Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Задача расчета формы поверхности (или поверхностей) оптического элемента из условия формирования требуемого распределения освещённости в заданной области пространства относится к классу обратных задач неизображающей оптики (англ. nonimaging optics). Указанные задачи решаются в приближении геометрической оптики и являются очень сложными. В частности, для оптического элемента только с одной «рабочей» оптической поверхностью, рассчитываемой в приближении точечного источника излучения, задача сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения (НДУ) в частных производных эллиптического типа. Решение данного НДУ является сложной теоретической и вычислительной задачей. В настоящем проекте развивается другой подход, основанный на формулировке обратной задачи как задачи Монжа-Канторовича о перемещении масс и её последующем сведении к решению линейной задачи о назначениях. Решение задачи о перемещении масс со специальной функцией стоимости в ряде случаев соответствует так называемому слабому решению соответствующего НДУ эллиптического типа. При этом линейная задача о назначениях (задача линейного программирования специального вида) является дискретной аппроксимацией соответствующей задачи о перемещении масс. В соответствии с планом работ в 2018 году было показано, что обратная задачи расчета функции эйконала светового поля, заданной на некоторой поверхности S1, из условия формирования заданного распределения освещенности на некоторой другой заданной поверхности S2, может быть сформулирована как задача Монжа-Канторовича о перемещении масс (ЗПМ) [А.А. Мингазов и др., Компьютерная оптика 42, 568 (2018); Н.Л. Казанский и др., Компьютерная оптика 42, 574 (2018)]. Под перемещаемыми массами в данной ЗПМ понимаются распределение освещенности, заданное на исходной поверхности S1 и заданное распределение освещенности на поверхности S2. Функция «стоимости перевозки» равна расстоянию между точками на поверхностях S1 и S2. Данный результат был получен на основе вычисления экстремума функционала «стоимости перевозки» при ограничении в виде равенства, соответствующего дифференциальной форме закона сохранения светового потока. На основе полученного теоретического результата (сведение обратной задачи расчета функции эйконала к решению ЗПМ) были разработаны новые методы расчета функции эйконала и преломляющих оптических элементов. Методы основаны на формулировке дискретного варианта задачи о перемещении масс как линейной задачи о назначениях (ЛЗН). В методе расчета функции эйконала, заданной на некоторой поверхности, из условия формирования заданного распределения освещенности на другой заданной поверхности, расчет «лучевого отображения» осуществляется через решение ЛЗН. Для решения ЛЗН используется алгоритм аукциона, решающий задачу за полиномиальное время. Для расчета функции эйконала по лучевому отображению предложен специальный метод, позволяющий скомпенсировать ошибки, возникающие при расчете отображения через решение ЛЗН. Задача расчета функции эйконала также может быть сформулирована как вариационная задача для линейного функционала при линейных ограничениях. В дискретном варианте эта задача сводится к задаче линейного программирования [V. Oliker et al., Opt. Express 26, 19406 (2018)]. Данный подход также исследовался в проекте, однако, согласно результатом проведенных исследований, этот подход значительно уступает по вычислительной эффективности рассмотренному «ЛЗН-методу». Метод расчета рефракционного оптического элемента, формирующего заданное распределение освещенности на заданной поверхности, основан на ЛЗН-методе расчета функции эйконала [D.A. Bykov et al., Opt. Express 26, 27812 (2018)]. Предложенный метод является итерационным, на каждой итерации рефракционная поверхность оптического элемента уточняется через решение задачи расчета функции эйконала, заданной на этой поверхности. Для расчета функции эйконала на каждой итерации используется рассмотренный выше ЛЗН-метод. Разработанные методы расчета функции эйконала и преломляющих оптических элементов на основе решения ЛЗН были реализованы в виде набора программ в среде программирования MATLAB. С использованием созданных программ были рассчитаны преломляющие оптические элементы для формирования распределений освещенности различного вида. В частности, были рассчитаны оптические элементы для формирования постоянной освещенности в прямоугольных областях различного размера, расположенных в плоскости и на цилиндрической поверхности. Результаты расчетов показали высокие рабочие характеристики предложенных методов. Время расчета функции эйконала на сетке из 200х200 отсчетов с использованием ЛЗН-метода составляет всего 5-7 минут на стандартном персональном компьютере. Предложенный итерационный метод расчета оптических элементов имеет высокую скорость сходимости. Для формирования заданного распределения освещенности со среднеквадратичной ошибкой менее 5% достаточно 4-5 итераций [D. A. Bykov et al., Opt. Express 26, 27812 (2018)]. Была продемонстрирована работоспособность метода в задаче формирования сложных распределений освещенности, заданных на несвязных областях. В