Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Найдена формула для K-теорного вертекcа для случая двух нетривиальных концов. Это применяется для вычисления инвариантов Дональдсона-Томаса некоторых трехмерных торических многообразий, таких как разрешенный конифолд. https://arxiv.org/abs/1905.01523 Построено явное соотношение между кластерными интегрируемыми системами и спиновыми цепочками типа XXZ, а именно показано, что кластерная интегрируемая система, описываемая прямоугольным многоугольником Ньютона размера N на M эквивалентно GL(N) спиновой цепочке XXZ-типа на M узлах. https://arxiv.org/abs/1905.09921 Построена явная конструкция твистованного фоковского представления квантовой тороидальной алгебры gl_1 при q=t.То есть производящие функции образующих Шевалле выражены через вертексные операторы. https://arxiv.org/abs/1906.00600 Начато изучение связи изомонодромных задач на торе с конформной теорией поля. В процессе этого изучения удалось показать, что решения соответствующих линейных задач можно получить как средние от фермионных операторов в присутствии общих вертексных операторов, а изомонодромные тау-функции (с точностью до некоторых префакторов) -- как средние только от вертексных операторов. На данную тему опубликовано два препринта: https://arxiv.org/abs/1901.10497 в случае тора с одним проколом и 2*2 системой, https://arxiv.org/abs/1909.07990 в общем случае. Проведен анализ тригонометрических решений интегрируемой иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП), т. е. решений, которые являются тригонометрическими функциями в комплексной плоскости переменной x, которая является первым временем иерархии. Была изучена динамика полюсов по переменной x тригонометрических решений как функций от всей бесконечной совокупности иерархических времен. Известно, что полюса тригонометрических решений двигаются по отношению ко второму времени иерархии КП как частицы интегрируемой системы частиц Калоджеро-Мозера с тригонометрическим потенциалом парного взаимодействия. Нами было показано, что это соответствие можно распространить на уровень всей иерархии: а именно, что эволюция полюсов по отношению к k-му времени иерархии КП дается гамильтоновым потоком, который является линейной комбинацией первых k гамильтоновых потоков тригонометрической интегрируемой системы Калоджеро-Мозера. Данная линейная комбинация найдена в явном виде. Наличие этой линейной комбинации является существенным отличием от рационального случая, в котором эволюция по k-му времени дается самим k-м гамильтоновым потоком системы Калоджеро-Мозера. https://arxiv.org/abs/1906.09846 Начато изучение новых подходов описание векторов интегрируемых систем. В процессе этого изучения удалось получить ряд новых тождеств связывающих действия элементов матрицы монодромии на векторы Бете и их скалярные произведения для целого ряда интегрируемых моделей. В препринте https://arxiv.org/abs/1907.11875 были доказаны некоторые из этих тождеств для gl(2) случая и получены детерминантные формулы для скалярных произведений как следствия из них. Рассмотрены деформации алгебры Ps$\Delta$ псевдоразностных операторов, задающиеся уравнениями Лакса, связанными с разбиением алгебры в прямую сумму подалгебр и построены соответствующие интегрируемые иерархии. Показано, что для DKP$(\Lambda_0)$ и строгой DKP$(\Lambda_0)$ иерархий уравнения Лакса допускают форму нулевой кривизны. Построены критерии разрешимости аналогов уравнений Сато-Вильсона для этих двух иерархий и некоторых их естественных обобщений Доказана кошулевость квадратичных алгебр, естественно обобщающих знаменитые алгебры Орлика-Соломона, вычислен их ряд Гильберта и построен мономиальный базис.Доказаны гипотезы о структуре нижнего центрального ряда группы крашенных кактусов. Построены начала теории базисов Гребнера для крашенных операд. https://arxiv.org/abs/1907.05573 https://arxiv.org/abs/1905.04499 Нами получены асимптотики вероятностей конфигураций типа <<арбуз>> в случайных остовных лесах вблизи закрытой и открытой границ полубесконечной квадратной изотропной и анизотропной решетках. Установлено, что они описываются степенными законами, критические индексы которых вычислены явно как функции числа мостов. Для этого разработана техника асимптотического анализа определителя модифицированной матрицы лапласиана на решетке вблизи границы. Также кроме универсальных критических индексов вычислены также неуниверсальные амплитуды при степенных законах.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
