Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Тема 1 Для зарождающейся трехмерной гидродинамической турбулентности исследованы поведение структурных функций поля скорости и зависимость функции распределения от модуля завихренности. Для турбулентных состояний с большим числом структур блинного типа, когда спектр энергии имеет скейлинг, близкий к колмогоровскому, продольная структурная функция третьего порядка, несмотря на анизотропию, растет линейно с расстоянием, как и для закона 4/5 Колмогорова для изотропной стационарной турбулентности. Распределение (пдф) завихренности характеризуется сильно не-рэлеевской формой, что является одной из характеристик перемежаемости турбулентности. Степенной скейлинг для хвоста этого распределения имеет показатель, близкий к 1/2, что указывает на нетривиальную геометрию блинообразных структур завихренности. Разработан программный инструментарий и проведен численный анализ решений уравнений идеальной несжимаемой жидкости при наличии твердой границы на примере двумерных уравнений Буссинеска. Исследованы случаи прямой границы и специальных начальных условий, когда наличие границы эквивалентно наличию зеркальной симметрии относительно некоторой плоскости. Для теоретического понимания структуры областей высокой завихренности предложена упрощенная модель - усовершенствованная форма каскадной модели турбулентности. Сравнение результатов для упрощенной и полной моделей будет использоваться для постановки задачи с твердой границей в более общем случае. Для уравнения Прандтля разработана численная схема для изучения областей высокой завихренности. Проведено пробное численное моделирование уравнения Прандтля, которое показало формирование высоких градиентов скорости на твердой границе. С помощью смешанного лагранжево-эйлерового описания дано точное решение задачи о возникновении коллапса на границе для двумерного невязкого уравнения Прандтля. Показано также, что с помощью данного метода двумерные уравнения Буссинеска допускают частичное интегрирование. На основании симметрий для уравнения Гросса-Питаевского описан разлет в вакуум сверхтекучего ферми газа в так называемом унитарном пределе. Найдено точное квазиклассическое анизотропное автомодельное решение и установлена связь с интегрируемыми уравнениями Ермакова. Данное решение описывает на фоне разлета нелинейные угловые деформации облака ферми газа, наблюдаемые в эксперименте. Тема 2 Изучались глубоководные океанские ветровые волны в проливе для направления ветра, ортогонального к берегу, через точное уравнение Хассельмана. У пролива "диссипативные" берега и отсутствует какое-либо отражение от береговых линий. Мы показываем, что эволюция волновой турбулентности может быть разделена во времени на два различных режима. Во время первого режима волны распространяются вдоль ветра, и ветровое море может быть описано автомодельными решениями уравнения Хассельмана. Второй режим начинается позже по времени, после достаточно значительного накопления энергии волн на подветренной границе. С этого момента начинается формирование ансамбля волн, распространяющихся против ветра. Также начинают появляться ортогональные к ветру волны, распространяющиеся вдоль пролива. Волновая система в конечном итоге достигает асимптотического стационарного состояния во времени, состоящего из двух сосуществующих состояний: первого, автомодельного волнового ансамбля, распространяющегося с ветром, и второго – квазимонохроматических волн, распространяющихся почти ортогонально направлению ветра и проявляющих тенденцию к наклону против ветра под углом 15 градусов ближе к береговой линии, у которой начинает возникать волновая турбулентность. Эти ’вторичные волны’ возникают только в результате интенсивного нелинейного волнового взаимодействия. Суммарная энергия волны превышает ее ожидаемое значение примерно в два раза по отношению к расчетному при отсутствии берегов. Ожидается, что в присутствии отражающих берегов это усиление существенно возрастет. Мы предлагаем назвать это ’вторичный’, лазеро-подобный механизм аббревиатурой NOWA ( Nonlinear Ocean Waves Amplification). Проведено масштабное тестирование разработанного программного кода. Сравнение с имеющимися кодами показало существенные преимущества нового алгоритма по всем основным показателям: точности, быстродействию, использованию вычислительных ресурсов. Существенным преимуществом алгоритма является возможность эффективной параллелизации вычислений. Реализована соответствующая версия программы для многопроцессорныз вычислений. В качестве идеализированной физической задачи было рассмотрена эволюция изотропной пространственно однородной зыби (поверхностные волны в отсутствие накачки и диссипации). С помощью нового алгоритма удалось детализировать начальную стадию развития зыби, приводящую к