Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В рамках проекта изучается возможность активного управления конвективными волновыми структурами (паттернами), возникающими на поверхности тонкой пленки жидкости, помещенной на твердую нагретую подложку. В качестве активного контроля применяется управление с помощью обратной связи. Предполагается, что тонкая пленка оснащена датчиками, способными измерять температуру на свободной поверхности пленки (например, при помощи ИК-камеры). Пропорционально отклонению значения температуры от равновесного изменяется теплопоток через подложку при помощи актуаторов. Таким образом, мы управляем количеством тепла, поступающим в систему, и ослабляем/ усиливаем движение жидкости. Для того, чтобы влиять не на порог возникновения конвекции (линейное поведение системы), а на нелинейное развитие возмущений, мы рассматриваем нелинейную (квадратичную) связь между датчиками и актуаторами. На первом этапе использована самая простая модель контроля, в которой предполагается, что актуаторы и контроллеры распределены равномерно и сигнал между ними распространяется мгновенно. На следующих этапах будет рассмотрена более реалистичная ситуация. На данном этапе работа сосредоточена на построении математических моделей для описания волновых паттернов и их анализе. При помощи приближения тонких пленок громоздкая система исходных гидродинамических уравнений преобразована к системе из двух уравнений в частных производных. Эта система описывает крупномасштабную эволюцию двух характеристик – толщины пленки и отклонения температуры жидкости от линейного распределения. Нелинейный контроль входит в эти уравнения как управляющий параметр. В рамках данных уравнений проведен анализ внутренней устойчивости двух- и трехмерных волновых паттернов (бегущих и стоячих валов, ромбов, квадратов, перемежающихся валов). Определены критерии устойчивости (т.е. наблюдаемости) различных паттернов в зависимости от физических параметров пленки: её толщины, перепада температур, поверхностного натяжения, вязкости, теплопроводности. В зависимости от этих параметров конвекция может возбуждаться не только мягким образом, но и жестким, что приводит к разрыву пленки. Определены величины параметра усиления для обратной связи, которые позволяют предотвратить развитие жесткого возбуждения (т.е. избежать разрыва), а также – стабилизировать желаемый вид паттерна. Рассмотрен также ещё один вариант потери устойчивости паттернов – вследствие развития модуляционной неустойчивости. Асимптотическими методами получено комплексное уравнение типа одномерного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау (но с дополнительным нелинейным членом, отвечающим за отклонения свободной поверхности), описывающее модуляционную неустойчивость бегущих валов в тонкой пленке. Оказалось, что бегущие валы почти всегда неустойчивы по отношению к амплитудной модуляции. Нелинейный контроль способен подавить эту неустойчивость, но при этом может возбуждаться другая модуляционная неустойчивость – типа Бенджамина-Фейра. Вторая важная часть исследования – численное моделирование. Мы решаем систему уравнений в частных производных (старшие из которых – четвертого порядка) для температуры и толщины пленки при помощи метода экспоненциальных разностей по времени (ЭВР). При изучении колебательных процессов этот метод дает значительный выигрыш в производительности по сравнению с обычными явными разностными схемами. На данном этапе основной задачей является написание и отладка кода программы для вычисления профилей температуры и толщины пленки.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В рамках проекта изучается возможность активного управления конвективными волновыми структурами (паттернами), возникающими на поверхности тонкой пленки жидкости, помещенной на твердую нагретую подложку. В качестве активного контроля применяется управление с помощью обратной связи. Предполагается, что тонкая пленка оснащена датчиками, способными измерять температуру на свободной поверхности пленки (например, при помощи ИК-камеры). Пропорционально отклонению значения температуры от равновесного изменяется теплопоток через подложку при помощи актуаторов. Таким образом, мы управляем количеством тепла, поступающим в систему, и ослабляем/ усиливаем движение жидкости. Для того, чтобы влиять не на порог возникновения конвекции (линейное поведение системы), а на нелинейное развитие возмущений, мы рассматриваем нелинейную (квадратичную) связь между датчиками и актуаторами. На первом этапе использована самая простая модель контроля, в которой предполагается, что актуаторы и контроллеры распределены равномерно и сигнал между ними распространяется мгновенно. В рамках этой модели была показана принципиальная возможность управления устойчивостью конвективных паттернов. Это важно как с фундаментальной (управление нелинейной динамикой), так и с прикладной (создание микроструктур желаемой геометрии) точек зрения. На данном этапе выполнения проекта была продолжена работа по построению математических моделей для описания волновых конвективных структур и их анализу. Модель, описывающая модуляционную неустойчивость волновых структур, обобщена на трехмерную геометрию. В рамках этой модели проведен анализ, который выявил дополнительные моды модуляционной неустойчивости паттернов. Такая неустойчивость приводит к деформации паттернов или даже их разрушению. Прямое численное моделирование было также расширено (по сравнению с первым этапом) на трёхмерные возмущения. Предсказания анализа динамики системы вблизи порога возникновения конвекции подтверждаются в численном эксперименте. Однако уже при небольшом отхождении от порога динамика системы становится существенно нелинейной, конвективные структуры претерпевают различные изменения. Наконец, уделено внимание построению более реалистичной модели подсистемы управления: для дискретного распределения датчиков и актуаторов. В рамках данной модели модифицированы уравнения, описывающие динамику тонкой пленки при наличии контроля. В рамках этой модели для случая пропорциональной связи между равномерно распределенными датчиками и актуаторами проведен анализ влияния количества датчиков/актуаторов на эффективность подавления неустойчивости тонкой пленки. Оказывается, подсистема с небольшим количеством датчиков (от 3) способна поддерживать равновесие в тонкой пленке.