Аннотация результатов, полученных в 2019 году
1) Для трехмерной нейронной модели Хиндмарш-Роуз вблизи бифуркации «катастрофы голубого неба» исследованы механизмы стохастической генерации бёрстов в зоне тонического спайкинга с помощью техники функций стохастической чувствительности, метода доверительных областей в сечениях Пуанкаре и метрики Махаланобиса. Показано, что это явление сопровождается переходом к хаосу. 2) Для четырехмерной нейронной модели Ходжкина-Хаксли дано параметрическое описание явления стохастического возбуждения бёрстовых осцилляций в зоне устойчивых равновесий с привлечением геометрического аппарата многомерных доверительных областей и статистического анализа частотных характеристик. Для анализа этого явления разработан и применен конструктивный геометрический метод главных направлений, учитывающей взаимосвязь стохастической чувствительности аттрактора и его удаленность от сепаратных поверхностей. 3) Для дискретной одномерной нейронной модели Рулькова, задаваемой кусочно-гладким разрывным отображением, дано параметрическое описание результатов воздействия шума на аттракторы в зоне гомоклинических и кризисных бифуркаций. Выявлены вероятностные механизмы индуцированных шумами переходов как между сосуществующими аттракторами, так и между их отдельными частями. Для двумерного варианта этой модели исследованы стохастические переходы от покоя к спайкингу и от спайкинга к стохастическому бёрстингу. Получено параметрическое описание соответствующих изменений вероятностных распределений и статистик межспайковых и межбёрстовых интервалов. 4) Для системы двух связанных нейронов, моделируемых дискретным отображением Рулькова, получено параметрическое описание мультистабильности и возможных переходов между аттракторами в зависимости от структуры и параметров связи. Детально исследованы трансформации: равновесие – цикл, цикл – квазипериодический аттрактор, порядок-хаос, хаос-порядок. 5) Для популяционной модели Базыкина «хищник-жертва», сочетающей стабилизирующие факторы внутривидовой конкуренции каждой популяции и дестабилизирующий фактор насыщения хищника, исследован механизм стохастической возбудимости и генерации стохастических осцилляций смешанных мод. Проведено систематическое сравнение результатов воздействия аддитивных и параметрических шумов. 6) Для стохастического варианта экологической модели Хасселя с Олли эффектом, учитывающей зависимость динамики от численности предыдущих поколений, дано параметрическое описание возможных бифуркаций, приводящих к качественному изменению режимов динамики. Детально изучены механизмы индуцированных шумом экологических сдвигов, связанных с вымиранием и деформацией зон устойчивого существования. 7) Для трехмерной популяционной стохастической модели, учитывающей дополнительное деление на здоровых и инфицированных особей, получена классификация возможных сценариев индуцированного шумом вымирания. Найдены условия, при которых случайные возмущения, вызывая рост доли инфицированных жертв, приводят к вымиранию всей популяции жертв, а вслед за этим и популяции хищников. Показана возможность и другого варианта, когда вымирает хищник, а популяция жертв переходит в устойчивый режим осцилляций здоровых и инфицированных особей. 8) Для двумерной модели Кузнецова, учитывающей взаимодействие популяций иммунных и опухолевых клеток, получено параметрическое описание возможных стохастических переходов между режимами «спящей» и «активной» опухоли. Локализованы параметрические зоны, в которых случайные возмущения могут перевести популяцию опухолевых клеток из «активной» фазы в «спящую» и наоборот спровоцировать обратный переход из «спящей» фазы в «активную». 9) Для задачи управления популяциями с Олли эффектом и запаздыванием был построен конструктивный метод регулирования, позволяющий удерживать стохастически возмущаемую систему в параметрической зоне устойчивого существования, охватывающей регулярные (равновесные, периодические, квазипериодические) и хаотические режимы, и обеспечить должную степень структурной стабилизации, препятствующей вымиранию. Конструктивность результатов продемонстрирована на примере дискретной популяционной модели Рикера. 10) На базе модели Голдбетера, описывающей взаимную динамику субстрата и продукта, получено параметрическое описание кинетических особенностей и стохастических эффектов ферментативных реакций в зоне циклов-канардов. Вблизи этой зоны сверхвысокой чувствительности исследованы вероятностные механизмы расщепления канардовских осцилляций, генерации колебаний смешанных мод и стохастической трансформации регулярной кинетики в хаотическую. 