегации определяется диффузией, пространственным распределением скорости воздуха и силами взаимодействия между твердыми частицами. Движение воздуха с захваченными твердыми частицами отличается от движения чистого воздуха и должно описываться модифицированными уравнениями переноса, которые учитывают концентрацию и распределение агрегатов по размерам. Распределение агрегатов по размерам, в свою очередь, зависит от скорости агрегации, которая зависит от локальной скорости потока. Проект направлен на разработку математической модели агрегации и гидродинамики системы с учетом этих вкладов, в том числе, с применением методов машинного обучения. В рамках первого года выполнения проекта было: 1. Сформулировано условие агрегационных столкновений твердых частиц как функции скорости удара и прицельного параметра при усредненном учете вращательных степеней свободы сталкивающихся частиц. В частности, получена система нелинейных уравнений для динамических переменных сталкивающихся частиц, которая позволяет определить результат столкновения для любых начальных условий соударения и сил взаимодействия между частицами. Получена фазовая диаграмма показывающая область агрегационных соударений в параметрическом пространстве «скорость соударения – прицельный параметр». Разработана молекулярно-динамическая модель агрегирующих частиц, отвечающих аморфному углероду; последний служит адекватной моделью частиц сажи. Проведено обширное исследование соударений модельных частиц аморфного углерода (сажи) как в вакууме, так и в молекулярном газе (азот) методом молекулярной динамики. Показано пренебрежимо малое влияние молекулярного газа при давлениях порядка атмосферного – разработана теория агрегационных соударений для случая зависящего от давления коэффициента адгезии. Продемонстрировано очень хорошее согласие теоретических предсказаний и результатов молекулярной динамики. 2. Получено уравнение Больцмана-Фоккера-Планка для агрегирующего гранулярного газа, погруженного в молекулярный газ. Вывод произведен путем записи уравнения Больцмана для многокомпонентной системы и применяя разложение Крамерса-Мойала. Получено явное выражение для критической скорости агрегации гранулярных частиц в молекулярном газе. 3. В рамках подхода Чепмена-Энскога получена система уравнений гидродинамического типа, отвечающих уравнениям Эйлера для агрегирующего гранулярного газа, погруженного в молекулярный газ. С использованием уравнения Больцмана для многокомпонентной системы, включающего интегралы столкновения, описывающие агрегацию гранулярных частиц, получена система уравнений гидродинамического типа, отвечающих уравнениям Эйлера для плотности, скорости парциальных потоков и парциальных кинетических («гранулярных») температур агрегатов различных размеров. 4. Разработан метод DSMC для моделирования пространственно-однородного полидисперсного агрегирующего гранулярного газа, погруженного в молекулярный газ. Оценена роль молекулярного газа для кинетики агрегации твердой фазы. В частности, проведено обобщение стандартного метода DSMC на случай многокомпонентной системы, в которой присутствуют столкновения частиц с агрегацией. Разработана модификация метода DSMC, основанная на аппроксимации функции распределения частиц по скоростям максвелловским распределением; новый подход позволяет в значительной степени ускорить вычисления. Проведены численные эксперименты по применению разработанных методов. На типичных примерах доказано ускорение в несколько десятков раз, по сравнению со стандартными методами. Обнаружен новый режим агрегации – перманентный рост средней температуры в термодинамическом пределе; подтверждено скейлинговое поведение плотности агрегатов, предсказанное теоретически. 5. Получен набор эффективных малоранговых алгоритмов для решения системы связанных уравнений Смолуховского для парциальных температур и концентраций для пространственно-однородной системы, а также разработан малоранговый метод для решения уравнений Смолуховского для пространственно-неоднородной системы. Разработан метод аппроксимации матричных кинетических коэффициентов для решения больших систем температурно-зависимых уравнений Смолуховского. Последний является обобщением малорангового метода для решения обычных уравнений Смолуховского с применением ряда модификаций, значительно повышающих эффективность вычислений. 6. Разработаны и исследованы подходы, основанные на машинном обучении (МО), для решения больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для системы уравнений типа Смолуховского для пространственно-однородного случая разработан метод, основанный на экстраполяции решения при помощи динамического разложения по модам. Для системы из 10 000 уравнений указанный метод МО позволяет сократить продолжительность вычислений в 4.3 раза. Для подтверждения эффективности метода проведены вычисления для пространственно-однородной системы уравнений Смолуховского с включением членов тернарной агрегации. В рамках проекта в течение первого года опубликована 1 статья в журнале Q1/Scopus/WoS и ещё 2 статьи подготовлены и направлены в журналы Q1/Scopus/WoS и 1 статья в журнал Q2/Scopus/WoS и находятся на рецензии (все подготовленные статьи доступны на публичном сайте препринтов Arxiv.org). Все работы, запланированные на первый год проекта, успешно выполнены. Полученные результаты позволяют приступить к выполнению следующего этапа проекта.