Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В 2020 году в рамках работ по проекту решались как теоретические, так и прикладные задачи. Все взятые на 2020 год обязательства выполнены, развиты новые направления исследований, заложена основа для их продолжения. План по публикациям в изданиях Web of Science/Scopus реализован с существенным превышением (план 5, факт 8, из них одна в издании Q1), дополнительно опубликованы 10 статей в изданиях, индексируемых в РИНЦ, в т.ч. 7 статей в изданиях из списка ВАК. Результаты работ по проекту представлены в 5 докладах на международных конференциях. 1. Рассмотрена динамическая задача стимулирования в непрерывном времени в случае одного лидера и одного ведомого, соответствующая обратной игре Штакельберга. Основной результат касается игры, в которой последовательно лидер выбирает стимулирующую функцию, ведомый выбирает оптимальное управление, и лидер получает выигрыш. Выигрыш лидера оценивается при худшем для него оптимальном ответе ведомого, что соответствует слабой игре Штакельберга. Показано, что для реализации epsilon-оптимального механизма стимулирования лидер должен решить задачу оптимального управления, в которой требуется максимизировать разность между своим доходом и затратами ведомого, сообщить ведомому оптимальный план и покрыть расходы последнего надбавкой, стимулирующей ведомого следовать переданному плану. 2. Рассмотрена сеть связи с фиксированным набором соединений, используемых большим числом пользователей. Распределение ресурсов сети производится на основе максимизации суммарной полезности в соответствии с популярным подходом, предложенным Kelly с соавторами (1998). Задача состоит в определении механизма назначения цен на скорости передачи данных с целью стимулирования оптимального использования имеющихся ресурсов. Предложенная динамическая схема назначения цен основана на двойственном стохастическом методе проекции градиента. В отличие от обычного подхода не предполагается, что совокупный трафик, генерируемый пользователями на каждом соединении, известен. Алгоритм требует задания одного глобального параметра: числа N пользователей. Для специального класса функций полезности получены верхние оценки для невязок в ограничениях и отклонения целевой функции от оптимального значения. Эти оценки равномерны по N и имеют порядок T^{-1/4} по числу T измеренных реакций пользователей. Быстрый метод градиентного спуска Нестерова, примененный к рассматриваемой задаче (в традиционной постановке) в работе [Beck et al., 2014], для тех же величин даёт оценки порядка T^{-1} по числу итераций T. Однако, каждая итерация быстрого метода градиентного спуска требует знания N реакций пользователей, если они измеряются индивидуально. Таким образом, для больших значений N предлагаемый алгоритм может потребовать значительно меньшего числа измерений пользовательских реакций для достижения желаемой точности. Компьютерные эксперименты с квадратичными функциями полезности, представляющими собой разности между линейной полезностью, индивидуальной для каждого пользователя, и квадратичным штрафом, назначаемым сетью, иллюстрируют этот факт. 3. Исследована одношаговая задача оптимального инвестирования, в которой инвестор выбирает портфель, т.е. доли капитала, инвестируемые в d рисковых активов, на основе n наблюдений за их возвратами. Получены оценки разности между оптимальным значением полезности и истинной полезностью эмпирически оптимального портфеля (ошибки оценивания), а также разности между эмпирической и истинной полезностями такого портфеля (ошибки обобщения). Для классической задачи оптимизации полезности указанные оценки получены в предположении, что доходности принадлежат одному из пространств L^p или пространствам Орлича, содержащим субгауссовские и субэкспоненциальные случайные величины. Относительно функций полезности предполагается, что они непрерывны по Липшицу или по Гёльдеру. Для вогнутых полезностей аналогичные оценки установлены как для эмпирически оптимальных портфелей, так и для портфелей, построенных с помощью алгоритма экспоненциированного градиента. Для задачи максимизации относительной полезности аналогичные оценки установлены при единственном предположении о независимости и одинаковой распределенности процентных ставок. Случаи липшицевых и гёльдеровских функций полезности изучаются отдельно. В обоих случаях рассматривается радемахеровская сложность класса функций относительной полезности, параметризованных весами портфелей. Полученные оценки ожидаемых ошибок оценивания и обобщения непосредственно приводят к оценкам полезности с высокой вероятностью через неравенства концентрации. Установленные оценки имеют порядок 1/n^{1/2} и зависят только от функции полезности, числа активов и длины истории. Для вогнутых функций полезности аналогичные границы получены для портфелей, построенных с помощью алгоритма экспоненциированного градиента. Для изучения свойств риска и обобщения эмпирически оптимальных портфелей проведены статистические эксперименты с искусственными и реальными данными. В качестве альтернативы выборочным оценкам предложена робастная оптимизация по конечному множеству возможных значений параметров. Множество возможных значений параметров определялось с использованием алгоритма самообучения, сочетающего метод максимального правдоподобия с иерархической кластеризацией. Основное достоинство алгоритма состоит в том, что алгоритм позволяет выбрать число кластеров. Проведена серия вычислительных экспериментов с реальными данными. При оптимальном выборе числа кластеров метод продемонстрировал реальное преимущество по сравнению со стандартным методом. Для европейского опциона получены аналитические формулы, вычисляющие верхнюю и нижнюю цены опциона и соответствующие им стратегии, для азиатского опциона были получены рекуррентные формулы, вычисляющие верхнюю и нижнюю цены и соответствующие им стратегии. Вычислительный эксперимент с реальными данными продемонстрировал значимое преимущество предлагаемой модели над классической моделью Кокса-Росса-Рубинштейна. 