Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Работа по гранту в 2018 г. велась по нескольким взаимосвязанным направлениям. 1. Метрики в пространстве кеплеровских орбит. Метрика реализуется расстоянием в абстрактном пространстве, в данном случае - в пространстве H кеплеровских орбит (эллиптических, параболических или гиперболических). Расстояние равно нулю для совпадающих орбит. Расстояние должно подчиняться трем аксиомам. В астрономии около полувека использовалось несколько субметрик. Нами доказано, что эти субметрики не являются метриками, т.к. не удовлетворяют аксиоме треугольника. Ранее нами были введены настоящие метрики в H и субметрики R3, R4, R5 в трех фактор-пространствах с отождествлением орбит независимо от их долгот узлов (R3), аргументов перицентров (R4), или и того и другого (R5). В этом году удалось доказать, что указанные субметрики в действительности являются настоящими метриками, т.е. удовлетворяют всем трем аксиомам метрического пространства. Результаты метрического анализа применены к исследованию астероидно-кометно-метеороидного комплекса сигма-Каприкорнид. В частности, наши исследования показывают, что астероиды комплекса Адонис и 1995CS являются потухшими кометами, бывшими единым телом от 3.5 до 5.5 тысяч лет тому назад. 2. Теоретико-множественное расстояние (MOID) в пространстве эллиптических орбит. Это совсем другое расстояние, глобальный минимум расстояний между точками, лежащими на двух эллипсах. Оно равно нулю для пересекающихся орбит. Мы разработали новый алгоритм вычисления теоретико-множественного расстояния. Решение достигается путем поиска всех корней тригонометрического многочлена 8 степени. Алгоритм учитывает и оценивает численные ошибки, которые возникают в процессе, а также тщательно обрабатывает случаи, близкие к вырожденным. Последние включают и практически значимые случаи с почти круговыми и почти компланарными орбитами. Наш алгоритм является наиболее быстрым из известных в мире - независимая проверка другими авторами (по нашей просьбе) подтвердила, что наш алгоритм в 2 раза быстрее алгоритма, считавшегося ранее лучшим в этой задаче. Даже наш алгоритм ресурсозатратен при вычислениях. Для уменьшения времени счета при массовом определении расстояний мы построили новую относительно простую аналитическую оценку снизу для параметра MOID. Ее вычисление требует в 20 раз меньше времени, чем полное вычисление MOID по первому алгоритму. 3. Сближения и соударения астероидов с планетами. Множество известных опасных астероидов, вероятность соударения которых с Землей в ближайшие сто лет больше нуля, содержит около тысячи элементов. Точность определения орбит многих из них мала. Большая часть астероидов размером порядка 100 метров еще не открыта. Поэтому наблюдения астероидов, определение и уточнение их орбит - важнейшая на сегодня задача для обеспечения астероидно-кометной безопасности. Для опасных астероидов с приближенно известными орбитами важно выявить возможные соударения с Землей. Эта сложная задача решена нами для ряда опасных астероидов, для чего потребовалось сконструировать надежные алгоритмы и программы и провести трудоемкие вычисления. Приведем несколько наших прогнозов соударений. Найдено 130 возможных соударений астероида 99942 Апофис в текущем столетии с Землей и 18 с Луной. Соударения 2008 EX5. Найдено более 50 возможных соударений астероида 2008 EX5 с Землей, и 8 - с Луной. 4. Распределение параметров орбит и абсолютных звёздных величин сближающихся с Землей астероидов. Проведено сопоставление функций распределения параметров орбит и абсолютных звёздных величин сближающихся с Землей астероидов по данным CNEOS от 26.07.2015 и 17.04.2018. Показано, что бимодальность распределения астероидов по абсолютным звездным величинам сохраняется, но вследствие увеличения числа малых астероидов в новом каталоге соответствующий им пик функции распределения существенно возрос. Выполнено сравнение каталогов CNEOS и NEODyS от 26.05.2018. Исследовались функции распределения разностей параметров, указанных в каталогах. Наибольшие различия наблюдаются для абсолютных звездных величин, но в целом формы функций распределения параметров орбит астероидов для двух баз данных оказываются сходными. 