При помощи регуляризированного функционала действия для уравнения Пенлеве III_3. Таким образом получены элементарные доказательства классического предела соотношений раздутия Накаджимы-Ёшиоки. Другим результатом было обобщение этого подхода в бесконечность, область иррегулярного разложения для Пенлеве III_3. Это позволило построить квазиклассические конформные блоки в бесконечности (у них пока нету определения ни со стороны конформной теории поля, ни со стороны калибровочной теории). Такие конформные блоки описывают спектральную задачу для соответствующего предела уравнения Матье. С помощью другого подхода, квантового уравнения Пенлеве III_3, было получен другой конформный блок в бесконечности, с произвольным центральным зарядом. Оба конформных блока, c=1 и квазиклассический, оказываются двумя пределами этого более общего объекта. Также оказывается, что он удовлетворяет некоторым аналогам уравнений арздутия Накаджимы-Ёшиоки. Эти результаты написаны в https://arxiv.org/abs/2006.15652 . Другим направлением исследований было изучение решения Бажанова-Сергеева для уравнения тетраэдра. Само по себе это решение было идентифицировано с трансфер-матрицей путей на относительно простом двукрашенном графе, в то время как преобразование тетраэдра отождествлено с последовательностью четырёх мутаций. Эти результаты содержатся в https://arxiv.org/abs/2010.15871 . Ещё одним направлением было изучение изомонодромных тау-функций на торе с проколами. Эти тау-функции были явно выражены в терминах некоторых детерминантов Фредгольма от блочно-матричных операторов. Также было показано, что у них есть комбинаторные выражения в терминах функций Некрасова, что даёт строгое доказательство соответствия между конформной теорией поля и изомонодромными деформациями в случае тора. Эти результаты написаны в https://arxiv.org/abs/2011.06292 . Явно построено твистованное представление Чередника у Двойной Аффинной алгебры Гекке с наклоном n`/n. В настоящий момент текст готовится к публикации. Также опубликована работа прошлого года, которая было упомянута в прошлом отчёте как препринт. https://www.imath.kiev.ua/~sigma/2020/077/ Были изучены эллиптические (т. е. двоякопериодические в комплексной плоскости) решения полудискретного варианта B-версии уравнения Кадомцева-Петвиашвили (В-КП), когда временная переменная остается непрерывной, а пространственные переменные становятся дискретными. На основе рассмотрения решений полудискретного варианта уравнения В-КП, которые являются эллиптическими функциями одной из дискретных переменных, были выведены уравнения движения для динамики их полюсов по одной из пространственных переменных как функций непрерывной переменной (времени). Этим методом была получена некоторая новая многочастичная система, обобщающая соответствующую систему для динамики полюсов эллиптических решений непрерывного уравнения В-КП. Эти результаты были опубликованы в статье А.Забродин, Д.Руднева, Эллиптические решения полудискретного уравнения B-КП, Теоретическая и Математическая физика, 204 (2020) 445-452, DOI: 10.4213/tmf9897, https://arxiv.org/pdf/2003.01389.pdf Для gl(m|n)-инвариантных моделей были получены формулы многократных действи элементов матрицы монородромии на векторы Бете. С их помощью были получены формулы для рекурсии по рангу старших коэффициентов скалярных произведений. В рамках подхода алгебраического анзаце Бете были изучены векторы Бете O(2n+1)-инвариантных моделей. В качестве вектора Бете была расмотрена конструкция в терминах токов Дринфельда для квантового дубля Янгиана DY (O(2n+1)). Были получены действия элементом матрицы монодромии на off-shell вектора Бете. Используя последние была получена рекурсивное описание этих векторов. Эти формулы очень перспективны для изучения скалярных векторов Бете в этом случае. https://arxiv.org/abs/2008.03664 https://arxiv.org/abs/2005.09249 Мы получили прямое индуктивное доказательство существования и единственности эллиптических стабильных оболочек в довольно общей ситуации. Мы также показали, что вырождение в K теорию уважает стабильные оболочки. Мы доказали, что монодромия квантового дифференциального уравнения по отношению к Кэлеровым параметрам равняется соответсвующей эллиптической R матрице определенной как отношение стабильный оболочек. https://arxiv.org/abs/2010.13217., https://arxiv.org/abs/2007.09094 Мы ввели понятия крашенных Шаффл операд и с помощью них определили понятие базисов Грёбнера для крашенных операд. Данный взгляд на крашенные операды существенно упрощает все известные определения крашенных операд. Кроме того, мы предъявили квадратичные базисы Гребнера для таких крашенных операд, как гомологии операды Швейцарского сыра, операды пар Лейбница, операды аффинных однородных пространств и для операды Ли-Ринехарта, что позволило нам доказать кошулевость тех операд, про которые это не было известно и вычислить размерности соответствующих пространств операций фиксированной арности. https://arxiv.org/abs/2008.05295 Проводились исследования модели интегрируемого асимметричного лавинного процесса, стохастической системы взаимодействующих частиц, эволюционирующей посредством нелокальных многочастичных лавин. Особенностью этой модели является наличие критического значения плотности частиц, при котором среднего размер лавин в бесконечной системе становится бесконечным. Изучалась статистика потока частиц в модели на периодической решетке. С помощью методов анзаца Бете и T-Q-уравнения Бакстера получены первые два кумулянта потока, средний ток и коэффициент диффузии, в пределе большого времени и изучено их асимптотическое поведение в термодинамическом пределе. Показано, что при плотности частиц ниже критической второй кумулянт обнаруживает поведение, характерное для класса универсальности Кардара-Паризи-Жанга. Изучен переходный режим имеющий место в окрестности критической точки. Найдена скейлинговая переменная параметризующая наблюдаемые модели в окрестности перехода. Получена универсальная скейлинговая функция, характеризующая кроссовер коэффициента диффузии между классом универсальности Кардара-Паризи-Жанга и классом описывающим наклонный фронт в анизотропной среде с вмороженным беспорядком. Показано, что и дискретная иерархия Кадомцева–Петвиашвили, и ее строгая версия могут быть расширены до более широкого класса деформаций, которые удовлетворяют более общему набору уравнений Лакса. Доказано, что обе расширенные иерархии обладают соответствующими линеаризациями, позволяющими геометрически построить решения этих расширенных иерархий.