Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Первый этап выполнения проекта был посвящен исследованию особенностей криогенного воздействия на злокачественные образования, локализованные вблизи крупных кровеносных сосудов. На первом этапе проекта основное внимание было уделено задаче прогнозирования эволюции температурного распределения и зоны клеточного некроза в биоткани на примере злокачественного образования типа ангиомы, локализованной вблизи артерии. В качестве входных данных использовались физические параметры и характерные размеры, отвечающие общей сонной артерии. Работы выполненные на пером этапе проекта можно разбить на 4 части: 1) формулировка математической модели для описания криогенного теплопереноса в биоткани с учетом кровотока 2) разработка эффективного численного алгоритма для численного моделирования криогенного воздействия на систему биоткань с опухолью - артерия. 3) разработка программного комплекса для численного моделирования возникающих в исследуемой системе криогенных процессов 4) проведение численного исследования влияния различных параметров, таких как размеры крионаконечника и температурный режим на его активной поверхности, расположения криозонда относительно опухоли, интенсивности кровотока в артерии и пронизывающих биоткань мелких сосудах, капиллярах. В основу модели для описания криогенного теплопереноса в биоткани с опухолью и крупной артерией легли модель Пеннеса биотеплопереноса и квазиодномерная система уравнений гемодинамики, описывающая движение крови в сосуде. Для описания возникающего при криохирургии процесса фазового перехода жидкой компоненты биотканей в кристаллическую фазу был использован энтальпийный метод. Для расчета характеристик крови в канале кровотока использовалась квазиодномерная гемодинамическая модель с уравнением на энергию в неконсервативной форме и диссипацией, обусловленной теплопроводностью крови. Многочисленные исследования показывают, что использованная модель при своей относительной простоте хорошо описывает основные процессы даже в сильно развитых(ветвящихся) системах кровеносных сосудов. Поскольку определяющую роль здесь играют эластические свойства стенки сосуда, разработанная модель учитывает падение последних при охлаждении ткани вокруг сосуда. Кроме этого в уравнение, описывающее изменение температуры в артерии был включен реакционный член, описывающий теплообмен между кровью и охлаждаемой биотканью. Наличие крупного кровеносного сосуда в целевой области отражается в модели теплопереноса в ткани наличием граничных условий на стенке артерии, отвечающим за теплообмен между тканью и сосудом и согласованным с источниковым членом системе уравнений для артерии. Таким образом предложенная модель представляет собой сцепленную пару систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, взаимодействующих непосредственно и через условия "сшивки". Для решения задачи в области биоткани использовалась 27-точечная явная разностная схема , основанная на методе конечных объемов. Использованная схема пригодна для вычислений на произвольных выпуклых индексных сетках и зарекомендовала себя как надежный инструмент при моделировании процессов криогенного переноса. Для повышения устойчивости используемой явной разностной схемы был задействован метод релаксации потоков. На практике метод релаксации потоков позволяет значительно смягчить условия устойчивости, свойственные явным схемам для параболических уравнений по крайней мере до условия \tau \sim h^(3/2). Для численного решения системы уравнений, отвечающих течению крови в артерии использовался метод расщепления по процессам, в рамках которого сначала решается чисто гиперболическая система, описывающая конвективный перенос, затем решается задача диффузионного переноса с реакционным членом. Для численного решения гиперболической системы уравнений гемодинамики использовалась явная гибридная характеристическая схема, меняющая порядок аппроксимации в зависимости от гладкости решения. Оператор типа реакции-диффузии на втором шаге метода расщепления аппроксимировался непосредственно. Для удобства анализа результатов моделирования исследуемой задачи был разработан программный комплекс - построитель сетки, генерирующий дискретизацию расчетной области, адаптированную к варьируемым параметрам крионаконечника и артерии. Описанная схема расчета для предложенной в ходе выполнения проекта модели криогенного теплопереноса в биоткани с артерией была реализована в виде программного комплекса, включившего в себя указанный выше построитель сеток. Адекватность работы компонент реализованного расчетного комплекса была проверена на ряде тестовых задач имеющих либо точное решение, либо многократно исследовавшихся ранее. Полученные результаты