Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В рамках проекта разработаны новые линеаризованные модели, описывающие процесс деформирования неоднородных тел, параметры которых зависят от трех координат, при учете как неоднородного предварительного напряженно-деформированного состояния (ПНДС), так и реологических эффектов. Проведен сравнительный анализ различных отечественных и зарубежных моделей деформирования преднапряженных и неоднородных тел, выявлены достоинства предложенных в настоящем проекте моделей. Разработанные модели использованы для решения ряда прямых задач расчета колебаний неоднородных сплошных пластин и цилиндров при наличии полей ПНДС и реологических факторов. Исследован ряд задач об установившихся планарно-изгибных колебаниях сплошных пластин в условиях начального напряженного состояния. Построено численное решение прямых задач с помощью метода конечных элементов, исследовано влияние неоднородного предварительно напряженного состояния пластин на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и резонансные частоты. Приведены результаты вычислительных экспериментов для функционально-градиентных законов изменения материальных модулей, моделирующих различные сплавы и металлокерамики. Исследован случай задачи для предварительных напряжений (ПН), образованных в пластине в результате приложения некоторой начальной механической статической нагрузки. Изучены возможности идентификации параметров плоского предварительного напряженного состояния на основе данных измерения частотных характеристик пластины. Сформулирована новая общая линеаризованная постановка задачи об установившихся колебаниях неоднородного вязкоупругого тела в предварительном напряженно-деформированном состоянии. Решены две прямые задачи расчета колебаний неоднородных вязкоупругих стержня и цилиндра. На основе проведения вычислительных экспериментов представлены результаты исследования влияния факторов предварительных напряжений и деформаций на АЧХ стержня и цилиндра. В обоих случаях сделан вывод о существенно большем влиянии остаточных деформаций на АЧХ, чем предварительных напряжений. Также выявлены наиболее благоприятные для решения обратных задач идентификации частотные диапазоны в окрестности максимумов АЧХ. Решена прямая задача об определении радиальной и продольной компонент поля перемещений при анализе установившихся колебаний неоднородного полого цилиндра при наличии и отсутствии касательных напряжений на внешней части границы цилиндра. Сформулирована новая обратная коэффициентная задача о реконструкции законов Ламе разработаны основы для реализации ее численного решения. Подробное исследование задачи об установившихся осесимметричных колебаниях конечного функционально-градиентного изотропного полого цилиндра проведено в пакете FlexPDE. На основе серии вычислительных экспериментов для различных трехмерных законов изменения упругих свойств, а также различных граничных условий, проанализированы изменения АЧХ, компонент поля перемещения и напряжений и значений резонансных частот. Как и в остальных случаях, наибольшее влияние переменных свойств на АЧХ наблюдается вблизи резонансов. Исследованы колебания изотропного неоднородного полого цилиндра с предварительными напряжениями трех типов под действием осесимметричной периодической во времени нагрузки. Решение задачи построено при скользящей заделке торцов цилиндра, что позволило определить явную зависимость решения от продольной координаты и свести задачу к одномерной. Проанализированы изменения АЧХ в зависимости от типа и уровня предварительного напряженного состояния. На основе метода возмущений получены формулы, отражающие изменение резонансных частот цилиндра при увеличении уровня предварительных напряжений. Проведен анализ влияния уровней ПН на изменение собственных частот цилиндра. Исследована задача о свободных колебаниях неоднородного цилиндрического волновода с неоднородными ПН. Решение сведено к поиску нетривиальных решений векторного дифференциального уравнения с двумя спектральными параметрами (частота и волновое число) с помощью метода пристрелки. Получены асимптотические формулы, описывающие изменение частотного параметра при фиксированном волновом числе и изменение волнового числа при фиксированном частотном параметре. Проведен анализ влияния предварительных напряжений разного типа на дисперсионное множество. Для каждой из рассмотренных конкретных задач разработаны программы и вычислительные комплексы, позволяющие оценить влияние различных неоднородных параметров на деформативность рассмотренных тел; проведены серии соответствующих вычислительных экспериментов. В ходе их проведения было обнаружено, что влияние переменных свойств на акустические характеристики наиболее существенно проявляется вблизи резонансов, выявлены эффективные с точки зрения последующей идентификации типы зондирующей нагрузки, предоставляющие наиболее существенный динамический отклик объекта. При этом для одновременной идентификации нескольких характеристик объекта требуется комбинировать задачи для различных типов нагружения. Результаты исследования влияния механических характеристик и факторов ПНДС на акустические характеристики рассмотренных объектов позволяют сделать вывод о том, что теоретические основы для методов неразрушающей диагностики переменных свойств конструкций, разрабатываемые в рамках проекта, являются перспективными для их дальнейшего развития. На основе полученных результатов направлены 3 статьи в журналы, индексируемые WoS и Scopus (два из них входят в квартиль Q1), 1 статья в журнал из списка ВАК (РИНЦ); опубликовано 7 тезисов всероссийских и международных конференций, на которых представлены устные и стендовые доклады.