Аннотация результатов, полученных в 2018 году
При выполнении проекта в 2018 году основное внимание уделялось разработке новых подходов для построения аналитических решений и первых интегралов нелинейных дифференциальных уравнений и применению их для исследования ряда нелинейных математических моделей. Кроме того, в 2018 году сформулирован ряд новых математических моделей нелинейных процессов и явлений, аналитическое исследование которых проводилось с помощью предложенных при выполнении данного этапа проекта методов. Все запланированные на первый этап проекта результаты были достигнуты. Разработан метод построения аналитических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на использовании неавтономного простейшего уравнения и учитывающий значения индексов Фукса при разложении общего решения в ряд Лорана. Показано что данный метод может быть использован для построения аналитических решений и первых интегралов широких классов нелинейных дифференциальных уравнений. Иллюстрируется применение данного метода при построении первого интеграла и аналитических решений уравнения Даффинга-Ван-дер-Поля и его обобщений, а также при нахождении общего решения в переменных бегущей волны для уравнения описывающего волны на поверхности жидкости при учете конвекции. Для данных уравнений найдены новые аналитические решения и первые интегралы, выраженные через элементарные и специальные функции. В рамках выполнения первого этапа проекта рассмотрены семейства нелинейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядка, которые обобщают уравнения типа Льенара. Рассмотрена проблема эквивалентности для данных уравнений и уравнений Пенлеве-Гамбье типа II и некоторых уравнений Шази. В качестве преобразований задающих классы эквивалентности используются нелокальные преобразования, обобщающие преобразования Зундмана. Найдены критерии эквивалентности и простроены соответствующие классы уравнений второго и третьего порядка, общее решение которых выражается через решения уравнений Пенлеве-Гамбье типа II и некоторых уравнений Шази. Рассмотрен ряд примеров уравнений данного типа, который включает в себя инвариантные редукции неавтономных нелинейных уравнений реакции-диффузии. Показано, что данный подход может быть использован для построения первых интегралов рассматриваемых классов нелинейных дифференциальных уравнений. В явном виде построены классы нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка допускающих первый интеграл, выраженный через функции Эйри. Сформулирована обобщенная математическая модель для описания распространения нелинейных дислокаций в кристаллической решетке с использованием обобщённой модели Ферми-Паста-Улама и модели Френкеля-Конторовой с потенциалом подложки в экспоненциальном виде. Проведено аналитическое исследование данной математической модели. Найдены параметры модели, при которых она удовлетворяет необходимым условиям теста на свойство Пенлеве и построен ряд аналитических решений для данной математической модели. Кроме того, сформулирована обобщенная математическая модель описывающая динамику двух конкурирующих видов учитывающая взаимодействие между популяциями и логистический закон роста для каждой из них и проведено аналитическое исследование данной модели. Проведено исследование распространения возмущений в модели цепочки атомов, обобщающей модель Ферми-Паста-Улама. Предполагалось, что потенциал взаимодействия между частицами пропорционален четвертой степени расстояний между ними. Применив метод возмущений и метод многих масштабов, осуществлен предельный переход от дискретной системы частиц к непрерывной модели, описывающей распространение возмущений в цепочке атомов, при этом учитывались слагаемые высокого порядка малости в асимптотическом разложении. Данная модель является новой и основана на нелинейном эволюционном уравнении пятого порядка. Рассмотрена задача о поиске и классификации статических конфигураций точечных вихрей на цилиндрической поверхности. Получено обыкновенное дифференциальное уравнение для построения статических конфигураций точечных вихрей на цилиндрической поверхности при двух различных значениях интенсивностей вихрей. Исследованы свойства решений полученного дифференциального уравнения: доказаны теоремы о существовании полиномиальных решений и теоремы о кратности корней полиномиальных решений. Найдены значения параметров, при которых существует одно и два полиномиальных решения. Показано, что при определенных ограничениях на интенсивности точечных вихрей, рассматриваемое дифференциальное уравнение имеет общее полиномиальное решение, что приводит к появлению конфигураций бесконечной размерности. Кроме того, найдены новые обобщенные равновесные конфигурации для систем точечных вихрей на цилиндре со свободным параметром. Проведен асимптотический анализ высшего аналога второго уравнения Пенлеве. С помощью техники изомонодромных деформаций, получены новые результаты относительно асимптотического поведения данного уравнения.