Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Г.Ольшанский получил описание границы нового графа ветвления --- расширенного графа Гельфанда-Цетлина с формальными кратностями ребер, зависящими от двух параметров q и t полиномов Макдональда. Введена новая модель стохастических систем с N взаимодействующими частицами; это (q,t)-деформированная версия бета-ансамблей из теории стохастических матриц. Помимо параметров Макдональда модель зависит еще от 4 непрерывных параметров, связанных с большими полиномами q-Якоби. Доказано существование предельного перехода, в котором число частиц N стремится к бесконечности. В результате предельного перехода возникает система с бесконечным числом частиц, пространство состояний которой и есть граница расширенного графа Гельфанда-Цетлина с параметрами Макдональда. М Матушко получена предельная конструкция системы Калоджеро-Сазерленда в пространстве Фока в точке свободных фермионов. Удалось получить явные формулы производящей функции для гамильтонианов предельной системы в пространстве Фока, не известные ранее. Предъявлены два разных выражения для производящей функции плотностей гамильтонианов, первый в терминах дифференциальных операторов, второй в терминах интегральных операторов. Построена иерархия временных эволюций, заданных соответствующими коммутирующими гамильтонианами. С.К.Ландо и А.С.Скрипченко, совместно с И.М.Кричевером начали изучение вещественной стратификации пространств мероморфных вещественно нормированных дифференциалов с единственным полюсом второго порядка на комплексных кривых. Доказано, что общий лист слоения абсолютных периодов всюду плотен в пространстве вещественно нормированных дифференциалов. Доказано, что всякий лист этого слоения, отвечающий вполне несоизмеримой группе периодов, связен. Статья, содержащая эти результаты, представлена в Letters in Mathematical Physics. С. Шлосман с соавторами произвели подробный анализ критического пред-смачивания в двумерной модели Изинга. Для этого они сделали (-)-фазу нестабильной, включив слабое положительное магнитное поле h. Ширина (-)-слоя около (-)-стенки становится микроскопической, порядка h ^ {- 1/3}. Основной результат - это доказательство того, что интерфейс, после масштабирования на h^{1/3} по вертикали и на h^{2/3} по горизонтали, слабо сходится к явно описанному невырожденному диффузионному процессу Феррари-Шпона, когда магнитное поле h стремится к 0. С. Шлосману совместно с О.Огиевецким удалось доказать, что построенная ранее конфигурация C_m шести цилиндров является точкой локального максимума функции радиуса r на многообразии М шестёрок непересекающихся цилиндров, касающихся единичной сферы. Более того, ими обнаружено, что 15-мерное касательное пространство к М в точке C_m содержит 4-мерное подпространство, по которому функция r квадратично убывает, а по любому другому касательному направлению онa убывает линейно. А. Дымовым достигнуто продвижение в обосновании теории волновой турбулентности для нелинейного уравнения Шредингера, подверженного действию малых случайного возмущения и вязкости. А именно, совместно с С.Б.Куксиным разработан удобный язык фейнмановских диаграмм, позволяющий записывать в явном виде моменты членов формального ряда по амплитуде для решений уравнения. Предположительно, в дальнейшем это позволит получить оценки на моменты членов формального ряда, необходимые для обоснования теории. С. Хорошкин построил согласованное семейство q дифференциальных операторов на q-аналогах алгебр функций M_q(m, n) на прямоугольных матрицах. В этих алгебрах реализованы коммутирующие действия двух квантовых групп. Вычислены соответствующие редукционные алгебры. Явно описано бирациональное преобразование Беренштейна-Зелевинского флаговых многообразий классических групп Ли. Получены формулы связи действия янгиана общей линейной группы в спиновых системах Сазерленда с разным числом частиц. Полученные соотношения позволяют подправить перенормировки Углова янгианных действий так, чтобы они образовывали проективную систему, полевой предел которой описан в наших работах В работе Магазинова и Пеледа Concentration inequalities for log-concave distributions with applications to random surface fluctuations (https://arxiv.org/abs/2006.05393) предложен новый вариант неравенства Браскампа-Либа для log-вогнутых распределений. С его помощью доказана оценка дисперсии значения случайной поверхности градиентного типа в "типичной" вершине решетчатого графа, если потенциал - выпуклая функция, вторая производная которой обращается в нуль на множестве нулевой меры Лебега. Это условие, в частности, покрывает случай потенциала V(x) = x^4, который отмечался Браскампом, Либом и Лебовичем как нерешенный. Рослый Доказана ключевая лемма, характеризующая локальный вид \Omega-суперсвязностей, а также показывающая, что когомологии \Omega-суперсвязностей являются когерентными пучками.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