формированию автомодельной формы спектрального распределения и выходу на автомодельные степенные законы эволюции. Была установлена аномально короткая продолжительность выхода на автомодельный режим за времена существенно меньшие, чем предсказывают стандартные размерностные оценки. Новый алгоритм допускает существенно более высокое спектральное разрешение, что позволяет более детально исследовать установление угловой структуры спектра зыби. Предложена теоретически обоснованная функция диссипации ветрового волнения. Эта функция реализует экспериментально наблюдаемый спектр Филлипса и определяет баланс спектрального потока прямого каскада энергии в высокочастотную область спектра и существенно нелиненой диссипации, зависящей от этого потока. Аналитически показана возможность перехода от слаботурбулентного спектра Колмогорова-Захарова к спектру Филлипса. Поскольку предлагаемая модель опреирует нелокальными характеристиками предложены версии, использующие в качестве основного физического параметра характерную (среднюю либо отвечающую частоте спектрального пика) крутизну волнения. Результаты теории волновой турбулентности были применены к решению актуальной задаче оценки альтиметрических поправок на состояние морской поверхности. Нелинейность поверхностных волн приводит к поправкам, существенно превышающим точность измерений. Практически задача решается разработкой параметрических моделей, связывающих измеряемые параметры с искомыми поправками. Нами предложен подход, основанный на применении аппарата теории размерностей. При этом предлагается дополнительный безразмерный параметр - крутизна волнения, оцениваемая по измерениям альтиметра вдоль траетктории. Теоретический подход был апробирован на данных альтиметров семейства Jason (1,2,3) и SARAL/AltiKa. Тема 3 Для решения прямой задачи рассеяния были опробованы схемы 4-го и 6-го порядков точности на больших (протяженных) стохастических нелинейных волновых полях. Поля моделировались с помощью N-солитонных решений нелинейного уравнения Шредингера с числом солитонов N доходящем до 128. Было обнаружено, что наибольшую трудность представляет идентификация параметров отвечающих за фазы и положения солитонов (нормировочные константы), которые при большом N могут быть определены только с помощью схем высокого порядка. Было показано, что применение схем высокого порядка точности в сочетании с арифметикой произвольной точности позволяет находить данные рассеяния для волновых полей произвольной степени сложности. Построена теоретическая модель спонтанной модуляционной неустойчивости в основе которой лежит концепция солитонного газа описываемого одномерным фокусирующим нелинейным уравнением Шредингера. В предложенной модели солитоны формируют связанное состояние и имеют квазиклассическое распределение амплитуд, случайные фазы и специфическим образом выбранные позиции. Предложенная в точности описывает статистические свойства нелинейных волновых полей возникающих в результате развития спонтанной модуляционной неустойчивости конденсата. При этом изучались такие ключевые статистические характеристики волнового поля как усредненный Фурье-спектр волнового поля, функция плотности вероятности волновых амплитуд и автокорреляционная функция интенсивности. Данный подход открывает новые возможности для исследования статистики сильно нелинейных волновых полей. Тема 4 Показано существование новых интегралов движения для гидродинамики жидкости со свободной границей. Эти интегралы тесно связаны с существованием решений с полюсами первого и второго порядков как для z'(w), так и для Π'(w): вычеты z'(w) являются интегралами движения, в то время как вычеты Π'(w) являются линейными функциями времени для ненулевой гравитации. Вычеты z'(w) в различных точках коммутируют друг с другом в смысле Гамильтоновой динамики. Это это является высомым аргументом в поддержку гипотезы о полной интегрируемости гидродинамики со свободной поверхностью в глубокой воде. Кроме того мы предложили рассмотривать аналитическое продолжение динамики жидкости со свободной границей вне физической жидкости как фантомную гидродинамику на многослойной Римановой поверхности. Эта фантомная гидродинамика допускает обобщенную теорему Кельвина. Мы ожидаем, что в целом количество листов будет бесконечным с общими решениями, включающими полюса и корневые точки ветвления (степени ½) в нескольких листах. Результаты опубликованы в Journal of Fluid Mechanics. В рамках системы суперкомпактных уравнений для одномерных волн, распространяющихся в обоих направлениях, численно исследована задача о модуляционной неустойчивости стоячих волн. Показано формирование на поверхности взаимодействующих когерентных структур, распространяющихся в противоположных направлениях фильм с динамикой поверхности, который можно найти по ссылке: http://kachulin.itp.ac.ru/SSCEq/SSCEq_StandWave_surface.mp4). В системе двух уравнений типа НУШ, описывающей динамику слабо модулированных волн, бегущих в противоположных направлениях найдены точные решения в виде нелинейных стоячих волн. Изучена динамика найденных решений в виде стоячих волн в системе двух суперкомпактных уравнений. Фильм с динамикой свободной поверхности, можно найти по ссылке: http://kachulin.itp.ac.ru/SSCEq/SSCEq_NonLinStandWave_surface.mp4. На больших временах вследствие развития модуляционной неустойчивости гребень стоячей волны теряет гладкость (фильмы с динамикой поверхности и спектра можно найти по ссылкам: http://kachulin.itp.ac.ru/SSCEq/SSCEq_NonLinStandWave_surface_detailed.mp4 и http://kachulin.itp.ac.ru/SSCEq/SSCEq_NonLinStandWave_spectrum.mp4. С использованием гамильтонова формализма и теория канонических преобразований построена модель динамики двумерных волн на поверхности трехмерной жидкости. Найдено каноническое преобразование, позволяющее удалить трехволновые взаимодействия и упростить члены четвертого порядка в гамильтониане. Это позволяет записать динамическое уравнение в x-y-пространстве, что упрощает его численное моделирование Численно и аналитически исследована задача о модуляционной неустойчивости стоячих волн, возмущенных как в продольном, так и в поперечном направлениях. Определены границы области волновых векторов неустойчивых возмущений. Обнаружено, что в отличии от бегущих в одном направлении плоских волн, стоячие волны являются неустойчивыми относительно поперечных возмущений Численно исследована задача о динамике бегущих в одном направлении бризеров, возмущенных в поперечном направлении. Фильмы с динамикой поверхности и спектра, которые можно найти по ссылкам: http://kachulin.itp.ac.ru/2DZEq/2DZEq_pertubed_breather_surface_3d_map_mf.avi, http://kachulin.itp.ac.ru/2DZEq/2DZEq_perturbed_breather_surface_3d.avi и http://kachulin.itp.ac.ru/2DZEq/2DZEq_perturbed_breather_spectrum.avi).

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Рассмотрен вопрос о магнитном коллапсе – возможном процессе возникновения особенности магнитного поля за конечное время в рамках идеальной магнитной гидродинамики для несжимаемых жидкостей. Данный процесс важен с точки зрения различных астрофизических приложений, в частности как механизм формирования магнитных филаментов в конвективной зоне Солнца. Возможность коллапса связана со сжимаемостью непрерывно распределенных магнитных силовых линий. Известный пример формирования магнитных филаментов в приближении кинематического динамо с заданным полем скорости, рассмотренный впервые Паркером в 1963 году, свидетельствует скорее о том, что нарастание магнитного поля носит экспоненциальный во времени характер. Нами показано, что благодаря вмороженности в случае кинематического приближения для уравнения индукции возникновение филаментов происходит в областях с гиперболическим профилем скорости с экспоненциальным ростом во времени. Численный эксперимент для системы конвективных валов полностью подтверждает результаты теории. При учете конечной магнитной вязкости этот рост прекращается на уровне B0*Re_m^-1/2, где B0 – это начальное магнитное поле, а Re_m – магнитное число Рейнольдса. Для конвективной зоны Солнца эта величина достигает 1 kG и более. Выяснено, что направление магнитных филаментов и их положение коррелируют с направлением нисходящих потоков и сосредоточено на интерфейсах между конвективными ячейками, что согласуется с многочисленными наблюдениями, в частности с данными миссии SOHO. Численно исследован процесс изотропизации двумерной гидродинамической турбулентности при больших числах Рейнольдса в широком диапазоне пространственного разрешения для численных сеток от 256х256 до 16384х16384. Найдены временные зависимости структурных функций скорости и плотности распределения вероятностей (PDF) завихренности и ее градиента (di-vorticity). Показано, что на этапе изотропизации турбулентности эти зависимости хорошо согласуются с теоретическими результатами, в частности для хвоста PDF. В частности найдено, что структурная функция скорости третьего порядка зависит от расстояния между точками степенным образом, что совпадает с изотропным случаем. Анизотропия, обусловленная джетами в k-пространстве, со временем исчезает и соответственно зависимость приближается к изотропному пределу. Выяснено, что осреднение по всем возможным направлениям и использование разрешения не менее 2048х2048 дает возможность получить более точное согласие численных и аналитических результатов для структурных функций скорости. Разработан численный код для моделирования возможного коллапса на границе для двумерных течений невязких жидкостей с ненулевым градиентом скорости на границе, в том числе для течений между двумя плоскостями; проведены первые численные