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Проект посвящён разработке методов исследования нелинейных математических моделей и нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при описании процессов и явлений в физике, технике, и биологии. Важным этапом исследования нелинейной математических моделей является изучение аналитических свойств дифференциальных уравнений, с помощью которых описываются физические и некоторые другие процессы. С этой целью на втором этапе проекта проводилось изучение аналитических свойств рассматриваемых дифференциальных уравнений с применением теста Пенлеве. Исследование дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве позволяет ответить на вопрос интегрируемости как уравнения в частных производных, так и нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения. При этом постоянные интегрирования в локальном разложении общего решения в ряд Лорана позволяют определить ведущие члены первых интегралов дифференциальных уравнений, с помощью которых в последующем можно найти общие решения нелинейного дифференциального уравнения или же найти точные решения, которые являются решениями дифференциальных уравнений меньшего порядка. Именно такой сценарий исследования и построения точных решений дифференциальных уравнений использован при выполнении проекта в 2019 году. Все запланированные на второй этап проекта цели были достигнуты, а основные результаты опубликованы в рецензируемых российских и зарубежных научных изданиях и представлены на международных конференциях. При выполнении второго этапа проекта сформулирован метод для построения первых интегралов и точных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений [Kudryashov N.A., Safonova D. V. Math. Methods Appl. Sci. 42, 4627–4636 (2019)], который основан на учете индексов Фукса нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, найденных при прохождении теста Пенлеве. Метод использован для нахождения первых интегралов и общих решений уравнений Кортевега-де Вриза-Бюргерса и модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса с источником. Представлено обобщение метода простейших уравнений для нахождения точных решений [Kudryashov N.A. AIP Conf. Proc. 2116, 270002 (2019)]. Этот метод применён для нахождения точных решений и первых интегралов двух типов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Показано, что данный подход включает в себя большинство методов, используемых для построения точных решений дифференциальных уравнений. При выполнении второго этапа проекта рассмотрена редукция иерархии уравнения Кортевега-де Вриза [Kudryashov N.A. Appl. Math. Comput. 350, 323–330 (2019)] и модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза [Kudryashov N.A. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 73, 472–480 (2019)] в переменных бегущей волны. Получены точные формулы для первых интегралов соответствующих иерархий. Рассмотрена модель Ферми–Паста–Улама с учетом взаимодействия между частицами, которое учитывает потенциалы четвертой и пятой степени. Выведено эволюционное уравнение пятого порядка. Установлено, что в общем случае уравнение не проходит тест Пенлеве, что соответствует тому, что задача Коши для полученного уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. С помощью метода простейших уравнений получены некоторые точные решения эволюционного уравнения пятого порядка. Рассмотрена интегрируемость модели ФитцХью-Ринцела. Установлено, что модель ФитцХью-Ринцела не является интегрируемой в общем случае, но существует два формальных первых интеграла для описания этой системы уравнений. Получены точные решения системы уравнений ФитцХью-Ринцела. Рассмотрена модель ФитцХью-Нагумо для описания двух нейронов, электрически связанных путем потока ионов через щелевые контакты между ними. Данная модель является простейшим примером нейронной сети, имеющей широкий спектр периодических поведений. Показано, что система уравнений, описывающая данную модель, не удовлетворяет тесту Пенлеве. Проведен анализ устойчивости одной из стационарных точек системы. Установлено, что состояние равновесия не всегда стабильно. Для некоторых областей параметров, при которых решение осциллирует, получены бифуркационные диаграммы и рассчитаны старшие ляпуновские показатели. Установлено, что исследуемые нестационарные решения являются устойчивыми предельными циклами. На втором этапе проекта выполнено исследование ряда нелинейных математических моделей, описывающих распространение импульсов в оптическом волокне, среди которых уравнение Шредингера в переменных бегущей волны с антикубической нелинейностью [Kudryashov N.A. Optik. 