5. Увод астероида с опасной орбиты. Были рассмотрены два способа увода астероида с орбиты соударения. Кинетический метод (удар по астероиду). Для необходимого изменения орбиты массивного (несколько сотен метров диаметром) астероида требуется удар, обычно несовместимый с возможностями современной космической техники. Однако эффект удара можно усилить, используя явление гравитационного маневра. Малые изменения траектории после тесного сближения становятся большими. Это было установлено для Апофиса. Тот же метод можно применить к другим опасным астероидам, если на траекториях соударения есть тесные сближения с Землей. Негативной стороной метода является потеря точности прогнозирования и появление большого числа возможных соударений, связанных с резонансными возвратами. Мы впервые проанализировали энергетические возможности увода Апофиса от всего множества найденных нами возможных соударений с использованием эффекта гравитационного маневра при учете ожидаемых (после уточнения орбиты при следующем сближении) оценок точности орбиты этого астероида. Показана принципиальная возможность увода астероида от всего множества соударений, связанных с резонансными возвратами. Двигатель малой тяги. Нами были составлены уравнения движения астероида с двигателем малой тяги, установленном на астероиде или гравитационном тягаче. Уравнения преобразованы к виду, допускающему интегрирование в квадратурах в важнейших частных случаях (круговая орбита; направление тяги двигателя ориентировано специальным образом). Астероиды размером до нескольких десятков метров могут быть уведены с опасной орбиты за время порядка года.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
1.5.1. Метрики в пространстве кеплеровских орбит. Метрика реализуется расстоянием в абстрактном пространстве, в данном случае - в пятимерном пространстве H непрямолинейных кеплеровских орбит (эллиптических, параболических и гиперболических). Каждая орбита представлена точкой в пространстве H. При рассмотрении эволюции орбит не все ее элементы одинаково важны. Для близких к основной плоскости орбит можно игнорировать положение узлов. Для околокруговых орбит можно игнорировать положение перицентра. Если выполнены оба условия, можно пренебречь и тем, и другим. Так возникают фактор-пространства меньшей размерности H_3, H_4, H_5, точками которых служат семейства орбит. Для изучения метеороидных комплексов потребовалось ввести еще одно фактор-пространство H_6, в котором игнорируются узлы и перицентры, но удерживается их сумма, называемая долготой перицентра. Функции расстояния R, R_3, R_4, R_5 в пространствах H, H_3, H_4, H_5 были построены и исследованы в предыдущем отчете. Теперь построена функция расстояния R_6 в пространстве H_6. В отличие от предыдущих она оказалась неэлементарной. Для ее вычисления необходимо решить тригонометрическое уравнение третьей степени, что равносильно решению алгебраического уравнения шестой степени. Каждая кеплеровская орбита пространства H задается парой трехмерных векторов, каждый из которых является элементом линейного нормированного пространства. Возникает вопрос, нельзя ли вышеуказанные метричекие пространства орбит следать линейными нормируемыми. Мы получили отрицательный ответ на этот вопрос. Тогда мы ослабили требование нормируемости до требования локальной нормируемости. Оказалось, что пространства H, H_3 не нормируемы даже локально. Однако пространства H_4, H_5 локально нормируемы. Мы построили соответствующие нормы. В частности, это позволяет построить среднюю орбиту семейства (например, метеороидов потока). Создан программный комплекс, вычисляющий теоретико-множественное расстояние (параметр MOID) между двумя софокусными эллиптическими орбитами. Программный комплекс написан на языке C++ и находится в свободном доступе на хостинге SourceForge (https://sourceforge.net/projects/distlink). 1.5.2. Генетика астероидно-метеороидного комплекса дельта-Канкриды. Для северной NCC и южной SCC ветвей астероидно-метеороидного комплекса дельта-Канкрид найдены кандидаты на роль материнских тел среди астероидов групп Аполлона, Амура, Атона и Атиры. Показано, что среди астероидов групп Амура, Атона и Атиры родительских тел нет. Среди астероидов группы Аполлона найдено несколько кандидатов. Общими для NCC и SCC ветвей найдены следующие астероиды: по каталогу орбит CAMS - 2015 PU228, 2014 YQ34, 2017 YO4; по каталогу SonatoCo - Hephaistos 1978 SB, 2003 RW11, 2006 BF56, 2011 SR12, 2014 RS17, 2001 YB5. Астероид 85182 (1991 AQ) отождествлен по двум каталогам метеорных орбит только с северной NCC ветвью потока. 