частности, был рассчитан оптический элемент, формирующий надпись «IPSI», состоящую из четырех отдельных букв на нулевом фоне. Данный пример демонстрирует одну из сильных сторон предложенного метода, состоящую в возможности расчета кусочно-гладких непрерывных оптических поверхностей. В этом случае известные методы расчета, основанные на численном решении НДУ эллиптического типа, неприменимы или являются численно неустойчивыми. В проекте были выполнены экспериментальные работы, включающие создание оптических элементов и экспериментальные исследования их рабочих характеристик с использованием созданного гониофотометрического стенда. Оптические элементы были изготовлены методом литья термопластичных полимеров под давлением. Результаты экспериментальных исследований находятся в хорошем соответствии с результатами численного моделирования и подтверждают высокие рабочие характеристики разработанных методов. Полученные результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню исследований. По результатам исследований было опубликовано 4 статьи в журналах, индексируемых в базе Web of Science, из них две статьи опубликованы в журнале Optics Express из квартиля Q1 рейтинга SJR (SCImago Journal Rank).

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Задача расчета оптической поверхности (преломляющей или отражающей) из условия формирования требуемого распределения освещённости в заданной области пространства относится к классу обратных задач неизображающей оптики (англ. nonimaging optics). Указанные задачи решаются в приближении геометрической оптики и являются очень сложными. В частности, в большинстве работ задача сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения (НДУ) эллиптического типа (обобщенного уравнения Монжа-Ампера). Решение данного НДУ является сложной теоретической и вычислительной задачей. В настоящем проекте развивается другой подход, основанный на формулировке обратной задачи как задачи Монжа-Канторовича о перемещении масс и её последующем сведении к решению линейной задачи о назначениях. Решение задачи о перемещении масс со специальной функцией стоимости соответствует так называемому слабому решению соответствующего НДУ эллиптического типа. При этом линейная задача о назначениях (задача линейного программирования специального вида) является дискретной аппроксимацией соответствующей задачи о перемещении масс. В соответствии с заявленным планом работ в 2019 году был разработан метод расчета зеркал для формирования заданных распределений освещенности в дальней зоне при точечном источнике излучения на основе решения линейной задачи о назначениях (ЛЗН). Условие дальней зоны означает, что размерами зеркала можно пренебречь по сравнению с расстоянием до освещаемой области. В этом случае зеркало можно рассматривать как точечный источник и описывать отраженное от зеркала световое излучение через угловые координаты отраженных лучей. Разработанный метод основан на формулировке задачи расчета «лучевого отображения» (т.е. отображения, определяющего координаты отраженных от зеркала лучей через координаты излучённых источником лучей) как задачи Монжа-Канторовича о перемещении масс (ЗПМ). В рамках разработанного метода решение ЗПМ сводится к решению ЛЗН. В предложенном методе поверхность зеркала представлена в виде огибающей двухпараметрического семейства параболоидов вращения, у которых положения фокусов совпадают с точечным источником, а направления осей задаются радиус-векторами точек освещаемой области. При выбранном представлении поверхность зеркала определяется через «фокальную функцию», равную фокусным расстояниям параболоидов семейства. Расчет фокальной функции осуществляется через лучевое отображение и по сути эквивалентен задаче восстановления функции по её полному дифференциалу. В 2019 году был также разработан метод расчета зеркал для формирования заданных распределений освещенности в ближней зоне. Условие ближней зоны означает, что размеры зеркала сравнимы с расстоянием до освещаемой области. В предложенном методе поверхность зеркала записывается в виде огибающей двухпараметрического семейства эллипсоидов вращения, у которых один фокус совпадает с точечным источником, а другой фокус принадлежит освещаемой области. При выбранном представлении поверхность зеркала задаётся через «фокальную функцию», определяющую фокальные параметры эллипсоидов. Эта функция определяет формируемое зеркалом распределение освещенности. Поскольку в ближней зоне задача расчета лучевого отображения не может быть сформулирована как «обычная» ЗПМ, то для расчета фокальной функции был предложен итерационный метод. На каждой итерации фокальная функция уточняется через решение ЗПМ, содержащей фокальную функцию, полученную на предыдущей итерации. Решение ЗПМ на каждой итерации сводится к решению ЛЗН. Предложенный итерационный метод можно интерпретировать как метод простой итерации решения специального операторного уравнения, описывающего задачу расчета зеркала в ближней зоне. Разработанные методы имеют ряд преимуществ перед известными методами расчета оптических поверхностей, основанных на решении НДУ эллиптического типа. Формулировка обратной задачи расчета зеркала как задачи