185, 665–671 (2019)], обобщённое уравнение Шрёдингера с произвольной степенью нелинейности [Kudryashov N.A. Optik. 189, 42–52 (2019)], модель Кунду – Мукерджи – Наскара [Kudryashov N.A. Optik. 186, 22–27 (2019)], обобщенное уравнение Фокаса – Ленелса [Kudryashov N.A. Optik. 195, 163135 (2019)], уравнение Чена-Ли-Лю [Kudryashov N.A. Optik. 186, 339–349 (2019)] и уравнение Трики–Бисваса [Kudryashov N.A. Optik. 185, 275–281 (2019)]. Для редукции рассматриваемых уравнений в переменных бегущей волны найдены первые интегралы системы уравнений, соответствующих действительной и мнимой части оптического импульса. Система уравнений сведена к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка с решениями, выражаемыми через эллиптические функции Вейерштрасса и Якоби. Предложена новая иерархия дифференциальных уравнений в частных производных с произвольной степенью нелинейности, которую можно использовать для описания распространения импульса в оптическом волокне [Kudryashov N.A. Optik. 194, 163060 (2019)]. Доказано, что все уравнения иерархии имеют точные решения в виде периодических и уединенных волн, которые определяются с помощью эллиптических функций. Более детальное изучение иерархии представлено для уравнений второго, четвертого и шестого порядка. Получены значения параметров существования точных решений для этих уравнений. Точные решения дифференциальных уравнений выражены через эллиптическую функцию Вейерштрасса. При выполнении проекта рассмотрено семейство неавтономных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенных относительно старшей производной [Sinelshchikov D.I., Gaiur I.Y., Kudryashov N.A. J. Math. Anal. Appl. 480, 123375 (2019)]. Это семейство уравнений обобщает уравнение Льенара и характеризуется двумя функциями зависимой и независимой переменной, задающие коэффициенты при первой производной и слагаемое не содержащие производных, соответственно. Найдены условия совместности для данной системы в виде ограничений на функции, параметризующие рассматриваемое семейство уравнений. Условия совместности разбиваются на шесть случаев, и соответственно, каждый из них определяет подсемейство рассматриваемого семейства уравнений, каждый представитель которого обладает квадратичным первым интегралом. Выделены семейства уравнений, допускающие автономный квадратичный первый интеграл. Построен ряд новых примеров уравнений типа Льенара и их обобщений, обладающих одновременно Лаксовым представлением специального вида и квадратичным первым интегралом. Для каждого из рассмотренных примеров в явном виде построены первый интеграл и представление Лакса. В рамках проекта рассмотрена система уравнений Белоусова-Жаботинского для описания динамики популяций и химических реакций [Kudryashov, N.A. J. Phys. Conf. Ser. 1205, 012030 (2019)]. Показано, что рассматриваемая система уравнений неинтегрируема в общем случае. Найдены значения параметров математической модели для случая, когда система уравнений проходит тест Пенлеве. Представлены простейшие решения системы уравнений. Указаны дополнительные условия, при которых могут быть найдены общие решения. Эти общие решения определены с использованием нового обобщенного метода для нахождения точных решений и первых интегралов. При выполнении второго этапа проекта разработан программный комплекс AFES (automatic finding exact solutions), предназначенный для нахождения точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений в полиномиальной форме [Кудряшов Н.А., Кутуков А.А., свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019661587]. Для нахождения точных решений применён метод простейших уравнений и метод многоугольников Ньютона. В качестве простейших уравнений рассмотрены уравнение Риккати и уравнение для эллиптической функции Вейерштрасса. В целях тестирования программы построены точные решения различных нелинейных дифференциальных уравнений, в частности получены точные решения уравнений из иерархий Савады-Котера и Каупа-Купершмидта в переменных бегущей волны. Также в рамках проекта разработан программный комплекс ACNP (automatic construction of Newton polygons) [Кудряшов Н.