1.5.3. Исследование характеристик траекторий ранее неизвестных возможных соударений и сближений с Землей, Луной и другими планетами. Получены ранее неизвестные возможные соударения с Землей, а также возможные сближения с ней для астероидов 2006 QV89, 2008 UB7, 2000 SG344 Найдены основные характеристики обнаруженных траекторий соударения. Установлено, что в большинстве случаев на траекториях соударения имеются сближения более тесные, чем на номинальной траектории. Тесные сближения, предшествующие соударению, имеют стабильные минимальные геоцентрические расстояния. Они позволяют заблаговременно обнаружить опасный объект и уточнить его орбиту, а также использовать эффект гравитационного маневра при уводе астероида от соударения с Землей. Обнаружено, что списки возможных соударений, приводимые на известных сайтах наших западных коллег, далеко не полны и вопрос требует дальнейшего изучения. Для ряда опасных астероидов методом Монте-Карло получена оценка кумулятивной вероятности соударения с планетами Солнечной системы и Луной. Установлено, что эта вероятность для Земли больше одной десятимиллионной. Для Луны она на один-два десятичных порядка меньше, что и следовало ожидать. Для некоторых опасных астероидов найдены возможные соударения с Меркурием, Венерой, Марсом и Юпитером, но таких астероидов мало. В 2019 году был разработан новый программный комплекс для нахождения траекторий соударения и сближения астероидов с планетами. 1.5.4. Исследование эффекта гравитационного маневра для увода астероидов от соударений с Землей. В случае, если сближения тесные, изменение скорости астероида перед таким сближением гораздо более эффективно для увода от соударения с Землей. Конкретные числовые оценки получены для астероида Апофис при кинетическом воздействии на него после сближения в 2029 году, но до сближения в 2051 году. В этом случае основной эффект гравитационного маневра будет иметь место при сближении в 2051 году, величина его для различных возможных соударений различна и зависит от минимального геоцентрического расстояния в 2051 году. Получены оценки необходимого изменения скорости астероида как для основных соударений с Землей Апофиса, так и для астероида 2000 SG344 в разные моменты времени. Последний астероид имеет не такие тесные сближения перед соударением, но в большем количестве. При переходе через сближение потребная скорость изменяется в несколько раз, а в случае тесного сближения - на один или несколько порядков. Поэтому при нахождении траекторий, ведущих к соударению, необходимо также выяснить сближения с планетами на этих траекториях для планирования заблаговременного воздействия на астероид для увода его от соударения. Непосредственно при подлете к Земле изменение скорости астероида не может дать нужного эффекта для предотвращения соударения с учетом возможностей существующей космической техники или ее обозримых перспектив, если размеры астероида не слишком малы (50 метров и более). Необходимо по крайней мере несколько лет до соударения. В случае использования эффекта гравитационного маневра и заблаговременного воздействия на астероид (время до соударения - десятки лет), увод в принципе возможен. 1.5.5. Увод астероида с опасной орбиты. Были рассмотрены два способа увода астероида с орбиты соударения. Кинетический метод (удар по астероиду). Получены оценки необходимого изменения скорости астероида как для основных соударений с Землей Апофиса, так и для астероида 2000 SG344 в разные моменты времени. При переходе через сближение потребная скорость изменяется в несколько раз, а в случае тесного сближения - на один или несколько порядков. В случае использования эффекта гравитационного маневра и заблаговременного воздействия на астероид (время до соударения - десятки лет), увод в принципе возможен. Двигатель малой тяги, направленной по трансверсали к орбите. Составлены и решены методом осреднения с применением рядов Ли по степеням "медленного времени" уравнения движения астероида с двигателем малой тяги, создающей постоянное направленное по трансверсали ускорение. Двигатель может быть установлен на самом астероиде, или на гравитационном тягаче. Рассматривалась тяга в 1 и 20 ньютонов, работающая месяц и год. Оказалось, что астероиды до 55 м в диаметре можно увести за год при тяге двигателя в 1 Н. При тяге в 20 Н астероиды до 50 м в диаметре можно увести за месяц, а с диаметром до 150 м — за год. Увод более крупных астероидов требует больше времени или более мощных двигателей. 1.5.6. Уничтожение астероида ядерным устройством Исследован наиболее радикальный способ противодействия астероидной опасности: уничтожение объекта ядерным устройством. Подрыв незадолго перед падением неприемлем: на Землю выпадет рой высокорадиоактивных осколков. Но современная наука в подавляющем большинстве случаев предскажет падение относительно крупного (порядка 50 м в диаметре и более) объекта за десятилетия до его столкновения с Землей. Подрыв астероида во время его предыдущего сближения с Землей вполне приемлем. Проведено сравнение двух вариантов действий. В первом космический аппарат (КА) догоняет астероид на гелиоцентрической орбите. Во втором астероид догоняет КА. Второй вариант требует значительно меньшей характеристической геоцентрической скорости КА. С другой стороны, второй вариант приводит к немного большему количеству выпадений осколков на Землю после нескольких лет с момента разрушения астероида.