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проект направлен на разработку математической модели агрегации и гидродинамики системы с учетом этих вкладов, в том числе, с применением методов машинного обучения. В рамках второго года выполнения проекта было: (1) Проведено исследование агрегации частиц с тангенциальной составляющей относительной скорости поверхностей, в случае эффекта зависимости коэффициента адгезии от поверхностного давления. Была разработана теоретическая модель касательных столкновений частиц для зависящего от давления коэффициента адгезии. Построена фазовая диаграмма, определяющая характер соударения, в зависимости от нормальной и тангенциальной составляющей скорости соударения. Численное моделирование столкновений частиц сажи (аморфного углерода) подтвердило предсказательную силу теоретической модели и, в частности, новый эффект «возвратной зависимости» критического значения тангенциальной компоненты скорости соударения от нормальной компоненты. Предложен гибридный подход, для сочетания возможностей атомистического моделирования, методом МД, и моделирования сплошной среды методом конечных разностей. Построена модель, в которой внешний слой атомов участка эффективной среды соответствует атомам моделируемого вещества, а внутренний слой – элементам сплошной среды с заданными упругими характеристиками. При при построении модели эффективной среды были использованы методы искусственного интеллекта, в частности – алгоритм интеграции стохастической нейросети в классический МД-симулятором системы. (2) Разработан вариант метода Монте Карло (метод DMCS) для моделирования пространственно неоднородного агрегирующего газа твердых частиц (гранулярного газа), погруженного в молекулярный газ. Было исследовано сдвиговое течение газо-пылевой смеси (смеси гранулярного и молекулярного газа) и определены значения общей вязкости смеси и парциальных коэффициентов вязкости, отвечающих агрегатам различных размеров. Установлена существенно немонотонная зависимость парциальных коэффициентов вязкости от размера агрегатов. Показано, что процессы агрегации значительно влияют на вязкость смеси, также показано что молекулярный газ существенно меняет вязкость агрегирующего газа твердых частиц. (3) Выведено уравнение Больцмана-Фоккера-Планка для гранулярного газа, погруженного в молекулярный газ с агрегирующими и фрагментационными столкновениями. Методом молекулярной динамики (МД), установлены основные статистические закономерности для фрагментационных соударений агрегатов для основных потенциалов взаимодействия частиц в кластерах. Введено новое понятие для разрушающих соударений – степень крошения и показано, что эта величина описывается универсальными соотношениями для всех изученных потенциалов. На основе данных МД построена статистическая модель разрушающих соударений. С помощью последней выведены уравнения Смолуховского с микроскопическими выражениями для коэффициентов реакции и получена оценка диапазона параметров системы, для которого необходим учет разрушающих соударений. (4) Получена система уравнений Смолуховского-Навье-Стокса для агрегирующего гранулярного газа, погруженного в молекулярный газ, а именно, уравнения для концентрации, скоростей потоков и температур агрегатов различных размеров. Показано, что полная система уравнений Смолуховского-Навье Стокса требует целого набора кинетических коэффициентов – реакционных коэффициентов, которые имеют скалярный и векторный вид и транспортных – сответствующих «перекрестным» коэффициентам взаимной вязкости и теплопроводности. Указанные коэффициенты описывают, соответственно, потоки импульса и энергии агрегатов определенного размера, как отклик на градиенты локальной скорости и температуры агрегатов другого размера. Получены явные микроскопические соотношения для скалярных и векторных реакционных кинетических коэффициентов для агрегирующего гранулярного газа. Показано отсутствие градиентных членов первого порядка в этих коэффициентах а также значительное влияние молекулярного газа. (5) Методом Чепмана-Энскога получена система уравнений описывющая эволюцию матрицы транспортных коэффициентов – парциальных коэффициентов взаимной вязкости и теплопроводности для кластеров различных размеров. Проведен учет влияния молекулярного газа и получены соответствующие модифицированные уравнения для эволюции матрицы транспортных коэффициентов. Для агрегации гранулярного газа в сдвиговом потоке получено аналитическое выражение для асимптотического поведения полной вязкости системы, как функции времени; показано существенное влияние молекулярного газа. (6) Для температурно-зависимых уравнений Смолуховского, в пространственно-однородном случае, и уравнений Смолуховского-Эйлера для неоднородных систем получены точные и скейлинговые решения для ряда модельных кинетических коэффициентов – не зависящих от массы кластеров и зависящих аддитивно или мультипликативно. Точные решения продемонстрировали возможность существования целого ряда необычных агрегационных режимов, включая режимы релаксации к «застывшему» распределению по размерам кластеров, гелеобразования с остыванием и нагревом системы и другие. Для стационарных течений в системах с источником мономеров и кинетическими коэффициентами отвечающими седиментации был установлен новый закон сохранения – момент функции распределения агрегатов по размерам степени (5/3) является постоянным в пространстве. Отличное согласие точных и скейлинговых решений с численными доказывает высокую точность разработанных численных подходов. Для описания процессов агрегации для конкурирующих транспортных механизмов адвекции и диффузии были получены явные выражения для реакционных кинетических коэффициентов, позволяющих описывать коагуляцию во всем диапазоне чисел Пекле; последние характеризуют относительный вклад адвекции и диффузии. (7) Проведен анализ эффективности метода машинного обучения, основанный на методе динамического разложения по модам (ДРМ) а также нейронных сетей для описания пространственно-неоднородной системы агрегирующих частиц. Показано, что метод ДМР может быть эффективно использован только для анализа ограниченного набора концентраций агрегатов (мономеров, димеров, тримеров и т.д.), тогда как для полного описания функции распределения агрегатов по размерам, этот метод вычислительно не эффективен. Также показана низкая эффективность стандартных нейросетевых подходов, в том числе, «физически-информированных» нейросетевых подходов. В качестве альтернативного метода нами был разработан нейросетевой подход, который может быть назван «информационно осведомленным» («knowledge-informed») подходом. Последний основан на выявлении небольшого количества наиболее важных параметров распределения частиц по размерам и обучению сети этим параметрам. Метод продемонстрировал высокую вычислительную эффективность для основных типов реакционных кинетических коэффициентов. Также был разработан нейросетевой подход для решения проблемы локализации источника мономеров в пространственно-неоднородной системе агрегирующих частиц по временной зависимости концентрации агрегатов в различных точках пространства. Данный метод позволяет определить положение источника со средней точностью 3% и может найти широкое практическое применение. В качестве примера, можно упомянуть определение положения утечки реагента из дефекта трубопровода, метод экологического контроля при установлении источника вредных выбросов и другие. В рамках проекта в течение второго года опубликовано 5 статей в журналах Q1/Scopus/WoS, одна статья в сборнике и одна статья принята в печать. Все работы, запланированные на второй год проекта, успешно выполнены. Полученные результаты позволяют приступить к выполнению следующего этапа проекта.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Загрязнение воздуха, в том числе твердыми частицами малого диаметра является одной из наиболее серьезных проблем экологии. Агрегация частиц при этом имеет первостепенное значение, поскольку она приводит к образованию более крупных агломератов, которые опускаются на землю в результате седиментации. В проекте проводится разработка математической модели агрегации, фрагментации и переноса частиц, в том числе, с применением методов искусственного интеллекта -- искусственных нейронных сетей. В рамках третьего года выполнения проекта было получено: 1) Разработана модель, описывающая влияние концентрации озона в воздухе на кинетику агрегации твердых частиц. Модель включает пространственно-неоднородные уравнения Смолуховского с учетом седиментации частиц, их диффузии, уравнение для концентрации озона в воздухе, с учетом суточной вариации, и уравнение для описания изменения средней плотности активных поверхностных групп. На основе разработанной модели произведено численное моделирование суточной вариации среднего размера частиц и распределения агрегатов по размерам, отвечающее суточной вариации концентрации озона. Результаты численного анализа хорошо согласуются с экспериментальными (полевыми) данными. Рассмотрена альтернативная модель агрегации твердых частиц, когда результирующая концентрация мономеров значительно превышает концентрацию других кластеров. В этом случае соответствующие уравнения для мономеров имеют аддитивный вид. Предполагая наличие фрагментации и степенную зависимость коэффициентов агрегации и фрагментации от размера кластеров, можно найти точные решения соответствующих уравнений. Последние показывают существование необычных, "суперкластерных" состояний, когда все концентрации кластеров и мономеров обращаются в ноль, при сохранении полной массы. Суперкластерное состояние неэкстенсивно и отвечает интенсивным флуктуациям мономеров. Показано, что суперкластерные состояния описываются скейлинговой функцией, с рядом новых "критических" показателей, что хорошо согласуется с результатами численных экспериментов. 2) Изучено влияние физико-химической активности поверхности частиц на кинетику агрегации частиц, при различных температурах, теоретически и методом Молекулярной Динамики (МД). Показано, что с увеличением гидрогенизации поверхности аморфных частиц углерода значительно падает коэффициент адгезии. Установлена аномальная зависимость коэффициента адгезии от температуры: коэффициент адгезии, увеличивается с ростом температуры поверхностей, что кардинальным образом отличается от обычной зависимости адгезии от температуры. Из первых принципов получено теоретическое значение для межчастичной силы в теории DMT и показано, что известные выражения для силы содержат ошибку. С использованием нового выражения для силы взаимодействия, получена теоретическая фазовая диаграмма столкновений, в переменных -- нормальная-тангенциальная составляющая относительной скорости, показывающая область агрегирующих и неагрегирующих столкновений. Методом молекулярной динамики (МД), изучены столкновения частиц льда и установлена фазовая диаграмма столкновений. Показано хорошее согласие результатов теории и машинного эксперимента. 3) Проведено дальнейшее развитие гибридной модели, сочетающей атомарный масштаб и мезоскопический масштаб перидинамики. Разработаны эффективные алгоритмы быстрого выбора микроскопических коэффициентов, описывающих параметры гибридной модели, которые воспроизводят заданные макроскопические параметры сплошной среды, такие как модуль Юнга, коэффициент Пуассона и другие. 4) Получены численные решения выведенных из первых принципов уравнений Смолуховского-Эйлера с соответствующими реакционными коэффициентами для двух случаев: (i) квазиодномерной седиментации, агрегирующих частиц под действием силы тяжести, и (ii) агрегирующих частиц при взрыве, при котором скорости частиц сферически симметричны. Получены распределения частиц по размерам для различных расстояний от источника мономеров или эпицентра взрыва. Для этих же случаев получены численные решения феноменологических уравнений Смолуховского с адвективными членами и феноменологическими коэффициентами реакций. Показано, что, в то время как результаты решения уравнений Смолуховского-Эйлера, полученных из первых принципов, хорошо согласуются с результатами численного эксперимента методом Монте Карло, результаты численного решения феноменологических уравнений отличаются от последних. Установлено, что зависимость установившейся скорости седиментации агрегирующих частиц от размера существенно отличаются от последней при отсутствии агрегации. 5) Разработан численный алгоритм для применения быстрых солверов на основе малоранговой аппроксимации для моделирования кинетики агрегации в потоке для двумерных и трехмерных систем с учетом процессов диффузии, с коэффициентами диффузии зависящими от размеров агрегатов. При этом оператор эволюции разбивается на две части -- одна описывет перенос, другая -- агрегацию частиц. Подобное разбиение оператора эволюции дает возможность более гибкого применения искусственных нейронных сетей (ИНС). Проведена численная генерация большой Базы Данных для результатов решения пространственно-неоднородных уравнений Смолуховского с адвекцией и диффузией. Указанная База Данных использовалась для тренировки соответствующих нейросолверов на основе ИНС и проверки точности их прогнозирования. 6) Проведен анализ известных открытых гидродинамических солверов. Был выбран оптимальный солвер OpenFOAM. Для моделирования турбулентного поля скоростей, моделирующее ветер (в том числе, сильный ветер), использовался солвер LES. Был также создан вариант солвера на неструктурированных сетках и показано, что обе реализации солвера на -- декартовой и неструктурированной сетке приводят к единому решению. Разработан удобный алгоритм комбинирования открытого гидродинамического солвера и быстрого малорангового солвера, созданного в проекте для моделирования кинетики агрегации неоднородных систем. Путем адаптации вычислительной модели к архитектуре суперкомпьютера были проведены высокопроизводительные вычисления. Показано, что метод декомпозиции домена, помимо удобства для встраивания нейросолверов, имеет хорошую масштабируемость в многоузловой среде. Гибридное моделирование CPU-GPU было обеспечено реализацией CUDA FFT. Для избежания при вычислениях «бутылочных горлышек», проводилось чередование двух половин вычислительной области, при использовании ресурсов ЦПУ и ГПУ. 7) Проведена дальнейшая разработка «информационно-осведомленного» («knowledge informed») подхода для аппроксимации решений уравнений агрегационной кинетики, путем использования двухнейронной параметризирующей сети. Последнее привело к значительному увеличению предсказательной точности модели, в особенности, в области концентраций агрегатов малых размеров. Проведено детальное сравнение скорости вычислений быстрых солверов, основанных на малоранговой аппроксимации матрицы реакционных коэффициентов и «информационно осведомленного» солвера на основе ИНС. Показано значительное превосходство последнего, даже при отсутствие метода распараллеливания решения, что может дать дальнейшее увеличение скорости. Установлено, что в случае пространственной неоднородности более эффективным нейросолвером является не «информационно-осведомленный» солвер, а совмещение численного алгоритма и генеративной модели с механизмом условности на основе нормализующих потоков и глубоких нейронных сетей. Все работы, запланированные на третий год проекта, успешно выполнены.