Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Проект направлен на развитие спектральной теории дифференциальных операторов, в частности, теории обратных задач спектрального анализа. Такие задачи состоят в восстановлении дифференциальных операторов по спектральным характеристикам. Проект посвящен обратной задаче для оператора Штурма-Лиувилля на компактном графе-звезде. Задача состоит в восстановлении потенциалов на ребрах графа и коэффициента в условии склейки по спектральным данным - собственным значениям и весовым матрицам. Основные цели проекта - получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи (иначе говоря, характеризацию спектральных данных оператора), доказать локальную разрешимость и устойчивость обратной задачи. В первый год выполнения проекта получены следующие научные результаты: 1. Изучены асимптотические, аналитические и структурные свойства спектральных характеристик матричного оператора Штурма-Лиувилля с общим самосопряженным краевым условием, представляющего собой обобщение оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде. Получены асимптотические формулы для собственных значений и для сумм весовых матриц, соответствующих разбиению собственных значений на группы по асимптотике. Доказано, что весовые матрицы являются неотрицательно определенными и их ранги совпадают с кратностями соответствующих собственных значений. Доказана безусловная базисность специальной системы вектор-функций, построенной по собственным значениям и столбцам весовых матриц. 2. Разработан конструктивный алгоритм решения обратной задачи для матричного оператора Штурма-Лиувилля с общим самосопряженным краевым условием и, в частности, для оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде. Обоснована корректность алгоритма. При помощи контурного интегрирования в комплексной плоскости спектрального параметра нелинейная обратная задача сведена к системе линейных уравнений. Полученная система преобразована в линейное уравнение в специальном банаховом пространстве бесконечных последовательностей матриц. Изучены свойства оператора, участвующего в основном уравнении. Предъявлен обратный оператор, и доказана однозначная разрешимость основного уравнения по необходимости. 3. Изучена краевая задача для уравнения Штурма-Лиувилля на структуре из точек и отрезков, представляющей собой граф с последовательно соединенными ребрами и условиями склейки специального вида с нелинейной зависимостью от спектрального параметра. Исследованы аналитические, асимптотические и структурные свойства спектральных характеристик этой задачи. Даны постановки обратных задач по спектральным данным, по двум спектрам и по функции Вейля. Доказана теорема единственности решения этих обратных задач. Таким образом, запланированные на первый год реализации проекта задачи выполнены в полном объеме. Получены все необходимые результаты, которые потребуются на следующем этапе работы. Все результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню, опережая близкие по тематике зарубежные разработки. Результаты опубликованы в 5 научных статьях, из которых 3 статьи опубликованы в журналах, индексируемых в базах WOS и Scopus, все 5 статей опубликованы в изданиях, входящих в РИНЦ. Результаты проекта докладывались на международной конференции и научных семинарах. Ниже приведен список основных публикаций по проекту. 1. Bondarenko N.P. Spectral analysis of the matrix Sturm-Liouville operator, Boundary Value Problems (2019), 2019:178. DOI: https://doi.org/10.1186/s13661-019-1292-z WOS Q1, Scopus Q3, импакт-фактор: 1.637 2. Bondarenko N.P. Constructive solution of the inverse spectral problem for the matrix Sturm-Liouville operator, Inverse Problems in Science and Engineering (2020), published online. DOI: https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1729760, препринт в свободном доступе: https://arxiv.org/abs/2003.01796 WOS Q2, Scopus Q1, импакт-фактор: 1.464 3. Kuznetsova M.A. A Uniqueness Theorem on Inverse Spectral Problems for the Sturm–Liouville Differential Operators on Time Scales, Results in Mathematics (2020), Volume 75, Issue 2, Article Number 44, pp. 1-23. DOI: https://doi.org/10.1007/s00025-020-1171-z, препринт в свободном доступе: https://arxiv.org/abs/1910.00809 WOS Q2, Scopus Q2, импакт-фактор: 0.873