4. Изучалась задача управления диффузионным случайным процессом с разладкой. Основу численного метода составляет аппроксимация случайного процесса с разладкой случайным блужданием на бинарном дереве с раскрашенными в два цвета вершинами. Раскраска соответствует моменту остановки, который определяется как момент скорейшего обнаружения разладки. Задача управления решается на раскрашенном бинарном дереве. За счет разделения задачи управления процессом с разладкой на две задачи удалось получить вычислительно эффективный метод решения задачи управления процессом, который изменяет свои свойства в случайный момент времени. Возможности метода демонстрируются на задаче квантильного хеджирования. 5. Метод качественно репрезентативных сценариев (QRS) имитационного моделирования применён для исследования систем внедрения инновационных технологий, моделей согласования частных и общественных интересов, систем контроля качества речных вод, системы управления концертами для музыкального клуба, при первичной эмиссии акций акционерного общества. При моделировании всех этих систем управления используется иерархический теоретико-игровой подход. Использовались разные информационные регламенты, соответствующие управляющим методам побуждения и принуждения, а также играм Штакельберга с обратной связью по управлению и без неё. Особое внимание при использовании метода QRS уделено формированию начального множества QRS, а также итерационной процедуре применения метода QRS при построении равновесий Нэша и Штакельберга. Предполагалось, что допустимая относительная погрешность метода составляет 5-10%. Получено значительное количество результатов имитационных экспериментов для разных наборов входных данных. Дан их анализ и сравнение с известными результатами других авторов и с имеющимися фактическими данными. Проведённый анализ свидетельствует об адекватности метода QRS и возможности его использования при исследовании систем управления различной природы и структуры. 6. Ценность мнения каждого базового агента одинакова как для всех агентов влияния, так и для Центра, причем как для безразличного Центра, так и для доброжелательного. Эта ценность определяется лишь матрицей взаимодействия базовых агентов. Безразличный Центр выделяет агентам влияния больше средств, чем те готовы потратить на увеличение числового значения мнения базовых агентов. Благожелательный Центр выделяет лишь одного из агентов влияния (фаворита), у которого экономическая мощность частной деятельности максимальна, при условии, что частная деятельность соответствует выделенным ресурсам. Только фавориту Центр разрешает тратить часть ресурсов на свои частные цели. В случае благожелательного Центра всем агентам, кроме фаворита, выделяется меньше ресурсов, чем в случае безразличного Центра. Как и в статических СОЧИ-моделях, получаем, что индекс системной согласованности меньше единицы, т.е. полностью интересы агентов и Центра совместить нельзя. В случае благожелательного Центра индекс системной согласованности выше. Центры обоих типов считают, что агент влияния должен выделить больше ресурсов на общие цели, чем полагет сам агент. Оценка эффективности функционирования систем управления, описываемых динамическими СОЧИ-моделями, была проведена в основном в системах внедрения инновационных технологий. Исследовались двухуровневые СОЧИ-модели, включающие в свой состав одного ведущего игрока и нескольких ведомых. С точки зрения ведомых, их взаимодействие моделируется как динамическая игра в нормальной форме, в которой находится равновесие Нэша. С точки зрения ведущего игрока строится равновесие Штакельберга с обратной связью по управлению или без неё. Исследование всех предложенных моделей проведено методом качественно репрезентативных сценариев (метод QRS). Для каждой из рассмотренных моделей исследованы четыре информационных регламента: игра Штакельберга с обратной связью по управлению и без неё при побуждении и принуждении. В большинстве случаев эффективнее использование метода принуждения при игре Штакельберга с обратной связью по управлению. Но использование данного информационного регламента возможно только при значительных возможностях ведущего по контролю ведомых. 7. Разработаны и апробированы алгоритмы сегментации целевой аудитории и решения задачи прогноза мнений целевой аудитории. Построены и исследованы задачи оптимального управления и динамические теоретико-игровые модели управления мнениями и распределения ресурсов в маркетинге. 8. Построены и исследованы динамические модели стимулирования и контроля сотрудников университета при выполнении исследовательских проектов; модели дискретной оптимизации кадрового состава факультета, выявляющие зависимость решений от параметров модели и позволяющие оптимизировать кадровый состав подразделений различного уровня; дифференциально-игровые модели продвижения инноваций в университетах.