эксперименты. Рассмотрено расширение сильно взаимодействующего сверхтекучего ферми-газа в вакуум при условии отсутствия потенциала захвата, в так называемом унитарном режиме. При низких температурах, такое расширение можно описать в рамках уравнения Гросса-Питаевского. Из-за зависимости химического потенциала от плотности, уравнение Гросса-Питаевского имеет дополнительные симметрии, результатом чего является существование теоремы вириала, связывающей средний размер газового облака и его гамильтониана. Асимптотически, на больших временах, размер газового облака растет со временем линейно. Нами детально изучена данная асимптотика, установлено идеальное соответствие между квазиклассическим автомодельным решением и асимптотическим расширением невзаимодействующего газа. Сшивка этих режимов регулируется теоремой вириала, полученной впервые для стационарной самофокусировки света в средах с кубической нелинейностью за счет эффекта Керра. В квазиклассическом пределе уравнение Гросса-Питаевского в унитарном пределе совпадает с трехмерной гидродинамикой для идеального одноатомного газа с gamma = 5/3. Показано, что автомодельное решение этих уравнений описывает на фоне расширения газа угловые деформации его формы в рамках системы уравнений типа Ермакова-Рэя-Рейда. Получен ответ на вопрос о возможности достижения асимптотического стационарного состояния волновой турбулентности поверхностных волн в присутствии постоянного ветра для случая берегов с отражением, которое уже наблюдалось в случае полного поглощения волн на берегах пролива при нулевом коэффициенте отражения. Неограниченный рост полной энергии отсутствует. Найдено качественное сходство эволюции волновой системы в случае 0% и 50% отражения. Обнаружено более чем трехкратное усиление амплитуд волн, излучаемых поперек ветра для случая с отражением от границ по сравнению со случаем без отражения. Найдена дополнительная компонента спектра, симметричная к основной компоненте спектра волн из-за отражения от берега. На основе сделанных экспериментов сделан вывод об аналогии изучаемого процесса с лазерным резонатором, то есть о существовании нелинейного лазеро-подобного излучения океанских волн. Был проведен контролируемый синтез волновых полей плотного солитонного газа с помощью инструментов нелинейной спектральной теории (метода обратной задачи рассеяния) в рамках модели нелинейного уравнения Шредингера. Данный подход позволил найти параметры солитонного газа, подходящие для экспериментов по распространению гравитационных волн на глубокой воде. Разработан программный инструментарий для изучения подхода “выращивание интегрируемой турбулентности”. Показано, что такой подход после выключения накачки в произвольное время позволяет получить стационарные состояния интегрируемой турбулентности. Изучена зависимость статистики выращенной турбулентности от начальных условий. Проведено исследование и сравнение солитонной турбулентности, возникающей в результате модуляционной неустойчивости плоских волн в трех нелинейных моделях поверхностных гравитационных волн: нелинейном уравнении Шредингера, суперкомпактном уравнении Захарова и наиболее полной системе уравнений для потенциальных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, записанных в конформных переменных. Исследованы потери энергии ветровыми волнами из-за их опрокидывания при больших значениях полной энергии и средней крутизны волн в модели суперкомпактного уравнения Захарова и в точных уравнениях. Выявлено, что в обеих моделях волновая система теряет энергию очень медленно – не более 50% в течение нескольких дней. Разработана модель динамики трехмерной жидкости в резервуарах на основе двумерного уравнения Захарова. Полученная модель позволяет численно исследовать эволюцию двумерных поверхностей жидкости в открытых и замкнутых резервуарах с пологими берегами, а также с гладкими вертикальными стенками. Проведены численные эксперименты по моделированию динамики стоячих волн, возмущенных в продольном и поперечном направлениях, в полностью замкнутых резервуарах, а также в каналах с отражающими стенками. С помощью гамильтоновского формализма и теории канонических преобразований получена каноническая система двух суперкомпактных уравнений, описывающих динамику и взаимодействие одномерных волн, распространяющихся в обеих направлениях. При выводе использовалась специфика четырехволновых взаимодействий волн на воде, позволившая описать эволюцию этих двух групп в виде системы двух уравнений. Важным следствием такого разложения является сохранение числа волн в каждой отдельной группе. Это два новых интеграла движения. Исследована задача о взаимодействии двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Все запланированные работы на 2020 год работы выполнены. Результаты опубликованы в 15-ти статьях в рецензируемых научных журналах, из них 4 статьи в журналах входящих в Q1, см. список публикаций по проекту.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