тестовых расчетов либо хорошо согласовывались с результатами других авторов, известными точными решениями, либо указывали на сеточную сходимость используемой схемы. С помощью разработанного программного комплекса был проведен ряд численных экспериментов по моделированию зондовой криохирургии на опухоли вблизи крупного кровеносного сосуда. Численно исследовано влияние размеров активной зоны крионаконечника и интенсивности кровотока в артерии на результирующее температурное распределение: протяженность рабочей поверхности варьировалась от 0.4 до 1.5 см., что соответствует характеристикам реальных кризондов, применяющихся на практике. Для модельной формы злокачественного образования установлено, что в рамках рассматриваемой постановки интенсивность кровотока может значительно влиять (препятствовать) процессу заморозки целевой области даже в случае крионаконечника с достаточно большой активной поверхностью. Развитость вторичной кровеносной системы моделировалась с помощью слагаемого перфузии в модели Пеннеса, суть члена реакционного типа, отвечающего за теплообмен ткани с кровью в капиллярах, пронизывающих ее. Анализ гемодинамической части системы показал, что изменение упругих свойств стенки носит локальный характер и не вносит ощутимых изменений в общий характер распространения возмущений в кровеносном сосуде. В связи с возникающими рисками нанесения сопутствующего ущерба прилегающим здоровым тканям или, напротив, катастрофического увеличения скорости роста раковых клеток при неполном криогенном разрушении опухоли возникает необходимость в высокоточном прогнозировании результатов криовоздействия на целевую область. Между тем, наличие в целевой области развитой кровеносной системы, например в случае криогенного разрушения опухоли в области груди, головного мозга и некоторых других органов, может значительно повлиять на характер распространения зоны криогенного клеточного некроза. Разработка корректной математической модели для описания критически важных криогенных процессов и детального изучения механизмов регуляции и воздействия на сложные биологические системы являются, безусловно, актуальной проблемой вычислительной медицины и биофизики, научных областей активно развивающейся в последнее время как в России ,так и за рубежом. Учитывая перспективность персонифицированной медицины, невозможной без компьютеризации, создание программных комплексов прогнозирования может значительно повысить эффективность и безопасность проведения рассматриваемых операций, и, следовательно, сделать шаг вперед в решении глобальной проблемы лечения онкологии.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В начале второго этапа выполнения Проекта было продолжено численное исследование криогенных процессов возникающих в биологической ткани с развитой системой кровообращения при операциях криохирургии. Исследовался вопрос о влиянии наличия в целевой области крупных кровеносных сосудов, плотно распределенных мелких сосудов и капилляров, пронизывающих ткань, на характер рапространения зоны клеточного некроза. Был рассмотрен случай криогенной деструкции раковой опухоли, локализованой вблизи большой артерии считается. В частности, проводилось прямое численное моделирование эволюции температурного распределиния в биологической ткани и кровотока в сосуде. Для численного моделирования исследуемых процессов использовалась уточненная версия разработанной на первом этапе Проекта математической модели, основанной на модели биотеплопереноса Пенне с энтальпийной модификацией и квазиодномерной гемодинамической модели кровотока в артерии с учетом локальных изменений упругих свойств стенок сосудов вследствие охлаждения прилегающей ткани. Жесткость стенки определялась усредненной температурой прилегающей ткани, проход крови через ветвление сосуда рассчитывался через законы сохранения количества жидкости при наличии гемрдинамического сопротивления в точке ветвления. При численном моделировании использовался уже проверенный алгоритм, основанный на явной конечно-объемной аппроксимации модели теплопередачи и гибридной характеристической схемы (с расщеплением по физическим процессам) . С помощью численных экспериментов проводилось численное исследование влияния параметров системы кровообращения на форму окончательного распределения зоны клеточного некроза. Изучалась зависимость глубины проникновения зоны клеточного некроза от мощности перфузии, которая характеризует плотность распределения капилляров, пиковые и фоновые скорости кровотока в артерии, диаметра кровеносного сосуда и толщина его стенок. При численном моделировании использовались данные для общей сонной артерии. Как показали численные расчеты, проведенные в ходе выполнения работ по Проекту, в релевантных