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Метрики и теоретико-множественные расстояния Задача вычисления расстояния между двумя элементами фактор-пространства H_6 состоит в поиске пары представителей элементов, минимизирующих значение метрики в H_2. Известны два частных случая, в которых значение расстояния выражается в элементарных функциях кеплеровых элементов орбит: одна из орбит — круговая, одна из орбит лежит в основной плоскости. В общем случае, решение этой задачи сводится к нахождению корней тригонометрического многочлена третьей степени одной переменной. Для численного решения данного уравнения был применен метод Ньютона. Результат работы был оформлен в виде программы на языке C++, реализующей алгоритм вычисления расстояния в пространстве H_6 между парой орбит, заданных своими кеплеровыми элементами. Исследован вопрос о справедливости неравенства треугольника для функции расстояния в H_6. Выяснено, что на множестве орбит с неограниченным эксцентриситетом неравенство, вообще говоря, не выполняется. Семейства Главного пояса астероидов Для исследования пространственного распределения был применен алгоритм статистического вейвлет анализа, разработанного ранее Р.В. Балуевым, и проведен анализ одномерных распределений астероидов Главного пояса по всем параметрам орбиты. Полученные результаты согласуются с известными ранее. Далее был проведен анализ двумерных распределений в трех разных пространствах параметров орбиты: (a, e), (e, i), (a, i). Совместный анализ распределений позволил выделить 44 разных семейства в трехмерном пространстве параметров (a, e, i). Выделенные семейства частично сопоставляются с ранее известными. Для неотождествленных семейств требуется дополнительное исследование орбитальной эволюции астероидов, членов обнаруженных семейств, чтобы оценить время существования семейств и отфильтровать случайные скопления. Алгоритм вычисления параметра MOID Опубликованный ранее программный алгоритм вычисления параметра MOID (Minimum Orbital Intersection Distance) был обобщен на случаи, включающие гиперболические орбиты, а также комбинации эллипс-гипербола. Метод вычисления основан на сведении задачи оптимизации к системе двух алгебраических уравнений, который, в свою очередь, сводятся к одному уравнению 16-ой степени. Таким образом, алгоритм не включает в себя численной минимизации, а лишь требует нахождения 16ти корней многочлена с коэффициентами, зависящими от элементов орбит. Построенный алгоритм превзошёл по скорости аналоги (разработанные другими авторами) еще в первоначальном варианте эллиптических орбит, а новая его версия, учитывающая гиперболические комбинации, имеет близкую производительность. При этом алгоритм оказывается значительно более надёжным благодаря внутреннему контролю ошибок. Генетика астероидно-метеороидного комплекса дельта-Канкриды Найдены кандидаты в родительские тела для северной (код NCC) и южной (код SCC) ветвей метеорного комплекса дельта-Канкриды (код DCA) среди астероидов групп Аполлона, Амура, Атона. Поиск малых тел на близких орбитах выполнен на основе многофакторной методики совокупности ряда критериев: критерия схожести орбит Драммонда, метрики Холшевникова и параметров динамической эволюции орбит с использованием двух каталогов орбит метеоров (Японское метеорное общество, Sonato-Co; CAMS Meteoroid Orbit Database v2.0, CAMS), полученных по телевизионным наблюдениям. Астероиды на близких орбитах с орбитами метеороидов северной NCC и южной SCC ветвей дельта-Канкрид выделены только в группе Аполлона. Общими для NCC и SCC ветвей выделены следующие астероиды: 2015 PU228, 2014 YQ34, 2017 YO4 (по каталогу орбит CAMS); Hephaistos 1978 SB, 2003 RW11, 2006 BF56, 2011 SR12, 2014 RS17, 2001 YB5 (по каталогу Sonato-Co). Астероид 85182 (1991 AQ) отождествлен только с северной NCC ветвью потока, но по двум каталогам метеорных орбит. Сближения и столкновения астероидов с планетами Были получены оценки кумулятивных вероятностей соударений и сближений астероидов с Луной, Землей, Венерой, Меркурием, Марсом, Юпитером, Сатурном, Ураном, Нептуном, а также с Солнцем. Оценки проводились для выборки из астероидов диаметром более 30 метров с кумулятивными вероятностями соударения с Землей в ближайшие 100 лет больше, чем 10^{-8} по данным НАСА. Таких астероидов оказалось 200. Для получения оценок кумулятивных вероятностей использовался метод Монте-Карло. Каждый астероид моделировался