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1. Рассмотрена фирма, производящая и продающая d товаров и состоящая из n производственных и m торговых подразделений. Цель менеджера заключается в том, чтобы стимулировать наилучшую с точки зрения фирмы производительность подразделений, последовательно назначая внутренние цены на товары (трансфертные цены). В статической задаче при общих предположениях о сильной выпуклости и компактности установлено, что алгоритм SOLO FTRL (Orabona, Pal 2018), применённый к двойственной задаче, даёт оценки порядка T^{-1/4}по числу T итераций для отклонения суммарной прибыли фирмы от оптимального значения и для дисбаланса между спросом и предложением. Этот алгоритм использует только информацию о реакции подразделения на текущие цены. Он не зависит от каких-либо параметров и не требует информации о производственных функциях и функциях затрат. Результаты аналогичного характера получены для динамической задачи, где эти функции зависят от последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин. Представлены два компьютерных эксперимента с одним и двумя товарами. В статическом случае трансфертные цены и разница между спросом и предложением демонстрируют быструю стабилизацию. В динамическом случае эти же величины колеблются около равновесных значений после короткой переходной фазы. 2,6. Построена и исследована разностная иерархическая игровая модель территориального взаимодействия, модифицирующая неоклассическую модель Солоу с использованием подхода СОЧИ-моделирования. Применяется концепция устойчивого развития активных систем, а именно, Центр следит, чтобы для каждого региона выполнялись определённые условия гомеостаза. Приводится сравнительная характеристика административного и экономического механизмов управления Центра с учётом требований устойчивого развития. Сравнение административного и экономического механизмов управления позволяет сделать следующие выводы: 1) как административный, так и экономический механизм обеспечивает условия живучести для всех регионов; 2) административный механизм приводит к выполнению регионами условий живучести принудительно, а экономический механизм обеспечивает их добровольное выполнение, что более предпочтительно; 3) с другой стороны, применение макрорегионом экономического механизма управления не увеличивает значение его функции выигрыша. Применение же административного механизма может увеличить выигрыш макрорегиона; 4) реализация экономического механизма стимулирования коллективного развития основана на добровольном участии каждого региона, предполагающего понимание собственной выгоды. Для этого, например, на уровне макрорегиона может быть разработана целевая программа, принятая совместным соглашением субъектов, условием участия в которой является выполнение расчетных показателей инвестиций в совместную деятельность. Выполнение такой программы развития должно быть основано на субсидиарном интересе участников, выражающемся в совместных инвестиционных проектах и партнёрских производственных программах. Центр может выполнять лишь координирующую и посредническую функции; 5) макрорегион может сочетать административный и экономический механизмы, если у него есть требуемые полномочия и возможности. Для СОЧИ-моделей в маркетинговых сетях получены следующие результаты: 1) все агенты влияния одинаково ценят коллективное мнение базовых агентов о реализуемой системой продукции; 2) со временем ценность мнения базовых агентов для агентов влияния ослабевает; 3) со временем агент влияния всё меньше и меньше ресурсов готов выделять на общие цели; 4) агент влияния готов потратить на общие цели меньше средств, чем готов выделить ему на это Центр. Центр, предвидя это, уменьшает количество выделенных ресурсов агенту влияния; 5) со временем Центр готов выделять всё меньше и меньше ресурсов агентам влияния на общие цели; 6) ценность коллективного мнения всех базовых агентов для Центра ниже, чем ценность коллективного мнения всех базовых агентов для агентов влияния; 7) ценность коллективного мнения всех базовых агентов как для Центра, так и для агентов влияния убывает со временем; 8) учитывая вид функции ценности мнения базового агента, можно сделать вывод, что неравенство нехватки ресурсов со временем перестаёт выполняться; 9) возможен только один переход по времени между ситуациями, когда ресурсов Центру хватает и когда не хватает, причём этот переход идёт от момента, когда их не хватает, к моменту, когда их хватает. Значит, со временем требуется всё меньше ресурсов на создание требуемого мнения базовых агентов; 10) существует хотя бы один момент времени, при котором ресурсов хватает; 11) количество ресурсов, выделяемых Центром для агентов влияния в случае агентов, солидарных с ним, больше, чем в случае независимых агентов; 12) ценность коллективного мнения базовых агентов для Центра ниже в случае солидарного агента влияния с Центром, чем для независимых агентов. Найден объём средств, который фирмы должны тратить на маркетинг при достаточности и нехватке ресурсов. 