условиях на режимы тока крови в артерии криогенное воздействие не оказывает влияния на последние. Между тем высокая интенсивность кровотока, разумеется, оказывает сильное сдерживающее воздействие на фронт клеточного некроза. Локальная мощность перфузии, отвечающая за развитость капиллярной сети, также оказывает некоторое воздействие на процесс заморозки области, однако, значительно меньшее, чем влияние от артериального кровотока. Поскольку основная цель работы заключалась в разработке эффективного аппарата прогнозирования операций, ориентированного на перспективу непосредственного применения на практике, в ходе расчетов использовались довольно грубые трехмерные сетки, что, тем не менее, с учетом размерности задачи приводило к большим временным затратам. Это обстоятельство, очевидно, является сильным препятствием для практикующих специалистов, не располагающих высокопроизводительными вычислительными ресурсами. Кроме того, использование грубой расчетной сетки влечет значительные потери в точности определения положения фронта заморозки, что, вообще говоря, является предметом первостепенного интереса. Таким образом, можно утверждать, что учет влияния тонких процессов в биоткани нивелируется точностью непосредственных расчетов задачи промерзания расчетной области. В этой связи, дальнейшая работа по Проекту была связана с разработкой новых экономичных методов высокоточного определения положения фронта заморозки ткани, не предполагающих использование подробных сеток и высокопроизводительных вычислительных систем. Для того, чтобы улучшить точность определения положения фронта при малом числе расчетных узлов была поставлена задача о построении алгоритма адаптации расчетных узлов к положению особенности решения исследуемой задачи. Основным результатом второго этапа работ по Проекту является построение многомерного обобщения принципа квазистационарности и реализация алгоритма расчета процесса теплопереноса на динамически адаптирующихся сетках. В ходе работ по проекту был разработан метод численного интегрирования семейства нелинейных многомерных задач, связанных с уравнениями параболического типа. При разработке разностной схемы использовались аппроксимации системы управляющих уравнений в подвижной системе координат, сохраняющие сеточные аналоги свойств исходной системы. В качестве первой модельной задачи использовалась задача нелинейной теплопроводности. Ключевым управляющим параметром динамически адаптирующейся сетки является ее локальная скорость. Основной проблемой в многомерном обобщении принципа квазистационарности является то, что скорость сетки имеет n компонент, в то время как условие стационарности процесса дает только одно уравнение на скорость. Для преодоления этой трудности условие стационарности процесса было заменено условием обнуления его «конвективной» части. В этом случае получается одно уравнение на обнуление некоторой формы (зависящей от скорости сетки) на всяком градиенте решения. Число компонент формы совпадает с размерностью задачи и, следовательно, с числом компонент локальной скорости системы координат. Равенство нулю ее коэффициентов однозначно определяет искомую величину. Такой выбор скорости обнуляет дисперсионные слагаемые в дифференциальном приближении используемой разностной схемы. Скорость границы определяется из одномерной редукции управляющего уравнения. Показано, что в силу условий совместности исследуемые уравнения можно привести к консервативной форме, аналогичной своим изначальным записям в декартовой стационарной системе координат. Именно консервативные формы уравнений на физические процессы использовались при численном решении исследуемых задач. Для распространения разработанного подхода к задачам с фазовыми переходами в ходе выполнения работ по Проекту использовалась энтальпийная постановка, позволяющая строить экономичные разностные схемы без явного выделения фронта фазового перехода. Для достижения поставленной цели принцип квазистационарности по температуре был заменен требованием квазистационарности по энтальпии, которая, очевидно, сильно меняется вблизи области размытия фронта фазового перехода. В пользу использования размытия фазового перехода по температуре и сведения задачи к гладкому случаю также говорит то, что в приложениях к криохирургии процесс фазового перехода действительно оказывается размыт на некотором температурном диапазоне порядка нескольких градусов. Проведение численных экспериментов на двумерных задачах о тепловой волне и о фазовом переходе в постановке Стефана показало высокую эффективность разработанного подхода к численному решению рассматриваемого класса задач. В частности удалось значительно улучшить качество определения местоположения фронта замерзания (плавления).