11) Для расширенной модели Голдбетера, дополнительно учитывающей нелинейную рециркуляцию продукта в субстрат, проведен анализ индуцированных шумом переходов в зоне бистабильности. Получено параметрическое описание частотных и амплитудных характеристик кинетических режимов и сценариев их качественных изменений под действием случайных возмущений. 12) Для трехмерной системы Голдбетера, моделирующей кинетическое взаимодействие субстрата и двух продуктов, получено параметрическое описание бифуркаций и наблюдаемых как регулярных, так и хаотических аттракторов. Для зоны сосуществования цикла и хаотического аттрактора проведен компьютерный анализ индуцированных шумом переходов с регулярных аттракторов на хаотические. 13) Для распределенных моделей брюсселятора и Хиггинса в области тьюринговской неустойчивости найдены бифуркационные границы, разделяющие параметрические зоны с пространственными структурами разной модальности. Описаны типы многостадийных переходных процессов, наблюдаемых при генерации аттракторов-паттернов в зоне тьюринговской неустойчивости. Для стохастических вариантов распределенных моделей исследованы индуцированные шумами переходы между пространственными паттернами разной модальности. В условиях мультистабильности обнаружено явление доминирования стохастических паттернов определенной модальности. Описана зависимость модальных и амплитудных характеристик стохастических пространственных структур, генерируемых шумом в зоне тьюринговской устойчивости. 14) Построена математическая теория стохастической чувствительности большеамплитудных осцилляций, генерируемых шумом в зоне устойчивых равновесий возбудимых систем. Для канонической системы Адлера, моделирующей седло-узловую бифуркацию на инвариантной кривой, разработан метод построения доверительных областей, аппроксимирующих распределение случайных состояний в режиме стохастической генерации большеамплитудных осцилляций. 15) Дано параметрическое описание процесса формирования фантомного аттрактора, связанного с локализацией случайных состояний вдали от аттракторов исходной детерминированной системы. Установлена связь такого сдвига вероятностных распределений с важной особенностью фазового портрета - наличием так называемого транзиентного аттрактора. На примере двумерной биохимической модели Голдбетера объяснен механизм стохастической генерации фантомного аттрактора, приводящего к резкому изменению кинетического режима ферментативной реакции. 16) Для системы трех однонаправленно связанных отображений логистического типа, широко используемых в моделировании популяционной динамики, получено параметрическое описание переходов от периодических к квазипериодическим колебаниям и локализованы зоны жесткой седло-узловой бифуркации на инвариантной кривой и мягкой бифуркации Неймарка-Сакера. Обнаружено явление структурной стабилизации корпоративной динамики при увеличении интенсивности случайных возмущений, входящих в параметр связи. 17) Получено теоретическое описание разброса случайных состояний вокруг хаотических аттракторов двумерных дискретных стохастических систем с необратимым отображением. Разработан конструктивный метод аппроксимации дисперсии с привлечением асимптотики, основанной на технике стохастической чувствительности. Эффективность этой новой теории была продемонстрирована для хаотического аттрактора в модели Спротта. 18) В рамках проекта разработаны новые численные методы, алгоритмы и программы по решению задач, связанных с компьютерным моделированием и анализом новых стохастических явлений в нейронных, популяционных и биохимических системах.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
1. Для трехмерной нейронной модели Хиндмарш-Роуз в параметрической зоне бифуркации Лукьянова-Шильникова проведено исследование индуцированных шумом переходов между сосуществующими предельными циклами спайкового и бёрстового типов. Для анализа этого явления был развит теоретический подход, основанный на технике функции стохастической чувствительности и доверительных областей для трехмерных осцилляционных аттракторов. Разработан метод оценки критической интенсивности шума, соответствующей началу стохастических переходов, использующий построенную аппроксимацию сепаратной поверхности, стохастическую чувствительность аттракторов и доверительные области. С помощью метрики Махаланобиса были выявлены вероятностные механизмы когерентного резонанса и переходов от порядка к хаосу. 2. Для трехмерной нейронной модели Хиндмарш-Роуз в параметрической зоне бифуркации Неймарка-Сакера проведен детальный параметрический анализ стохастического явления деформации тороидальных колебаний. Исследованы механизмы стохастической трансформации инвариантного тора канардового типа в тор большой амплитуды, что соответствует индуцированному шумом переходу от амплитудно-модулированной спайковой нейронной активности к бёрстовой. Исследованы явления когерентного резонанса в берстовых режимах и антикогерентного резонанса в спайковых режимах. 