набором из 10^7 экземпляров с начальными данными, случайно выбранными из области неопределенности в соответствии с нормальным распределением, заданным математическим ожиданием и матрицей ковариаций элементов орбиты. Последние были взяты с сайта НАСА http://cneos.jpl.nasa.gov/sentry/. Случайные числа генерировались с использованием вихря Мерсенна. Для каждого экземпляра каждого астероида вычислялась траектория до 2132 года, фиксировались сближения на 10 и 100 радиусов каждой планеты и Луны, а также соударения с ними. В последнем случае вычисления траектории прекращались. Число зафиксированных соударений и сближений, деленное на 10^7, дает искомую оценку вероятности. Был создан новый оригинальный программный продукт для вычисления траекторий, фиксации сближений и соударений. Эта программа обладает высоким быстродействием, более чем на порядок превышающим ранее использованные нами. При ее проектировании была максимально использована однотипность проводимых для каждого виртуального экземпляра астероида вычислений. Сравнение полученных кумулятивных вероятностей соударения выбранных 200 астероидов с Землей с вероятностями, приведенными на сайте НАСА, неплохо согласуются. Новые результаты касаются сближений и соударений астероидов с другими планетами и Луной. Столкновения с Луной вероятны для 71 астероида (с кумулятивной вероятностью не менее 10^{-7}), с Венерой - 40, с Меркурием - 7, с Марсом - 20, с Юпитером - 29. Обращает на себя внимание низкая точность орбит астероидов, имеющих соударения с другими планетами. Если отбросить астероиды с ошибкой периода более 10 суток, то останется 157 астероидов. Из них с Венерой соударения у 8-и, с Меркурием у одного, с Марсом у 4-х, с Юпитером у 2-х астероидов. В 2020 году продолжались поиски возможных соударений и сближений с Землей опасных астероидов разработанными нами ранее методами. Они включают получение основных характеристик соударений: даты, положения и размеры ведущих к соударениям щелей, минимальные геоцентрические расстояния. В частности, мы рассматривали в 2020 году возможные соударения с Землей астероидов 2019 XS, 2008 ST7, 2020 QN1, 2020 DR2, 2013 TV135. Подтверждается наличие большого числа возможных соударений, неизвестных ранее. Увод астероида с помощью двигателя малой тяги Рассмотрена задача увода опасного астероида с орбиты столкновения с Землей с помощью двигателя малой тяги, направленной по касательной к траектории. Двигатель может быть смонтирован на астероиде, или на «гравитационном тягаче». Установлена принципиальная возможность увода астероида на безопасное расстояние за время порядка месяца и года. Это приемлемо, поскольку падение астероида диаметром порядка 100 м сразу после его открытия маловероятно. Мы ограничились модельной постановкой задачи: двигатель обеспечивает постоянное касательное ускорение. Соответствующие уравнения типа Эйлера были нами преобразованы методом осреднения ранее. Здесь мы решили их методом рядов по степеням «медленного времени» и показали адекватность решения на временах в десятки лет. Оказалось, что астероиды до 55 м в диаметре можно увести за год при тяге двигателя в 1 Н. При тяге в 20 Н астероиды до 50 м в диаметре можно увести за месяц, а с диаметром до 150 м - за год. Увод более крупных астероидов требует больше времени или более мощных двигателей. Результаты сравнены с полученными ранее аналогичными данными для случая, когда возмущающее ускорение направлено по трансверсали. Во всех случаях касательная тяга приводит к лучшим результатам. Однако для орбит с эксцентриситетами до 0.4 оба варианта практически совпадают. Различие становится значимым при e>0.5. Рассмотрено движение точки нулевой массы под действием притяжения к центральному телу и возмущающего ускорения, обратно пропорционального квадрату расстояния до тела. Возмущающее ускорение считаем малым по сравнению с основным ускорением, вызванным притяжением центрального тела, а направление возмущающего ускорения - постоянным в обычной для астрономии системе отсчета с началом в центральном теле и осями, направленными по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в оскулирующей плоскости в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Найденное решение имеет особенности при нулевом эксцентриситете и при отсутствии трансверсального ускорения. Эти и некоторые другие частные случаи рассмотрены отдельно. Можно указать по меньшей мере два приложения рассматриваемой задачи. Это движение астероида с учетом эффекта Ярковского-Радзиевского и движение космического аппарата с солнечным парусом. В обоих случаях возмущающее воздействие обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца.