Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Получены новые научные результаты, включая результаты в следующих задачах: 1. Построение обобщения DR иерархии для F-когомологических теорий поля. Построено обобщение DR иерархий для F-когомологических теорий поля. Мы применяем эту конструкцию для построения семейства дисперсионных деформаций иерархии гидродинамического типа, соответствующей произвольному полупростому плоскому F-многообразию. 2. Доказательство нетривиальности построенных деформаций систем гидродинамического типа с помощью инвариантов Миуры. При этом мы доказываем, что все деформации из этого семейства нетривиальны, а также не эквивалентны друг другу под действием преобразований Миуры. 3. Построение рекурсии для вычисления потоков обобщённой DR иерархии, стартуя с одного выделенного потока. Описана богатая алгебраическая структура построенных иерархий. Она включает в себя рекурсию нового типа, вычисляющую все потоки иерархии, стартуя с одного выделенного потока. Также построенные иерархии обладают ещё одним оператором рекурсии, который совпадает с оператором бигамильтоновой рекурсии в случае, когда плоское F-многообразие является многообразием Дубровина-Фробениуса. Просчитанные примеры для случая количества зависимых переменных иерархии, равного одному или двум, позволяют выдвинуть гипотезу, что построенные иерархии дают решение определённых классификационных проблем в теории дисперсионных деформаций иерархий гидродинамического типа. 4. Построение точных солитонных решений дискретных уравнений типа НУШ и понимание поведения решений их непрерывных аналогов. Построены новые интересные решения, в том числе солитонные, для разностных уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Это уравнение эквивалентно условию совместимости вокруг квадрата двух преобразований Дарбу для непрерывного НУШ. Наш подход --- построение преобразования Бэклунда для этой системы, рассматривая дискретные калибровочные преобразования (gauge transformations). Мы изучали непрерывные пределы этих уравнений и соответствующих их решений, чтобы найти решения для непрерывного НУШ. Это позволило развить систематический метод для построения решений интегрируемых систем разностных уравнений, не обладающих свойством трехмерной совместности, а также для построения решений нелинейных уравнений в частных производных, соответствующих этим разностным уравнениям. 5. Используя модификации задач матричной рефакторизации и трифакторизации, получены новые интересные интегрируемые параметрические отображения тетраэдров, т.е. решения теоретико-множественного функционального уравнения тетраэдров (уравнения Замолодчикова). Получены новые интересные интегрируемые параметрические отображения тетраэдров, т.е. решения теоретико-множественного функционального уравнения тетраэдров (уравнения Замолодчикова). Для этого уравнения в литературе нет систематических методов построения решений. Мы рассматриваем новую схему для построения таких решений, используя известное соотношение между решениями локального уравнения Янга--Бакстера и уравнения тетраэдров. Локальное уравнение Янга--Бакстера можно интерпретировать как задачу матричной трифакторизации. Само определение матрицы Дарбу (матрицы, удовлетворяющей задаче матричной рефакторизации) указывает, что можно рассматривать задачи матричной трифакторизации для матриц Дарбу и строить отображения тетраэдров. Для некоторого класса преобразований Дарбу, у которых соответствующее преобразование Бэклунда имеет первый интеграл, можно получать отображения тетраэдров. Первые интегралы преобразования Бэклунда позволяют понять, какие нужно рассматривать инвариантные листы, на которые можно ограничить наши отображения тетраэдров, чтобы получить параметрические отображения тетраэдров. Мы построили новые решения параметрического уравнения тетраэдров, используя матрицы Дарбу НУШ и производного НУШ. 6. В задаче описания пространств модулей флагов голоморфных расслоений на алгебраических кривых получены следующие результаты: установлены явные сопоставления между двумя типами параметризаций голоморфных расслоений на особых кривых рода 2, между параметрами Тюрина и параметрами Талалаева-Червова. При этом рассматривалась кривая с двумя двойными точками и рациональной нормализацией. Данный метод допускает обобщения для флагов голоморфных расслоений. 7. Получены новые необходимые условия для существования преобразований Бэклунда между двумя данными (1+1)-мерными эволюционными уравнений с произвольным числом компонент. Условия сформулированы в терминах бесконечномерных алгебр Ли и их подалгебр, связанных с (1+1)-мерными эволюционными уравнениями. 