ТЕМА 1 - Статистический анализ данных более чем 50 численных экспериментов по зарождению развитой гидродинамической турбулентности в рамках трехмерных уравнений Эйлера показал, что главным фактором появления колмогоровского спектра является угловое перекрытие спектров когерентных структур блинного типа в виде джетов, растущих экспоненциально со временем. - Для невязкого трехмерного уравнения Прандтля показана возможность появления особенности тензора градиента скорости из-за опрокидывания проскальзующего течения вдоль плоской границы, в том числе завихренности. - Области высокой завихренности в виде блинов, возникающие при зарождении развитой гидродинамической турбулентности при числах Рейнольдса Re>>1, обладают тонкой структурой, состоящей из трех вихревых слоев. Такая слоеная структура вместе с законом автомодельной эволюции блина препятствуют развитию неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. - Задача о разлете в вакуум квантовых и классических газов с химическим потенциалом, зависящим от плотности степенным образом с показателем 2/D, где D - размерность пространства, допускает эффективное исследование на основе симметрий уравнения Гросса-Питаевского (УГП) и уравнений газовой динамики (УГД). Данная симметрия имеет место для газовых бозе-конденсатов (D=2), для конденсатов взаимодействующего ферми-газа в унитарном пределе (D=3) и для классических газов с показателем адиабаты 5/3. В квазиклассическом пределе УГП совпадают с УГД идеального газа с показателем адиабаты 1+2/D и имеют точные автомодельные решения, описывающие угловые деформации расширяющегося газового облака. Такого рода формы расширяющегося облака наблюдаются в экспериментах при воздействии мощного лазерного излучения на вещество и при разлете квантовых газов в вакуум. ТЕМА 2 На основании численного моделирования уравнения Хассельмана с учетом адвекции найдено что: -Для пролива конечной ширины c береговыми линиями без отражения, в стационарном случае, доля энергии ветра, рассеиваемая через обрушение волн в открытом море, составляет около 30%, в то время как доля энергии, рассеиваемая на береговой линии равна 70%; - Ситуация наклонного распространения ветра по отношению к береговой линии в проливе для умеренных углов сохраняет качественные характеристики ситуации с нулевым углом распространения наклона ветра, что позволяет обобщить на нее сделанные ранее выводы; - Показано отсутствие универсальности модели ST6, рекламирующейся за рубежом как важнейшее теоретическое и экспериментальное достижение нескольких исследовательских групп в области создания моделей ветровой накачки за последние 20 лет; - Понята физическая картина члена нелинейного взаимодействия Snl, связанная с поперечным к ветру распространением волн в проливах. Найдена аналогия полученных параметров ветрового волнения с экспериментальными наблюдениями. Сделано заключение о возможности формировании ситуации, аналогичной «ограниченному разгону волн в присутствии берега» в открытом океане без берегов, и, в этой связи, о возможности формирования двух различных автомодельных решений в открытом океане, соответствующих однородному океану и ограниченному разгону волн; ТЕМА 3 С помощью метода “одевания” получены точные решения, описывающие резонансное взаимодействие векторных солитонов (бризеров) на неустойчивом постоянном фоне (на фоне конденсата) в рамках фокусирующей системы Манакова. Под резонансным понимается трехбризерный процесс, т.е. слияние двух солитонов в один, либо распад одного солитона на два. Показано, что распад, либо слияние происходит таким образом, что для частот и волновых чисел взаимодействующих солитонов выполняются стандартные условия резонанса. Исследованы основные статистические характеристики волнового поля для различных стационарных спектров полученных в результате “выращивания” интегрируемой турбулентности. Предложена модификация выбора тау-функции в методе построения точных решений уравнения Кадомцева-Петвиашвилли I. Описаны различные сценарии взаимодействия цепочек лампов, в частности их распад и слияние. В рамках метода обратной задачи рассеяния для модели НУШ построена солитонная модель конденсата. Показано, что при увеличении числа солитонов, предложенная модель асимптотически стремится к конденсату. Построены мульти-солитонные решения НУШ с рекордным количеством солитонов (1024 взаимодействующих солитона). ТЕМА 4 Разработан численный алгоритм, позволяющий с помощью процедуры фильтрации излучения находить связанные периодические во времени когерентные объекты (би-бризеры) на поверхности глубокой воды в рамках суперкомпактного уравнения Захарова и в полной системе уравнений