А., Кутуков А.А., свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019617572], предназначенный для автоматического построения многоугольников Ньютона, соответствующих дифференциальным уравнениям полиномиального вида [Кудряшов Н.А., Кутуков А.А. Вестник НИЯУ МИФИ. 8, 283–288 (2019)]. Многоугольники Ньютона, построенные с использованием программного комплекса ACNP, были использованы при построении степенных асимптотик и точных решений ряда нелинейных дифференциальных уравнений.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
На третьем этапе выполнения проекта основное внимание уделено изучению нелинейных математических моделей и нелинейных дифференциальных уравнений, встречающихся при описании распространения импульсов в оптическом волокне. При этом на основе исследования аналитических свойств дифференциальных уравнений, который сводится к применению теста Пенлеве, делаются выводы об интегрируемости нелинейного дифференциального уравнения. Наиболее простой алгоритм применялся почти 150 лет назад в знаменитой работе Софьи Васильевны Ковалевской при анализе уравнений Эйлера, описывающих вращение твердого тела с неподвижной точкой (задача о волчке). Позже, в начале 80-х годов прошлого столетия, алгоритм Ковалевской был модернизирован в работах М. Абловица, Х. Сигура и А. Рамани. При выполнении данного проекта алгоритм Ковалевской, как правило, использовался в варианте АРС. Таким образом, одним из основных моментов данного этапа проекта было исследование нелинейных дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве. Это исследование с определенной долей вероятности позволяет сделать выводы об интегрируемости изучаемого дифференциального уравнения. При этом постоянные интегрирования, полученные в локальном разложении общего решения в ряд Лорана, позволяют сделать важные выводы о ведущих членах уравнения и о первых интегралах дифференциального уравнения, с помощью которых в последующем можно находить общие и точные решения нелинейного дифференциального уравнения. Все запланированные на третий этап проекта цели были достигнуты, а результаты опубликованы в рецензируемых российских и зарубежных научных изданиях и доложены на международных конференциях. К наиболее значимым результатам, полученным на данном этапе, по мнению исполнителей проекта, можно отнести следующие. Рассмотрена иерархия обобщённого уравнения Дуффинга, которая построена по аналогии с классической моделью Дуффинга. Показано, что все уравнения обобщённой иерархии Дуффинга не проходят тест Пенлеве за исключением хорошо известного случая классического осциллятора. Однако, два индекса Фукса для уравнения любого порядка из изучаемой иерархии являются целыми и две постоянные в разложении в ряд Лорана могут быть взяты произвольными. Получены аналитические решения в виде периодических и уединенных волн. Получены решения в виде уединенных волн, описываемых уравнениями обобщенной иерархии Шредингера с нелокальными нелинейностями. Получены ограничения на параметры уравнения, при которых найдены точные решения уравнения Гинзбурга-Ландау. Предложен алгоритмический метод поиска аналитических решений, который обобщает подход, предложенный ранее для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Предложенный подход использован для поиска уединенных волн уравнений четвертого, шестого, восьмого, десятого, восьмого и двенадцатого порядков. Изучено уравнение Бисваса-Аршеда в переменных бегущей волны, найдены первые интегралы для уравнений, соответствующих реальной и мнимой частям уравнения Биваса-Аршеда, и получены периодические и уединенные волны, описываемые этим уравнением. Разработан программный код, позволяющий находить точные решения в виде апериодических и уединенных волн нелинейных дифференциальных уравнений определенного типа. Изучено уравнение Бисваса-Миловича для описания распространения импульсов в оптическом волокне. Найдены первые интегралы уравнения Бисваса-Миловича в переменных бегущей волны, и получены условия существования аналитических решений уравнения Бисваса-Миловича, выраженные через экспоненциальные и рациональные функции. Получены решения в виде уединенных волн, описываемые обобщенным нелинейным уравнением Шредингера с учетом произвольного коэффициента отражения оптической среды.