3. Для двумерной дискретной нейронной модели Рулькова с разрывным отображением получено параметрическое описание стохастической чувствительности равновесных, периодических и квазипериодических режимов. На основе результатов анализа геометрии доверительных областей, аппроксимирующих разброс случайных состояний, выявлены пространственно-вероятностные механизмы и проведен параметрический анализ вызываемых шумом переходов от покоя к спайкингу и от спайкинга к стохастическому берстингу. 4. Для системы двух связанных нейронных осцилляторов, моделируемых отображениями Рулькова, дано параметрическое описание стохастических бифуркаций и вероятностных механизмов переходов между синфазными и противофазными режимами регулярной и хаотической динамики. 5. Для системы трех связанных нейронов, моделируемых дискретными отображениями Рулькова, получено описание вариантов корпоративного поведения в зависимости от типов изолированных подсистем (равновесных, периодических, хаотических) и величины параметров связи. Проведен параметрический бифуркационный анализ, локализованы и описаны типы бифуркаций, определяющие качественные изменения режимов совместной динамики. Локализованы параметрические зоны, в которых регулярные изолированные нейроны, будучи связанными, демонстрируют хаотическое поведение и наоборот, связанные хаотические нейроны синхронизируются в корпоративный регулярный осцилляционный режим. 6. Для популяционной модели Лесли-Гувера с быстро-медленной динамикой проведен детальный бифуркационный анализ модели с локализацией зоны канардовского взрыва. Получено параметрическое описание стохастической чувствительности аттракторов системы и расположения доверительных областей в до- и надпороговых зонах фазовой плоскости. Получена оценка критической интенсивности шума, генерирующего большеамплитудные спайки в зоне устойчивых равновесий. Дано параметрическое описание зависимости статистик межспайковых интервалов от параметров системы. Для расширенного диффузионного варианта модели Лесли-Гувера с одной пространственной переменной найдена зона тьюринговской неустойчивости, получено описание генерируемых в этой зоне пространственных паттернов и соответствующих переходных процессов. 7. Для стохастического варианта экологической популяционной модели Хасселя с Олли эффектом, учитывающей зависимость динамики от численности предыдущих поколений, дано теоретическое описание и проведен параметрический анализ явления индуцированного шумом вымирания на основе анализа стохастической чувствительности аттракторов, метода доверительных областей и метрики Махаланобиса. 8. Для трехмерной популяционной модели Чаттопадхая, учитывающей дополнительное деление на здоровых и инфицированных особей, получено параметрическое описание индуцированных шумами переходов в зоне мультиритмичности. С помощью разрабатываемой в проекте техники стохастической чувствительности многомерных аттракторов и пространственных доверительных областей описан вероятностный механизм наблюдаемых стохастических явлений, сопровождающихся изменениями в характере осцилляций и переходами от порядка к хаосу. 9. Для трехмерной популяционной модели «хищник–две жертвы» с учетом конкуренции получено детальное описание вероятностных механизмов различных сценариев индуцированного шумом вымирания. 10. Для дискретного варианта популяционной модели Лотки – Вольтерра построена двупараметрическая карта режимов, описаны области существования регулярных и хаотических осцилляционных аттракторов вблизи бифуркаций удвоения периода, Неймарка–Сакера и кризиса и получено описание разброса случайных состояний вокруг сложных инвариантных кривых и хаотических аттракторов. 11. Для популяционной модели с эффектом Олли, флуктуациями среды и разными возрастными группами, исследованы индуцированные шумом трансформации: вызванное шумом вымирание, стохастическая регенерация и возбуждение случайных колебаний смешанных мод. 12. Для двумерной модели Кузнецова, описывающей совместную динамику популяций иммунных и опухолевых клеток, получено параметрическое описание стохастической чувствительности сосуществующих равновесных режимов и соответствующих доверительных областей. На основе этих теоретических результатов дано описание механизмов индуцированных шумами переходов в зоне гистерезиса, определен комплекс условий, при которых случайные возмущения вызывают резкий рост или, наоборот, подавляют популяцию опухолевых клеток. 