для потенциальных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Данные когерентные структуры напоминают хорошо известные би-солитонные решения нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что в обеих нелинейных моделях для волн на глубокой воде после выключения затухания би-бризеры стабильно распространяются на поверхности жидкости на протяжении сотен тысяч характерных волновых периодов без потери энергии на излучение. Получена гамильтонова система суперкомпактных уравнений для двумерных встречных волн, распространяющихся на поверхности трёхмерной идеальной глубокой жидкости. В рамках данной модели численно исследована задача о модуляционной неустойчивости для монохроматической и стоячей волн, а также задача о резонансных взаимодействиях таких волн. Гидродинамика 2D жидкости со свободной границей в конформных переменных R, V. Показано, что динамика свободной границы может быть описана движением сингулярностей двух аналитических функций, связанных с конформным преобразованием и потенциалам скорости жидкости. Эти сингулярности - корневые разрезы конечной длины. Получены точные уравнения динамики точек ветвления и скачка на разрезе. Проведено численное моделирование динамики разреза, приводящей к образованию особенности на границе жидкости. Рассмотрено приближение короткого разреза для описания динамики, когда малым параметром является отношение длины разреза к расстоянию от центра разреза до действительной оси (образ свободной границы). Динамика жидкости в этом приближении сводится к комплексному уравнению Хопфа.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
ТЕМА 1 -Развита новая концепция формирования больших градиентов скорости (взрывного типа или с экспоненциальным ростом) для проскальзывающих течений в несжимаемых невязких жидкостях за счет границы. Граница вносит элемент сжимаемости для этих течений, что является причиной образования сингулярностей. Для двумерных и трехмерных невязких уравнений Прандтля особенности формируются для градиента скорости на стенке со скользящими граничными условиями за счет опрокидывания. Для двумерного течения Прандтля градиент завихренности на границе также становится сингулярным за конечное время. Для трехмерных проскальзывающих течений Прандтля сингулярной на границе становится сама завихренность и одновременно происходит формирование джета в препендикулярном направлении к границе. Опрокидывание проскальзывающих течений в трехмерном случае есть один из механизмов образования торнадо. -Для двумерных невязких течений в канале численно установлено, что максимальный градиент скорости экспоненциально растет на жесткой границе при одновременном росте градиента завихренности по дважды экспоненциальному закону. Этот процесс есть формирование складки со степенной зависимостью колмогоровского типа между максимальными градиентом скорости и его шириной. -Численно установлено, что для 3D уравнений Эйлера для начальных условий с нетривиальным значением интеграла заузленности вместо коллапса наблюдается экспоненциальный рост завихренности в вихревых структурах блинного типа. -Показано численно, что рост магнитных филаментах в конвективной зоне Солнца не вносит существенных изменений в конвективное течение за счет нарастающего магнитного поля. -Впервые проведено прямое численное моделирование трехмерной акустической турбулентности в среде со слабой положительной дисперсией. В длинноволновой области k- пространства формируются джеты в виде узких конусов, которые уширяются при больших k и соответственно распределение стремится к изотропному. В этой области спектр турбулентности имеет степенной характер с показателем, близким к -2/3, что соответствует спектру слабой акустической турбулентности Захарова-Сагдеева. -В рамках квазиклассического приближения, с помощью вариационного подхода исследован коллапс звуковых волн. Найдена иерархия автомодельных коллапсов. Одна граница этого семейства соответствует сильному коллапсу, другая граница иерархии описывает режим быстрого слабого коллапса, отвечающего автомодельному решению уравнения КП. ТЕМА 2 Различные средства и методы измерений по-разному описывают предмет исследования. Необходимость получения объективных характеристик возникает, в частности, в задаче выделения систем морского волнения и идентификации источников этих систем. В проекте эта проблема была рассмотрена путем сопоставления данных спутниковых измерений (китайско-французская миссия CFOSAT) и данных попутных судовых измерений. Было показано, что эти данные количественно близки только для первой системы волн, связанных с ветровым волнением и оказываются качественно различными для морской зыби. Этот результат требует дальнейшего уточнения в контексте моделирования и мониторинга морского волнения. ТЕМА 3 Развит подход “выращивание интегрируемой