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Изучены иерархии нелинейных интегрируемых уравнений Кадомцева-Петвиашвили типов B и C (B-КП и C-КП). Получена неизвестная ранее характеризация решений иерархий В-КП и С-КП в терминах тау-функции: найдены условия, при которых тау-функция иерархии КП порождает решения иерархий B-КП и C-КП при соответствующем ограничении времен. Наиболее просто это условие выглядит для иерархии С-КП (производная по второму времени от логарифма тау-функции должна быть равна нулю при всех значениях нечетных времен). Получены уравнения на тау-функцию иерархии С-КП (в отличие от иерархии В-КП они не билинейны). Кроме того, был изучен бездисперсионный предел иерархии С-КП и показано, что он совпадает с бездисперсионным пределом иерархии В-КП. Эти результаты были опубликованы в статье «Иерархии Кадомцева-Петвиашвили типов В и С», Теор. и Мат. Физика, 208 (2021) 15-38, DOI: 10.4213/rm10072, https://arxiv.org/pdf/2102.12850.pdf Явно построен твистованный фоковский модуль квантовой тороидальной gl_1 с наклоном n'/n через вертексные операторы квантовой аффинной gl_n. Этот результат опубликован в препринте https://arxiv.org/abs/2109.12598 В статье https://arxiv.org/abs/2105.00985 изучены спектральный задачи для уравнений Матье и Ламе с помощью связи 2*2 изомонодромными деформациями. Используя явные решения уравнений изомонодромных деформаций в терминах "киевских формул" было найдено, что условия квантования для уравнений Матье и Ламе могут быть записаны в терминах самодуальных статсумм Некрасова. Были найдены соотношения раздутия между функциями Некрасова для разных параметров деформации, которые в специальном пределе связывают это описание с квантованием Некрасова-Шаташвили. Также было дано элементарное доказательство этих соотношений в этом специальном преле. Кроме этого были найдены соотношения раздутия другого типа, которые в самодуальном пределе дают уравнения движения для неавтономной двухчастичной эллиптической системы Калоджеро-Мозера в билинейной форме. Для квантовых интегрируемых моделей обладающих янгианной gl(2|1)-симметрией была получена формула производящей функции для корреляционных функций в интегральной форме. В рамках подхода алгебраического анзаце Бете изучались вектора собственных состояний U_q(gl(m))-инвариантны моделей. Были получены действия элементом матрицы монодромии на off-shell вектора Бете. Используя последние была получена рекурсивное описание этих векторов. Эти формулы очень перспективны для изучения скалярных векторов Бете и других их свойств. Мы продолжили нашу программу по получению численных данных для различных алгебраических структур. (Наиболее эффективным для вычисления размерностей методом остается вычисление базисов Гребнера, если их можно определить.) Мы определили понятие базисов Гребнера для диоперад и доказали следующий важный результат: Если диоперада допускает квадратичный базис Гребнера, все старшие мономы которого имеют левонормированные вид, то её проперадная оболочка кошулева. Мы нашли подходящий базис для диоперады квадратичных пуассоновых структур и доказали, что соответствующая проперада кошулева. Мы описали деформационный комплекс у (закрученной) проперады квадратичных пуассоновых структур и показали, что он квазиизоморфен знаменитому граф-комплексу Концевича. Найдены асимптотические выражения двух первых кумулянтов размера лавины в асимметричном лавинном процессе в скейлинговом пределе, соответствующем кроссоверу между подкритическим и надкритическим режимами. Скейлинговые функции, описывающие кроссовер двух первых кумулянтов размера лавины, получены с помощью разложения площади до первого возвращения в модели Вашичека с дрейфом, пропорциональным отклонению плотности частиц в АЛП от её критического значения. Получены скейлинговые функции, описывающие кроссовер первого и второго кумулянтов размера лавин. Показано, что скейлинговая функция кроссовера первого момента размера лавины, совпадает со скейлинговой функцией среднего тока частиц, полученной на предыдущем этапе работы. Для второго кумулянта выражения различны. Они демонстрируют одну и ту же ведущую асимптотику, намного выше критической точки, в то время как при низкой плотностях частиц корреляции являются доминирующими, и отвечают за характерный для класса универсальности Кардара-Паризи-Жанга скейлиг коэффициента диффузии. Построено явное решение проблемы Римана в двумерном расщепимом полустабильном расслоении степени ноль на эллиптической кривой для двумерных коммутативных и двумерных трёхточечных существенно неприводимых представлений монодромии и получено условие на модулярный параметр расслоения при котором данные решения образуют тривиальные изомонодромные семейства относительно положения полюсов связности.