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Изучена задача об установившихся планарно-изгибных колебаниях функционально-градиентной предварительно напряженной перфорированной пластины в рамках гипотез деформирования пластин типа Тимошенко. Построено численное решение прямой задачи с помощью метода конечных элементов (МКЭ), исследовано влияние неоднородного предварительного напряженного состояния (ПНС) пластины на ее амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и резонансные частоты. Исследованы возможности идентификации параметров плоского ПНС на основе данных измерения частотных характеристик пластины. Получена формула, позволяющая определять параметр интенсивности предварительной нагрузки, характеризующий уровень ПНС, по данным об измерении планарных компонент смещения в конечном наборе точек пластины. Представлены и исследованы различные постановки плоских обратных задач (ОЗ) об идентификации двумерного ПНС в плоских областях. Рассмотрены ОЗ первого и второго типов, отличающиеся дополнительной информацией об измеренном поле перемещений: 1) в наборе точек области при фиксированной частоте колебаний; 2) на части границы области в заданном наборе частот. Предложены и обсуждены проекционные и итерационные методики, а также общие алгоритмы решения сформулированных ОЗ, которые реализованы в виде программных комплексов. Проведены серии вычислительных экспериментов по идентификации ПНС. На основе результатов проведенного на первом этапе исследования вязкоупругих тел, находящихся в ПНС, сформулирована постановка новой ОЗ об идентификации полей остаточной деформации неоднородного цилиндра с учетом реологии по данным об АЧХ в некоторой точке на внешней поверхности цилиндра. Для постановки задачи использована модель стандартного вязкоупругого тела, принцип соответствия и теория комплексных модулей. Идентификация производилась с помощью итерационного подхода, построенного на основе линеаризации и регуляризационных методов. Проведен сравнительный анализ решений прямой задачи об установившихся продольно-радиальных колебаниях функционально-градиентного цилиндра, полученных с помощью разработанного ранее метода, реализованного в пакете компьютерной алгебры Maple, и МКЭ, реализованного в конечно-элементном пакете FlexPDE. На основе анализа полученных данных для основных акустических характеристик выявлены преимущества разработанного ранее метода. В рамках акустического метода сформулирована коэффициентная ОЗ о реконструкции законов изменения параметров Ламе для упругого функционально-градиентного цилиндра по данным об АЧХ, измеряемых на части границы. Решение задачи построено с помощью итерационного метода. Для отыскания на каждой итерации двух неизвестных поправок получена система интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. Решение этой системы реализовано численно с помощью метода регуляризации А.Н.Тихонова с автоматическим выбором параметра регуляризации. Предложены рекомендации по выбору частотного диапазона, проведен анализ влияния зашумления входной информации на процедуру реконструкции параметров Ламе. Сформулированы и решены две новые ОЗ для неоднородного в радиальном направлении полого преднапряженного цилиндрического волновода. Первая задача заключается в идентификации переменного вдоль радиальной координаты модуля сдвига по информации о поле радиальных перемещений, которое задано в конечном числе точек внешней границы при фиксированной частоте колебаний. Вторая задача заключается в одновременной идентификации переменного модуля сдвига и плотности по частотно-заданной информации о смещении в одной точке внешней границы. Начальные приближения для восстанавливаемых функций найдены путем минимизации функционала невязки. Разработан итерационный процесс восстановления, на каждом шаге которого выполняется линеаризация задачи, решается система интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода методом регуляризации А.Н. Тихонова, и находятся поправки к искомым функциям. Для нахождения ядер и правых частей интегральных уравнений использовано преобразование Фурье, метод пристрелки для решения возникающих краевых задач и теорема о вычетах. Выявлено, что восстановление с приемлемой точностью в первой задаче возможно для частот, превышающих частоту второго радиального резонанса, а во второй задаче – в области до первого радиального резонанса. Исследовано влияние неучтенных ПН на процедуру реконструкции переменного модуля сдвига.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