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Проект направлен на развитие спектральной теории дифференциальных операторов, в частности, теории обратных задач спектрального анализа. Такие задачи состоят в восстановлении дифференциальных операторов по спектральным характеристикам. Проект посвящен обратной задаче для оператора Штурма-Лиувилля на компактном графе-звезде. Задача состоит в восстановлении потенциалов на ребрах графа и коэффициента в условии склейки по спектральным данным - собственным значениям и весовым матрицам. Основные цели проекта - получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи (иначе говоря, характеризацию спектральных данных оператора), доказать локальную разрешимость и устойчивость обратной задачи. Во второй год выполнения проекта получены следующие научные результаты: 1. Дана характеризация спектральных данных оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде, а также его обобщения - матричного оператора Штурма-Лиувилля с самосопряженным краевым условием общего вида в одном из концов интервала. Иными словами, получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратных спектральных задач для этих операторов. Оба оператора имеют регулярные потенциалы из класса функций суммируемых с квадратом. Для алгоритма решения обратной задачи, разработанного на первом этапе выполнения проекта, доказана его корректность по достаточности. В частности, доказана однозначная разрешимость основного уравнения, и показано, что спектральные данные построенного по алгоритму оператора совпадают с исходными данными обратной задачи. 2. Получены локальная разрешимость и устойчивость обратных задач для оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде и для его обобщения - матричного оператора Штурма-Лиувилля с самосопряженным краевым условием общего вида в одном из концов интервала с регулярными потенциалами. Показано, что величины, полученные в результате достаточно малого возмущения спектральных данных фиксированного оператора, также будут спектральными данными некоторого оператора. При этом учтен случай возмущения кратных собственных значений, при котором они распадаются. Получены оценки возмущения потенциала и коэффициента краевого условия в зависимости от величины возмущения спектральных данных. 3. Метод спектральных отображений для решения обратных спектральных задач перенесен на оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом из класса функций-распределений. При помощи этого метода получены теорема единственности и конструктивное решение обратной спектральной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости в самосопряженном и несамосопряженном случаях. 4. Исследованы асимптотические и структурные свойства спектральных данных матричного оператора Штурма-Лиувилля с самосопряженными краевыми условиями общего вида в обоих концах интервала и сингулярным потенциалом. Доказана единственность восстановления этого оператора по его спектральным данным. 5. Получено конструктивное решение обратной задачи Штурма-Лиувилля на структуре из точек и отрезков, представляющей собой граф с последовательно соединенными ребрами и условиями склейки специального вида с нелинейной зависимостью от спектрального параметра. Таким образом, запланированные на второй год реализации проекта задачи выполнены в полном объеме. Получены все запланированные и некоторые дополнительные научные результаты. Все результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню, опережая близкие по тематике зарубежные разработки. Полученные результаты опубликованы в 8 научных статьях, из которых 4 статьи опубликованы в журналах, индексируемых в базах WOS и Scopus. Все 8 статей опубликованы в изданиях, входящих в РИНЦ. Результаты проекта докладывались на международных научных конференциях и семинарах. Ниже приведен список основных публикаций по проекту. 1. Bondarenko N.P. Spectral data characterization for the Sturm-Liouville operator on the star-shaped graph, Analysis and Mathematical Physics 10 (2020), Article number: 83. DOI: https://doi.org/10.1007/s13324-020-00430-y, препринт в свободном доступе: https://arxiv.org/abs/2009.02522 WOS Q1, Scopus Q2, импакт-фактор: 2.056 2. Bondarenko N.P. Direct and inverse problems for the matrix Sturm-Liouville operator with general self-adjoint boundary conditions, Mathematical Notes 109 (2021), no. 3, 358-378. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434621030044, препринт в свободном доступе: https://arxiv.org/abs/2006.06533 WOS, Scopus, импакт-фактор: 0.626 3. Bondarenko N.P. Solving an inverse problem for the Sturm-Liouville operator with singular potential by Yurko's method, Tamkang Journal of Mathematics 52 (2021), no. 1, 125-154. DOI: https://doi.org/10.5556/j.tkjm.52.2021.3700 WOS, Scopus 4. Kuznetsova M.A. On recovering the Sturm–Liouville differential operators on time scales, Math. Notes 109 (2021), no. 1, 74-88. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434621010090 WOS, Scopus, импакт-фактор: 0.626