8. Разработан метод определения, является ли данный формальный ряд решением данного дифференциального уравнения. В качестве приложений построено обобщение полинома Татта на вершинно-взвешенные графы и показано, что соответствующее соотношение на коэффициенты совпадает с соотношением 2-коцикла в групповых когомологиях. Получено представление нового инварианта через суммирование по подграфам, доказано, что новый инвариант обобщает симметризованный хроматический многочлен Сэнли, и установлена его непосредственная связь с 4-инвариантами графов. По полученным результатам сделано несколько публикаций в ведущих российских и международных научных журналах: Journal of Physics A (Q1), Nuclear Physics B (Q1), Theoretical and Mathematical Physics, входящих в базы данных Web of Science и Scopus. Проведено более 10 научных семинаров с международным участием по дискретным интегрируемым системам. Видео семинаров доступны по ссылке: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXwTSts42MHB01EAZ5BtPZnorwcg2oWtj Организована рабочая группа, где члены научного коллектива еженедельно обсуждают полученные научные результаты и доклады семинаров. Также на встречах рабочей группы строится план выполнения задач проекта и обсуждаются возможные расширения полученных результатов. Осуществляется международное сотрудничество с ведущими университетами и научными институтами Великобритании, Греции, Италии, Кипра, Франции и других стран. В частности, получены научные результаты в сотрудничестве с молодыми учеными George Papamikos и Panagiota Adamopoulou из университета University of Essex (Великобритания) по интегрируемости в смысле Лиувилля для нескольких отображений Янга-Бакстера. Кроме того, получены научные результаты совместно с известным специалистом Pavlos Xenitidis из университета Liverpool Hope University (Великобритания) по построению новых решений интегрируемых систем разностных уравнений. Также несколько ведущих ученых из Великобритании, Греции, Италии, Кипра, США, Швейцарии были привлечены с докладами к научным мероприятиям, организованным в рамках проекта. Научный коллектив проводил в ЯрГУ спецкурсы и учебные семинары для студентов ((включая студентов первого курса и старших курсов) и аспирантов с целью привлечения их к научной деятельности по темам проекта. В дополнение к современным курсам по основным разделам математики, для студентов и аспирантов были проведены занятия по теории интегрируемых систем, с использованием пакетов программного обеспечения для символьных вычислений (Wolfram Mathematica, Maple) и английского языка. Видео некоторых лекций спецкурсов доступны по ссылке: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXwTSts42MHCqpVcVNIUrrufaN5-ZHAhK Члены научного коллектива сделали несколько докладов на международных конференциях: 2nd International Conference on Integrable Systems and Nonlinear Dynamics (Ярославль, Россия, 19-23 октября 2020), Нейроинформатика 2020 (12-16 октября 2020).

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1. Получены новые научные результаты. В частности: - Теория интегрируемых систем, связанных с многообразиями Дубровина-Фробениуса (ДФ-многообразия), является на данный момент хорошо развитой. По ДФ-многообразию можно напрямую построить бездисперсионную иерархию гидродинамического типа. В случае, когда ДФ-многообразие полупросто, имеются дисперсионные деформации, которые строятся с помощью геометрического объекта, называемого когомологической теорией поля (КогТП). Известно два способа построения дисперсионных деформаций, которые гипотетически дают Миура-эквивалентные иерархии. Один способ был предложен Дубровиным и Жангом в 2001 году [B. Dubrovin, Y. Zhang, arXiv:math/0108160], а второй способ - в работе Буряка [A. Buryak. Comm. Math. Phys. (2015)], где полученные дисперсионные иерарии были названы DR-иерархиями. С точки зрения изучения интегрируемых систем, второй способ представляется более удобным, так как позволяет напрямую строить уравнения иерархии. Естественным обобщением ДФ-многообразия является плоское F-многообразие, и был хорошо известен способ построения по нему бездисперсионной системы. Однако, конструкций дисперсионных деформаций таких систем не было известно. Мы получили конструкцию дисперсионных систем, связанных с произвольным полупростым плоским F-многообразием [A. Arsie, A. Buryak, P. Lorenzoni, P. Rossi. Comm. Math. Phys. 388 (2021)]. Конструкция основана на обобщении понятия КогТП, так называемой F-КогТП, а также на обобщении конструкции DR-иерархии. Мы доказали, что полученные дисперсионные системы нетривиальны, то есть их невозможно свести к бездисперсионной системе преобразованием Миуры. - Проводились исследования квантовых интегрируемых систем, связанных с полуквантовыми алгебрами, введенными Исаевым и Огиевецким в 2013 году. Эта конструкция непосредственно