решения НДУ предполагает, что поверхность зеркала является гладкой. Это накладывает существенные ограничения на класс распределений освещенности, которые могут быть сформированы зеркалом. Например, гладкое зеркало не позволяет сформировать распределение освещенности, определенное в несвязной области, состоящей из непересекающихся подобластей. Предложенные методы не имеют указанного ограничения и позволяют рассчитывать непрерывные кусочно-гладкие зеркальные поверхности, формирующие заданные распределения освещенности в несвязных областях и в областях со сложными негладкими границами. Разработанные методы расчета зеркал были реализованы в виде набора программ в среде программирования Matlab. С использованием созданных программных средств были рассчитаны зеркала для формирования заданных распределений освещенности в областях различной формы. В частности, были рассчитаны зеркала для формирования постоянной освещенности в прямоугольных областях, расположенных в плоскости в дальней и ближней зонах. Результаты численного моделирования работы оптических элементов показали хорошие рабочие характеристики рассчитанных зеркал: среднеквадратичное отклонение формируемых распределений освещенности от постоянного значения не превышало 5-6%. Была продемонстрирована работоспособность предложенных методов в задаче формирования сложных «разрывных» распределений освещенности, заданных на несвязных областях. В частности, было рассчитано зеркало, формирующее в дальней зоне распределение освещенности, соответствующее изображению шахматной доски. Были изготовлены зеркала с поверхностью свободной формы, формирующие постоянные распределения освещенности в прямоугольной области. Для изготовления зеркал использовался метод фрезеровки на обрабатывающем центре Haas MiniMill. Для оценки рабочих характеристик изготовленных зеркал выполнялись экспериментальные измерения формируемых зеркалами распределений освещенности. Полученные экспериментальные результаты хорошо согласуются с результатами численного моделирования и демонстрируют технологическую реализуемость зеркал, рассчитанных предложенными методами, с помощью технологии трёхосной фрезеровки. Результаты пунктов 1, 2 являются теоретической основой нового подхода к решению обратных задач расчета зеркал, состоящего в формулировке обратной задачи как задачи о перемещении масс и в решении данной задачи через решение ЛЗН. Эффективность данного подхода подтверждена результатами расчета и моделирования оптических элементов (пункт 3), а также результатами экспериментальных исследований (пункт 4). По результатам исследований в 2019 году опубликовано 4 статьи, индексируемых в базе данных «Сеть науки» (Web of Science Core Collection). В том числе 1 статья опубликована в журнале Optics Express из квартиля Q1 рейтинга SJR (SCImago Journal Rank) и 2 статьи в журналах Applied Optics и Optics Communications из квартиля Q2 в области оптики (раздел SJR Physics and Astronomy→Atomic and Molecular Physics, and Optics). Это подтверждает высокий уровень достигнутых научных результатов.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Задача расчёта оптической поверхности (преломляющей или отражающей) из условия формирования требуемого распределения освещённости в заданной области пространства относится к классу обратных задач неизображающей оптики (от англ. nonimaging optics). Указанные задачи решаются в приближении геометрической оптики и являются очень сложными. В частности, в большинстве работ задача сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения (НДУ) эллиптического типа (обобщенного уравнения Монжа-Ампера). Решение данного НДУ является сложной теоретической и вычислительной задачей. В настоящем проекте развивается другой подход, основанный на формулировке обратной задачи как задачи Монжа-Канторовича о перемещении масс (ЗПМ) и её последующем сведении к решению линейной задачи о назначениях. Решение ЗПМ со специальной функцией стоимости соответствует так называемому слабому решению соответствующего НДУ эллиптического типа. При этом линейная задача о назначениях (задача линейного программирования специального вида) является дискретной аппроксимацией соответствующей задачи о перемещении масс. В соответствии с заявленным планом работ в 2020 году был разработан метод расчёта зеркал для формирования сложных полутоновых распределений освещённости в дальней зоне при точечном источнике излучения. Условие дальней зоны означает, что размерами зеркала, по сравнению с расстоянием до освещаемой области, можно пренебречь. В этом случае зеркало можно рассматривать как точечный источник и описывать отражённое от зеркала световое излучение через угловые координаты отражённых лучей. Разработанный метод включает формулировку задачи расчёта «лучевого отображения» (т.