13. Для трехмерной модели, учитывающей взаимодействие иммунных, опухолевых и здоровых клеток, построена бифуркационная диаграмма, и выявлены зоны регулярных и хаотических режимов, дано описание зон моно- и бистабильности, определены границы бассейнов притяжения. Для стохастического варианта модели исследован механизм индуцированных шумом переходов между аттракторами, отвечающими спящему и активному режиму опухоли. Определен комплекс биологических факторов, при которых шум начинает играть конструктивную роль в снижении численности популяции опухолевых клеток. 14. На базе концептуальной модели Нортона-Симона проведен сравнительный анализ программ лечения, сочетающих лучевую и химиотерапию, позволяющих переводить популяцию опухолевых клеток из «активного» режима в «спящий». 15. Для системы двух связанных популяций, моделируемых отображением Рикера, дано параметрическое описание вариантов совместной динамики в зависимости от интенсивности перетока и типа поведения изолированных популяций. Выявлены условия, при которых метапопуляция переходит в режимы динамики, принципиально отличные от режимов поведения изолированных популяций. Дано параметрическое описание переходов между порядком и хаосом, исследованы сценарии вызванных шумами трансформаций динамики. 16. Для двумерной биритмичной модели Голдбетера, учитывающей нелинейную рециркуляцию продукта в субстрат, получено параметрическое описание стохастической чувствительности сосуществующих аттракторов (равновесий и предельных циклов), их бассейнов притяжения и доверительных областей, исследован механизм стохастической генерации сложных биритмичных колебаний и явление «стохастического предпочтения» одного из двух сосуществующих циклов. Проведен параметрический анализ статистик спайковых осцилляций и антикогерентности. 17. Для трехмерной системы Голдбетера, моделирующей кинетику взаимодействия субстрата и двух продуктов биохимической реакции, выявлены механизмы стохастических переходов между пространственными циклами и хаотическими аттракторами. Разработаны алгоритмы конструктивного анализа, связанные с построением и исследованием доверительных эллипсоидов вокруг равновесий и доверительных торов вокруг циклов. С помощью этих алгоритмов проведен параметрический анализ индуцированного шумом возбуждения с переходами от порядка к хаосу и генерацией мультимодальных большеамплитудных осцилляций. 18. Разработана техника исследования переходных процессов формирования паттернов в распределенных моделях на основе коэффициентов модальности. Эта техника применена к анализу возможных сценариев самоорганизации в моделях популяционной динамики (хищник-жертва), брюсселятора и гликолиза. Для пространственных структур разной модальности получено параметрическое описание стохастической чувствительности и установлена ее связь с явлением стохастического предпочтения в условиях мультистабильности. Проведен параметрический анализ влияния диффузии на автоколебательные режимы, обнаружен и исследован эффект подавления автоколебаний диффузией. В распределенной популяционной модели хищник-жертва со стадным поведением исследован феномен стохастического резонанса при генерации паттернов. Для быстро-медленной популяционной модели Лесли-Гувера с диффузией исследована мультистабильность и транзиенты в процессах пространственно-временной самоорганизации. Разработан аналитический аппарат параметрического описания стохастической чувствительности неоднородных пространственных структур, позволяющий давать конструктивные оценки разброса случайных состояний. 19. Для возбудимых двумерных систем, у которых единственным аттрактором является устойчивое равновесие, построена теория стохастической чувствительности генерируемых шумами большеамплитудных осцилляций. Для трехмерной модели Лангфорда с тороидальными аттракторами получено описание механизма стохастической генерации фантомного аттрактора. Разработана теория стохастической генерации фантомных аттракторов в быстро - медленных системах с приложением к моделям гликолиза и нейронной активности. 20. В рамках направления по развитию теории стохастического анализа нелинейных динамических систем разработаны новые численные методы, программы и алгоритмы анализа индуцированных шумами переходов между пространственными аттракторами и генерации сложных мультимодальных стохастических осцилляций в трехмерных динамических моделях, используемых в проекте для исследования нейронной, популяционной и биохимической динамики. Ссылки на информационные ресурсы в сети Интернет: 1. "Математики создали модель взаимодействия иммунных и раковых клеток" https://urfu.ru/ru/news/32715/ 2. "Ученые создали математическую модель для прогнозирования развития рака" https://poisknews.ru/themes/medicine/uchenye-sozdali-matematicheskuyu-model-dlya-prognozirovaniya-razvitiya-raka/ 3. "Ученые выяснили, как шум влияет на нейронные сети" https://urfu.ru/ru/news/34280/