связана с концепцией матриц Манина, как некоммутативных морфизмов векторного пространства с плетением. Установлена связь алгебры, строящейся по паре согласованных R-матриц и группы виртуальных кос. Данное наблюдение может иметь существенное значение как в теории представлений данных алгебр, так и в теории инвариантов виртуальных узлов. - Разработана новая схема для построения решений интегрируемых грассмановых расширенных разностных уравнений, которые не обязательно имеют свойство трехмерной совместности. - Используя обобщения метода работы [G. Berkeley, S. Igonin, J. Phys. A (2016)], основанного на изучении специальных действий групп Ли, связанных с представлениями Дарбу-Лакса, мы построили новые преобразования Бэклунда типа Миуры для некоторых дискретных систем на решетках. В частности, мы построили новые преобразования типа Миуры для нелинейного интегрируемого дискретного уравнения из работы [D. Levi, R.I. Yamilov, arXiv:0902.2126] на квадратной решетке. - Мы доказали, что дифференциал отображения (на многообразии), удовлетворяющего уравнению тетраэдров Замолодчикова, тоже удовлетворяет этому уравнению. Это позволило построить новые (теоретико-множественные) решения уравнения тетраэдров Замолодчикова на многообразиях и на векторных пространствах. Полученные результаты опубликованы в работе S. Igonin, V. Kolesov, S. Konstantinou-Rizos, M.M. Preobrazhenskaia. Tetrahedron maps, Yang–Baxter maps, and partial linearisations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 54 (2021), 505203. - Проверены свойства интегрируемости многочлена Боллобаша-Риордана как инварианта Татта-Гортендика вложенного графа. Опровергнута гипотеза о том, что производящая функция вложенных графов, взятых с весом равным многочлену Боллобаша-Риордана, удовлетворяет рекурсии типа Татта. 2. Проведено более 10 научных семинаров с международным участием по интегрируемым системам и смежным темам. Видео семинаров доступны по ссылке: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXwTSts42MHB01EAZ5BtPZnorwcg2oWtj 3. Организована рабочая группа, где члены научного коллектива еженедельно обсуждают полученные научные результаты и доклады семинаров. Также на встречах рабочей группы строится план выполнения задач проекта и обсуждаются возможные расширения полученных результатов. 4. Осуществляется международное сотрудничество с ведущими университетами и научными институтами Великобритании, Греции, Италии, Кипра, Франции и других стран. В частности, получены научные результаты в сотрудничестве с молодыми учеными George Papamikos и Panagiota Adamopoulou из университета University of Essex (Великобритания) по сплетающим отображениям Янга-Бакстера. Кроме того, получены научные результаты совместно с известным специалистом Pavlos Xenitidis из университета Liverpool Hope University (Великобритания) по построению некоммутативных дискретных интегрируемых систем. Также несколько ведущих ученых из Великобритании, Греции, Италии, Кипра, США, Швейцарии были привлечены с докладами к научным мероприятиям, организованным в рамках проекта. 5. Научный коллектив проводил в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова спецкурсы и учебные семинары для студентов (включая студентов первого курса и старших курсов) и аспирантов с целью привлечения их к научной деятельности по темам проекта. В дополнение к современным курсам по основным разделам математики, для студентов и аспирантов были проведены занятия по теории интегрируемых систем, с использованием пакетов программного обеспечения для символьных вычислений (Wolfram Mathematica, Maple) и английского языка. 6. Студенты были активно привлечены к научной деятельности научного коллектива по темам проекта. Они будут соавторами будущих научных работ по проекту.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Получены новые научные результаты. В частности: - Построено преобразование Дарбу для некоммутативного производного нелинейного уравнения Шредингера. Построен некоммутативный аналог отображения Янга--Бакстера, связанного с производным нелинейным уравнением Шредингера. Кроме того, построено некоммутативное отображение типа Кортевега--де Фриза, которое можно ограничить к интегрируемому дискретному потенциальному уравнению Кортевега--де Фриза. - Используя соответствия, возникающие из локального уравнения Янга--Бакстера для некоторых простых матричных функций размера 2×2, показано, что существуют (неединственные) решения локального уравнения Янга--Бакстера, которые определяют отображения тетраэдров, не входящие в список С.