С. Шлосман, совместно с С. Оттом и И. Велеником, нашли спектр флуктуаций линии раздела фаз в модели Изинга. Оказалось, что в процессе перемещения наблюдателя вдоль линии раздела он может наблюдать любые флуктуации -- от флуктуаций порядка N^1/3 в области прилегания к стенке до флуктуаций порядка N^1/2 в области, далёкой от стенки. Dmitry Ioffe, Sébastien Ott, Senya Shlosman, Yvan Velenik, Critical prewetting in the 2d Ising model, https://arxiv.org/abs/2011.11997 С. Шлосман, совместно с Олегом Огиевецким доказали, что октаэдральная критическая точка O(6) в 15-мерном многообразии М шестёрок (mod SO(3)) непересекающихся цилиндров радиуса r, касающихся единичной сферы, является точкой локального максимума функции r. Oleg Ogievetsky, Senya Shlosman Extremal Cylinder Configurations II: Configuration O6, https://arxiv.org/abs/1902.08995 Oleg Ogievetsky, Senya Shlosman. Platonic Compounds of Cylinders https://arxiv.org/abs/1904.02043 А. Магазинов, совместно с Р. Пеледом, доказали теорему о локализации значений случайной липшицевой функции на решетчатом торе размерности 3 и более, и верхнюю оценку делокализации на двумерном решетчатом торе, совпадающую, с точностью до константного множителя, с известной нижней оценкой (Милось и Пелед). Г.И.Ольшанский и С.Куэнка поставили задачу изучения инвариантных мер относительно коприсоединенного действия бесконечномерных аналогов классических групп над конечными полями. Ими получены первые классификационные результаты. В ходе исследования открыты графы ветвления нового типа, связанные с симметрическими функциями Холла-Литтлвуда с отрицательным параметром. C. Cuenca, G. Olshanski, Infinite-dimensional groups over finite fields and Hall-Littlewood symmetric functions. https://arxiv.org/abs/2102.01947 А. Дымов совместно с С.Б. Куксиным исследовал формальное разложение по амплитуде решения нелинейного уравнения Шредингера, подверженного действию малых случайного возмущения и вязкости, в пределе волновой турбулентности. Была получена верхняя оценка на члены формального ряда. С.Хорошкин, совместно с С.Харчевым, построили интегральное представление волновых функций гиперболической модели Сазерленда в виде многократных интегралов Меллина-Барнса. https://arxiv.org/abs/2108.04895 Вышла в печати книга "Lectures on Random Lozege Tilings" за авторством В.Горина: https://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/discrete-mathematics-information-theory-and-coding/lectures-random-lozenge-tilings А. Скрипченко, совместно с П. Юбером, М. Артиджани и Ш. Фужероном доказали строгую эргодичность типичных двойных вращений бесконечного типа и доказали, что хаусдорфова размерность пространства параметров, задающих двойные вращения бесконечного типа, строго меньше 3. https://arxiv.org/abs/2102.11803

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Известно, что в трёхмерной модели Изинга капля (+)-фазы, окружённая (-)-фазой, приобретает форму кристалла с шестью плоскими гранями, наподобие игральной кости. В нашей совместной работе с П. Феррари: Ferrari, P., and Senya Shlosman S. "The Airy $ _2 $ process and the 3D Ising model." arXiv preprint arXiv:2209.14047 (2022) мы исследовали флуктуации границ плоских граней этого кристалла. Мы обнаружили, что для кристалла размера N их порядок составляет N^1/3, и описываются они знаменитым распределением Трейси-Видома, известного в теории случайных матриц. Наша статья будет опубликована в Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical (Q1) в 2023 году. Совместно с С.Харчевым мы показали, что построенные нами интегралы Меллина-Барнса удовлетворяют системе разностных уравнений, состаляющих спектральную задачу для рациональных операторов Макдональда. Таким образом решена биспектральная задача , связывающая гиперболическую модель Сазерленда с рациональными операторами Макдональда- Руджинарса. Предложен полный набор эффективных условий, при которых данные два канонических комбинаторных представления описывают вещественно-нормированные дифференциалы, принадлежащие одной компоненте связности слоя изопериодического слоения. Тем самым дано полное описание всех компонент связности слоев общего положения изопериодического слоения в пространстве вещественно-нормированных дифференциалов с единственным полюсом второго порядка на комплексных алгебраических кривых произвольного рода. Аналогичные результаты получены в двух других ситуациях - для вещественно-нормированных дифференциалов с двумя полюсами первого порядка на кривых произвольного рода и для стратов коразмерности один в пространствах вещественно-нормированных дифференциалов с единственным полюсом второго порядка. Доказано, что для любого натурального числа D, сравнимого с 0 или 1 по модулю 4, пространство собственных форм Прима на алгебраических кривых рода 5 с двумя нулями, каждый порядка 4, задающих квадратичный порядок O(D), непусто и связно. Этот результат завершает цикл исследований пространств собственных форм Прима, выполненный в последние годы целым рядом математиков. Мы построили бесконечнопараметрическое семейство инвариантных мер Радона для коприсоединенного действия бесконечномерных унитарных матричных групп над конечными полями. https://arxiv.org/abs/2206.07320 Доказано, что асимптотическое поведение суммы весовой функции по пересечению решетки малого периода с невырожденной квадрикой управляется интегралом от весовой функции по некоторой мере, сосредоточенной на этой квадрике. Этот результат уточняет известный результат Heath-Brown’96 и делает возможным его применение к задачам математической физики таким, как строгое обосование теории волновой турбулентности. В то время как Heath-Brown требует, чтобы весовая функция была бесконечно гладкой, имела компактный носитель и занулялась в окрестности сингулярности квадрики, мы требуем лишь конечную гладкость, полиномиальное убывание на бесконечности и не требуем, чтобы функция занулялась в сингулярности. Сформулирован и доказан набор тождеств для GL(M) эллиптической R-матрицы. В скалярном случае M=1 эти тождества на эллиптические функции были получены Руйсенарсом как необходимые и достаточные условия для его тождества на интегральное ядро, лежащее в основе построения интегральных решений квантовой бесспиновой модели Руйсенарса–Шнайдера.