турбулентности”, который позволяет изучать новые статистически стационарные состояния интегрируемой турбулентности. В рамках данного подхода численно рассчитывается эволюция начального шума в рамках модели фокусирующего НУШ со слабой накачкой. В процессе накачки волновое поле эволюционирует между различными статистически стационарными состояниями, проходя путь от слабо нелинейной к сильно нелинейной системе. По достижении желаемого уровня амплитуды накачка отключается и полученное состояние исследуется с помощью стандартных статистических подходов, а также с помощью метода обратной задачи рассеяния. Получены и исследованы различные статистически стационарные состояния интегрируемой турбулентности из Гауссова и супер-Гауссова шума. Расчет плотности вероятности волновых амплитуд и других статистических характеристик волновых полей показал, что на финальных стадиях накачки система характеризуется большой вероятностью формирования волн-убийц. Кроме того обнаружено, что турбулентность выращенная из супер-Гауссова шума имеет схожие характеристики с нелинейной стадией модуляционной неустойчивости кноидальной волны. Получены аналитические оценки для параметров волновой системы при которых накачка является строго адиабатической. С помощью численного решения прямой задачи рассеяния для системы Захарова-Шабата показано, что в результате выращивания интегрируемой турбулентности формируется солитонный газ, в котором фазы солитонов случайны. Для адиабатического режима накачки было обнаружено, что собственные числа солитонов в процессе накачки выстраиваются вдоль мнимой оси, так что финальное состояние приставляет собой солитонный газ в связанном состоянии. Для неадиабатических режимов накачки обнаружено, что солитонный газ характеризуется существенным разбросом скоростей солитонов, кроме того между отдельными солитонами появляются редкие корреляции фазы. Представлены новые сценарии резонансного взаимодействия векторных бризеров системы Манакова. Получены асимптотические выражения для пространственно-фазовых сдвигов приобретаемых векторными бризерами в процессе столкновений. Установлено, что векторные бризеры типа I соответствуют неустойчивой ветке закона дисперсии фокусирующей системы Манакова фоне конденсата, а бризеры типов II и III – устойчивой ветке. Таким образом показано, что только векторные бризеры типа I могут участвовать в развитии модуляционной неустойчивости векторного (поляризованного) конденсата. ТЕМА 4 С использованием прямой и обратной задачи рассеяния были исследованы связанные периодические во времени когерентные структуры — би-бризеры суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова. С помощью прямой задачи рассеяния был получен набор данных рассеяния, характеризующий би-бризер в каждый момент времени. Показано, что собственные значения бризеров совершают периодическое движение по устойчивым замкнутым траекториям, в отличии от собственных значений би-солитонного решения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), которые не меняются с течением времени. Применение обратной задачи рассеяния позволило восстановить солитонную часть волнового поля би-бризера и провести сравнение его профиля с профилем соответствующего ему би-солитона НУШ, а также оценить вклад непрерывного спектра в волновое поле би-бризера. Показано, что в момент времени, когда амплитуда би-бризера минимальна, вклад непрерывного спектра также является минимальным, а профили би-солитона НУШ и самого би-бризера практически не отличимы. Наибольшее различие между профилями, а также наибольший вклад непрерывного спектра наблюдаются в противоположной фазе — когда амплитуда би-бризера максимальна. Проведен анализ динамики стоячих волн в канале с гладкими вертикальными стенками в рамках динамического уравнения для двумерных волн, полученного в 2020 году, а также системы двумерных суперкомпактных уравнений, обобщённой из соответствующей одномерной системы в 2021 году. Показано, что в обеих моделях динамика практически не отличима. Это позволяет заключить, что обобщённая система суперкомпактных уравнений, более эффективна с точки зрения вычислительных затрат и может успешно применяться для описания динамики двумерных волн на поверхности трёхмерной жидкости. Исследовано двумерное потенциальное течение идеальной жидкости со свободной границей с использованием теории конформных преобразований. Изучено конкретное решение уравнения Эйлера, имеющее две точки ветвления (корневой разрез). Показано, что аналитическое продолжение комплексного потенциала скорости определяет поток во всей комплексной плоскости, исключая вертикальный разрез между точками ветвления. Расширенная область называется “виртуальной” жидкостью, и она содержит вихревой слой динамика которого эквивалентна уравнениям движения, заданным на свободной границе.