М. Сергеева из работы [S.M. Sergeev, Lett. Math. Phys. 45 (1998), 113-119]. Это прокладывает путь к новой, более широкой классификации отображений тетраэдров. Для некоторых из этих отображений тетраэдров доказана интегрируемость по Лиувиллю. Кроме того, используя подход решения соответствий, возникающих из локального уравнения Янга--Бакстера, получено несколько новых бирациональных отображений тетраэдров с представлениями Лакса и инвариантами, в том числе отображения на некоммутативных группах, а также одно девятимерное отображение, связанное с преобразованием Дарбу для производного нелинейного уравнения Шредингера. - Используя подход, основанный на локальных соответствиях Янга-Бакстера, мы построили новые бирациональные теоретико-множественные решения (отображения) для уравнения тетраэдров Замолодчикова на группах и многообразиях. Отметим, что некоторые из наших решений являются 9-мерными обобщениями известного 3-мерного отображения Хироты. Результаты опубликованы в работе S. Igonin, S. Konstantinou-Rizos, Local Yang--Baxter correspondences and set-theoretical solutions to the Zamolodchikov tetrahedron equation https://arxiv.org/abs/2302.03059 - Получено гамильтоново описание и решение интегрируемой системы, определенной на пространстве флагов группы GL(n). - Построен метод расширения квазитреугольных алгебр Хопфа, позволяющий находить новые решения уравнения Янга-Бакстера. По этим результатам, принята статья к публикации в журнале Теоретическая и математическая физика (V.G. Bardakov, D.V. Talalaev, "Extensions of Yang-Baxter sets" https://arxiv.org/abs/2206.09629 ). - Разработан метод построения новых интегрируемых уравнений на 2-мерных решетках, связанных преобразованиями типа Миуры с известными интегрируемыми уравнениями, имеющими представления Дарбу-Лакса. Метод применим в случае, когда одна из матриц в представлении Дарбу-Лакса содержит зависимые переменные или их сдвиги одной степени. Метод использует действия групп Ли, связанные с такими представлениями Дарбу-Лакса. В частности, применяя этот метод, мы построили новые интегрируемые уравнения, связанные преобразованиями типа Миуры с нелинейным интегрируемым уравнением из работы [D. Levi, R.I. Yamilov, arXiv:0902.2126] на 2-мерной решетке. - Доказано, что потенциал Громова--Виттена эллиптической кривой в роде g, который является формальным рядом от бесконечного числа переменных, можно представить в виде конечной суммы (по разбиениям числа 2g-2) мономов, содержащих топологическое решение иерархии топологического типа в роде ноль и его производных по некоторому выделенному направлению. Как следствие, было получено, что иерархия топологического типа для эллиптической кривой сводится к своей бездисперсионной части преобразованием Миуры. Результаты содержатся в статье А. Буряка "A formula for the Gromov-Witten potential of an elliptic curve", которая принята к публикации в журнале Moscow Mathematical Journal (2023). 2. Проведено более 10 научных семинаров с международным участием по интегрируемым системам и смежным темам. Видео семинаров доступны по ссылке: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXwTSts42MHB01EAZ5BtPZnorwcg2oWtj 3. Организована рабочая группа, где члены научного коллектива еженедельно обсуждают полученные научные результаты и доклады семинаров. Также на встречах рабочей группы строится план выполнения задач проекта и обсуждаются возможные расширения полученных результатов. 4. Осуществляется международное сотрудничество с ведущими университетами и научными институтами Великобритании, Греции, Италии, Кипра, Франции и других стран. В частности, получены научные результаты в сотрудничестве с известным специалистом Pavlos Xenitidis из университета Liverpool Hope University (Великобритания) по построению преобразований Дарбу и Бэклунда для некоммутативных дискретных интегрируемых систем. Также несколько ведущих ученых из Великобритании, Греции, Италии, Кипра, Германии, Финляндии, Южно-Африканской Республики и США, были привлечены с докладами к научным мероприятиям, организованным в рамках проекта. 5. Научный коллектив проводил в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова спецкурсы и учебные семинары для студентов (включая студентов первого курса и старших курсов) и аспирантов с целью привлечения их к научной деятельности по темам проекта. В дополнение к современным курсам по основным разделам математики, для студентов и аспирантов были проведены занятия по теории интегрируемых систем с использованием пакетов программного обеспечения для символьных вычислений (Wolfram Mathematica, Maple) и английского языка. По результатам проекта 20-71-10110 создан новый учебный курс "Интегрируемые системы" для студентов 4-го курса математического факультета ЯрГУ. Лектор курса: С. Константину-Ризос. 6. Студенты были активно привлечены к научной деятельности научного коллектива по темам проекта. Они будут соавторами будущих научных работ по проекту.