3,5. Изучена задача вычисления потерь, связанных с выходом диффузионного процесса из полосы, и предложен вычислительный метод Монте-Карло её решения. В методе используются два генератора случайных чисел. С помощью первого генератора осуществляется случайное разбиение времени пассажами абсолютной величины винеровского процесса, с помощью второго строится случайное блуждание с радемахеровским шагом. Метод применён для управления процессом Орнштейна-Уленбека, в связи с задачей о гомеостазе в стохастической постановке. Методы машинного обучения применены для вычисления равновесия Штакельберга в задаче оптимального распределения риска в системе ПИФ-Клиент с учётом устойчивого развития системы. 4. Экспериментально доказана возможность применения метода качественно репрезентативных сценариев имитационного моделирования (КРС ИМ) при исследовании иерархически организованных систем управления. Показана возможность применения метода КРС ИМ при построении равновесий Нэша в игре ведомых игроков, а также в иерархической игре ведущий – ведомые игроки для построения равновесия в играх Гермейера Г1 и Г2 (прямых и обратных играх Штакельберга). Предложена и программно реализована модификация метода КРС ИМ в случае описания динамики системы уравнениями в частных производных с учётом неоднородности по двум или трём пространственным переменным. Предложен и программно реализован итеративный вариант метода КРС ИМ, который позволяет увеличивать точность построения равновесий Нэша и Штакельберга. Метод КРС ИМ и указанные его модификации апробированы при построении равновесий Нэша и Штакельберга с обратной связью по управлению и без неё в двухуровневых иерархически организованных системах управления: 1) внедрением инноваций в университетах при разработке новых уникальных курсов в статическом и динамическом случаях; 2) внедрением инноваций на предприятиях, связанных с разработкой нового и обслуживанием имеющегося программного обеспечения в статическом случае; 3) качеством речных вод в статическом и динамических случаях с учётом пространственной неоднородности речной системы по одной, двум и трём пространственным переменным: 4) бизнес-процессами агентства недвижимости в статическом случае; 5) деятельностью федерального антимонопольного агентства в статическом случае. Также метод КРС ИМ использовался при моделировании методов борьбы с экономической и административной коррупцией при попустительстве и вымогательстве. На основе проведённых численных экспериментов был сделан вывод о возможности применения метода КРС ИМ для исследования иерархически организованных активных систем управления. 7. Исследована одношаговая задача оптимального инвестирования, в которой инвестор выбирает портфель, т.е. доли капитала, инвестируемые в d рисковых активов, на основе n наблюдений за их возвратами. Получены оценки разности между оптимальным значением полезности и истинной полезностью эмпирически оптимального портфеля (ошибки оценивания), а также разности между эмпирической и истинной полезностями такого портфеля (ошибки обобщения). Для классической задачи оптимизации полезности указанные оценки получены в предположении, что доходности принадлежат одному из пространств L^p или пространствам Орлича, содержащим субгауссовские и субэкспоненциальные случайные величины. Относительно функций полезности предполагается, что они непрерывны по Липшицу или по Гёльдеру. Для вогнутых полезностей аналогичные оценки установлены как для эмпирически оптимальных портфелей, так и для портфелей, построенных с помощью алгоритма экспоненциированного градиента. Для задачи максимизации относительной полезности аналогичные оценки установлены при единственном предположении о независимости и одинаковой распределённости процентных ставок. Случаи липшицевых и гёльдеровских функций полезности изучаются отдельно. В обоих случаях рассматривается радемахеровская сложность класса функций относительной полезности, параметризованных весами портфелей. Полученные оценки ожидаемых ошибок оценивания и обобщения непосредственно приводят к оценкам полезности с высокой вероятностью через неравенства концентрации. Установленные оценки имеют порядок 1/n^{1/2} и зависят только от функции полезности, числа активов и длины истории. Для вогнутых функций полезности аналогичные границы получены для портфелей, построенных с помощью алгоритма экспоненциированного градиента. Для изучения свойств риска и обобщения эмпирически оптимальных портфелей проведены статистические эксперименты с искусственными и реальными данными. Получен алгоритм вычисления оптимального робастного хеджа. Для обеспечения устойчивости решения по отношению к возможным изменениям параметров модели была использована обобщённая модель Кокса-Росса-Рубинштейна, в которой параметры модели заменены на доверительные интервалы их возможных значений. Предложено решение задачи квантильного хеджирования для моделей с разладкой с целью обеспечить устойчивое функционирование портфеля в случайной среде. При этом использован байесовский метод оценки разладки моментом остановки. Предложен метод вычисления эллипсоида минимального объёма, содержащего заданное число элементов выборки. Метод использован для вычисления портфеля инвестиций с гарантированной доходностью при заданной доверительной вероятности. В новом методе нет ограничений на законы распределения вектора доходностей рисковых активов. Опубликовано 8 статей в изданиях Web of Science/Scopus. Результаты работ по проекту представлены в 17 докладах на международных и всероссийских конференциях (в т.ч. 4 пленарных).