е. отображения, определяющего координаты отражённых от зеркала лучей через координаты падающих от источника лучей) как ЗПМ и её последующее сведение к решению линейной задачи о назначениях (ЛЗН). Для решения ЛЗН предложен «многомасштабный» метод, основанный на последовательном уточнении решения на сгущающихся сетках. При каждом сгущении сетки используется решение ЛЗН, полученное на предыдущей более грубой сетке, для ускорения решения на текущей сгущенной сетке. Предыдущее решение позволяет выделить «наиболее вероятные назначения» и заменить полную матрицу стоимости, описывающую ЛЗН, разреженной матрицей, учитывающей вид отображения, полученного на предыдущем шаге. Таким образом, последовательное уточнение решения ЛЗН на сгущающихся сетках позволяет работать с разреженными матрицами стоимости, что «снимает» ограничения на оперативную память. Кроме того, используемый для решения ЛЗН алгоритм аукциона наиболее эффективен как раз при разреженной матрице стоимости. В отличие от «обычного» ЛЗН-метода расчёта зеркал, разработанного на предыдущем этапе, предложенный многомасштабный ЛЗН-метод позволяет работать с большими сетками с размером до 1000х1000 (такие сетки требуются в задачах формирования сложных полутоновых распределений) и является значительно более эффективным с вычислительной точки зрения. Разработанный многомасштабный ЛЗН-метод расчёта зеркал был реализован в виде программ в среде программирования Matlab и применен к расчёту зеркал для формирования различных полутоновых распределений освещённости сложного вида. В качестве наиболее сложного примера, иллюстрирующего возможности метода, в проекте было рассчитано зеркало, формирующее изображение Эйнштейна на нулевом фоне, заданное на сетке 1000х1000. При этом для аппроксимации требуемого изображения набором точек с одинаковым световым потоком был использован алгоритм Ллойда. Результаты численного моделирования работы зеркала показывают высокое качество формируемого изображения. По мнению участников проекта, в настоящее время не существует других методов расчёта зеркал, позволяющих формировать столь сложные распределения освещённости на нулевом фоне при сетках такого размера. В проекте также был разработан аналитический метод расчёта преломляющей поверхности для формирования заданного однопараметрического распределения интенсивности в виде отрезка. Было показано, что падающие лучи от источника, которые после преломления на поверхности направляются в одну и ту же точку отрезка, лежат на поверхности кругового конуса с вершиной в точке расположения источника света. С использованием специальных криволинейных координат, согласованных с геометрией конусов лучей, расчёт лучевого отображения был сведён к тривиальной задаче интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной. Далее расчёт оптической поверхности по лучевому отображению осуществляется по аналитическим формулам. На основе метода расчёта преломляющей поверхности для формирования однопараметрического распределения интенсивности в проекте был разработан метод расчёта преломляющих поверхностей для формирования заданных двумерных распределений интенсивности с малым поперечным размером. В разработанном методе было предложено использовать обобщение лучевого отображения из задачи формирования однопараметрического распределения в виде отрезка. В предложенном отображении конусы лучей отображаются не в точки отрезка, а в «отрезки», соответствующие поперечным сечениям заданного двумерного распределения интенсивности. Задание такой структуры лучевого отображения позволило свести расчёт лучевого отображения к решению набора независимых обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производной. Описанные выше методы были реализованы в виде программ в среде программирования MATLAB и применены к расчёту преломляющих оптических элементов для формирования постоянной интенсивности света в прямоугольных областях с различными аспектными соотношениями (т.е. с различным отношением продольного и поперечного размеров формируемого распределения). Для проверки правильности расчётов было проведено моделирование работы рассчитанных оптических элементов методом трассировки лучей в коммерческом программном обеспечении TracePro. Результаты моделирования показали хорошие рабочие характеристики разработанных методов. Для практических применений и экспериментальных исследований был рассчитан оптический элемент для светодиодной системы дорожного системы освещения. Рассчитанный элемент формирует «вытянутое» прямоугольное распределение освещённости в дальней зоне, соответствующее распределению интенсивности, используемому для освещения дорог класса А согласно ГОСТ Р 55706-2013. На основе рассчитанного оптического элемента была спроектирована мультилинза (массив линз), которая была изготовлена по технологии инжекционного литья под давлением. Результаты экспериментальных измерений изготовленной мультилинзы показали хорошее соответствие с результатами численного моделирования и требуемым распределением. По результатам исследований в 2020 году опубликовано 6 статей, индексируемых в базе данных «Сеть науки» (Web of Science Core Collection). В том числе по одной статье опубликовано в журналах Optics Express (Impact factor 3.669) и Optics Letters (Impact factor 3.714) (квартиль Q1 рейтинга SJR, SCImago Journal Rank, раздел Physics and Astronomy -> Atomic and Molecular Physics, and Optics) и 1 статья в журнале Applied Optics (квартиль Q1 рейтинга SJR раздел Engineering -> Electrical and Electronic Engineering). Это подтверждает высокий уровень достигнутых научных результатов.