На основе проведенных исследований по решению обратных задач об идентификации характеристик материалов показано, что наиболее эффективным, с учетом современных требований к практической реализации, методом неразрушающей диагностики является акустический метод зондирования. Эффективность его применения была подтверждена результатами многочисленных вычислительных экспериментов по восстановлению механических характеристик и предварительных напряжений (ПН) при решении обратных задач для конкретных областей, в том числе для биологических тканей, исследованных на текущем этапе Проекта. Построена модель кожного покрова, как неоднородного по толщине вязкоупругого слоя, состоящего из трех слоев: подкожного жира, дермы и эпидермиса, при наличии релаксировавшего одноосного поля ПН, характерного для кожи после операции лифтинга. Постановка задачи об установившихся колебаниях вязкоупругого слоя записана относительно комплексных модулей ─ аналогов параметров Ламе, вид которых определен моделью стандартного вязкоупругого тела. Проведен анализ влияния уровня ПН на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) слоя, показавший, что наиболее существенно это влияние проявляется вблизи вязкоупругих резонансов. Сформулирована новая обратная задача об определении комплексных модулей каждого из слоев и функции ПН по данным о значениях АЧХ, измеренным на поверхности кожного покрова. Для ее решения построена двухэтапная схема, основанная на рассмотрении различных способов нагружения (точечного и распределенного), что позволило выполнить разделение задач. Проведены вычислительные эксперименты, доказавшие применимость построенной схемы для идентификации комплексных модулей и функции ПН с достаточной точностью. Дополнительно проведенный анализ показал, что для успешной реконструкции ПН необходимо выбирать частоты, близкие к вязкоупругим резонансам. Для исследования свойств неоднородных биологических тканей, которые могут быть описаны объектами цилиндрической формы, рассмотрена задача об установившихся продольно-радиальных колебаниях полого вязкоупругого цилиндра с переменными по радиальной координате параметрами Ламе. Для записи постановки задачи, эти параметры в рамках модели стандартного вязкоупругого тела согласно принципу соответствия заменены на комплекснозначные функции от радиальной координаты и частоты колебаний. После отделения вещественной и мнимой частей на основе метода разделения переменных задача сведена к численному решению набора систем дифференциальных уравнений первого порядка. Также решение исходной задачи реализовано с помощью метода конечных элементов (МКЭ) в пакете FlexPDE. На основе обоих подходов проведен ряд вычислительных экспериментов для выявления влияния переменных свойств вязкоупругого материала на напряженно-деформированное состояние цилиндра. Проанализировано изменение АЧХ, измеряемых на внешней боковой поверхности, в зависимости от вида законов неоднородности материала. Предложенный подход позволяет исследовать свойства слоистых неоднородных биологических тканей, например, артерий, которые могут описываться разрывными функциями. Проведено исследование влияния переменных вязкоупругих свойств материала на акустические характеристики. Дополнительно рассмотрена задача для цилиндра, выполненного из ФГМ, свойства которого изменяются в радиальном и продольном направлениях, ее решение также построено численно с помощью МКЭ. На основе проведенных вычислительных экспериментов проведен сравнительный анализ результатов для трехмерной и двумерной задач, построены собственные формы колебаний, вычислены собственные частоты, проведен анализ АЧХ. Разработана конечноэлементная модель колебаний предварительно напряженной решетчатой пластинки склеры глазного яблока. На ее основе исследована задача об установившихся колебаниях решетчатой пластинки с ПН, образованными в результате действия начальной нагрузки, вызванной внутриглазным давлением. C применением пакета FreeFem++ рассмотрены различные варианты описания геометрии решетчатой пластинки склеры с отверстиями, разработано несколько программных алгоритмов задания отверстий с использованием генерации случайных значений. Проведен анализ влияния параметров предварительного напряженного состояния решетчатой пластинки на ее деформационные и динамические характеристики, включая концентраторы напряжений в окрестностях отверстий, поля планарных и изгибных перемещений, углы поворота нормали вдоль осей в плоскости пластины, АЧХ и спектр резонансных частот. Осуществлено сравнение полученных численных результатов решения прямой задачи в ряде частных случаев с опубликованными ранее результатами в рамках моделей сплошных круглых пластин переменной жесткости и плотности. Исследована обратная задача об идентификации параметра внутриглазного давления на основе дополнительной информации об измеренных смещениях в наборе точек в некоторой области решетчатой пластинки для заданной частоты колебаний; задача сведена к минимизации функционала невязки, что позволило определить искомый параметр внутриглазного давления, представлены результаты соответствующих вычислительных экспериментов. Исследованы некоторые вопросы единственности решения обратной задачи о реконструкции плоского предварительного напряженного состояния двух видов при наличии дополнительной информации об измеренных перемещениях в области; сформулированы условия, гарантирующие единственность ПН в рассмотренных случаях. При поддержке Проекта исполнителями подготовлены следующие кандидатские диссертации по физико-математическим наукам по специальности 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела: Мнухин Р.М. "Прямые и обратные задачи при исследовании колебаний радиально-неоднородных цилиндрических областей" (объявление о защите https://hub.lib.sfedu.ru/diss/show/1286541/, на сайте ВАК https://vak.minobrnauki.gov.ru/advert_independent/91510218002); Юров В.О. "Исследование волновых процессов в поперечно-неоднородных волноводах" (объявление о защите https://hub.lib.sfedu.ru/diss/show/1286542/, на сайте ВАК https://vak.minobrnauki.gov.ru/advert_independent/91510239002) . Защиты состоятся 15.06.2021 в Южном федеральном университете, г. Ростов-на-Дону.