КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 17-71-20158

НазваниеКвантовая адиабатичность в многочастичных системах

РуководительЛычковский Олег Валентинович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регионАвтономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сколковский институт науки и технологий», г Москва

Срок выполнения при поддержке РНФ 07.2017 - 06.2020  , продлен на 07.2020 - 06.2022. Карточка проекта продления (ссылка)

КонкурсКонкурс 2017 года по мероприятию «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-212 - Квантовые методы обработки информации

Ключевые словаквантовая адиабатичность, квантовая адиабатическая теорема, условия квантовой адиабатичности, квантовая динамика многочастичных систем, адиабатический квантовый компьютер, интегрируемые модели

Код ГРНТИ29.05.15


СтатусУспешно завершен


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Адиабатичность квантовой эволюции системы с зависящим от времени гамильтонианом - понятие, широко используемое в квантовой теории. Это понятие относится к изолированным системам, и долгое время рассматривалось в основном применительно к небольшим системам, в квантовой динамике которых было задействовано лишь несколько энергетических уровней. Однако прогресс последних двух-трех десятилетий в области нанотехнологий и, в особенности, ультрахолодных газов, привел к созданию изолированных многочастичных квантовых систем. Как следствие, стал актуальным вопрос о квантовой адиабатичности в многочастичных системах. При ближайшем рассмотрении оказывается, что квантовую адиабатичность в многочастичных системах можно определять по-разному. Определение «обычной» квантовой адиабатичности (мы ее будем называть строгой квантовой адиабатичностью, СКА) не зависит от числа частиц в системе. Эволюция системы называется строго квантово-адиабатической, когда переходы между мгновенными собственными состояниями (или, эквивалентно, уровнями энергии) не происходят. Квантовая адиабатическая теорема утверждает, что при заданной траектории в пространстве параметров гамильтониана всегда можно выбрать настолько малую скорость изменения параметров, что СКА будет иметь место. Однако в многочастичном случае оказывается, что эта скорость, как правило, убывает с увеличением размера системы и становится равной нулю в термодинамическом пределе. Таким образом, для больших систем требование СКА кажется слишком ограничительным. Другая концепция квантовой адиабатичности - термодинамическая квантовая адиабатичность (ТКА). Она относится только к многочастичным квантовым системам, для которых определен термодинамический предел. Мы говорим, что циклический процесс является термодинамически квантово-адиабатическим, когда приращение энергии на частицу за цикл является эффектом конечного размера и исчезает в термодинамическом пределе. («Цикл» здесь понимается как замкнутая траектория в пространстве параметров гамильтониана). ТКА процесс не обязательно должен быть циклическим; для краткости мы опустим более общее определение. Заметим, что согласно этому определению любой СКА-процесс является также и ТКА-процессом. Однако ТКА предъявляет гораздо менее строгие требования к квантовой эволюции по сравнению с СКА: в случае ТКА переход между близлежащими уровнями энергии разрешен, коль скоро это не приводит к увеличению удельной энергии. Разнообразие и степень управляемости изолированных многочастичных квантовых систем стремительно растет, открывая в обозримом будущем перспективу появления основанных на таких системах практически полезных квантовых устройств. В работе многих из предложенных на сегодняшний день устройств та или иная форма адиабатичности должна играть существенную (приготовление заданного квантового состояния, перенос спина или частиц) или даже ключевую (квантовые адиабатические вычисления и симуляции) роль. В связи с этим возникают вопросы: всегда ли необходима СКА, или в каких-то случаях можно обойтись менее ограничительной с практической точки зрения разновидностью адиабатичности, например ТКА? Каковы промежуточные между СКА и ТКА виды адиабатичности, соответствуют ли они физически и технологически интересным ситуациям? Каковы необходимые и достаточные условия различных разновидностей адиабатичности? Целью настоящего проекта является построение целостного и математически строгого теоретического описания квантовой адиабатичности в многочастичных системах, позволяющего ответить на эти и схожие вопросы. Следует отметить, что вопрос о том, какого рода адиабатичность действительно требуется для надлежащей работы «адиабатического» квантового устройства, является достаточно тонким. В предыдущих исследованиях мы дважды столкнулись с таким вопросом. В первом случае вопрос касался адиабатического топологического насоса, предложенного Таулессом. Это циклическое устройство, которое создает квантованный (в единицах перенесенного заряда за цикл) ток. В оригинальной статье подразумевалась СКА; в этом случае насос, несомненно, работает. Будет ли он работать, если требование об адиабатичности будет смягчено до ТКА? Мы недавно показали, что в этом случае квантование тока становится временным эффектом: оно имеет место в течение первых нескольких циклов, а затем исчезает; в итоге работа насоса в стационарном режиме оказывается невозможной. Второй пример касается адиабатических квазиблоховских осцилляций подвижной примесной частицы в одномерной квантовой жидкости. Мы установили, что для тяжелой примеси ТКА без СКА достаточно для возникновения квазиблоховских осцилляций, а для легкой примеси не обойтись без СКА; эти два режима разделены квантовым фазовым переходом, соответствующим некоторой критической массе примеси. Решение вопроса о том, какая именно «адиабатичность» нужна для функционирования того или иного квантового устройства, зачастую порождает напряженную научную дискуссию и сопровождается возникновением мнимых противоречий и парадоксов (вышеописанные примеры не стали исключением). Основная трудность состоит в наличии в задаче по крайней мере двух малых параметров - скорости изменения гамильтониана и величины 1 / N, где N - большое число частиц в системе. Соответствующие пределы могут коммутировать, а могут и нет, причем две эти возможности иногда сосуществуют в разных областях пространства параметров одной и той же модели, как, например, в упомянутом выше случае квазиблоховских осцилляций. Эта трудность делает скрупулезный математический анализ вопроса совершенно необходимым. Коллектив имеет опыт успешной совместной работы по этой и смежным темам. В частности, помимо исследований, кратко описанных выше, нами была доказана теорема, связывающая адиабатичность с катастрофой ортогональности в многочастичной системе. На основе этой теоремы было получено новое необходимое условие СКА, выгодно отличающееся от ранее известных своим поведением в термодинамическом пределе. Задел, опыт и компетенции коллектива позволяют рассчитывать на успешное достижение целей и выполнение задач проекта.

Ожидаемые результаты
1) Будет построена иерархия важных с физической точки зрения разновидностей квантовой адиабатичности, включающая, но не ограничивающаяся, СКА и ТКА. 2) Для различных разновидностей адиабатичности будут доказаны новые (необходимые и/или достаточные) условия адиабатичности и проведен их асимптотический анализ в термодинамическом пределе. В частности, будет доказано необходимое условие ТКА. 3) Будет исследована взаимосвязь между квантовой адиабатичностью и симметриями гамильтониана. В частности, будут рассмотрены гамильтонианы кубитов, обладающие Т-инвариантностью и SU(2)-инвариантностью. Будут доказаны новые (необходимые и/или достаточные) условия адиабатичности, явным образом учитывающие симметрии гамильтониана. 4) Будут найдены минимально ограничительные условия, при которых ток в адиабатическом насосе Таулесса квантуется. Аналогичный результат будет получен для спинового насоса. 5) Будут получены строгие оценки на время выполнения адиабатического квантового алгоритма оптимизации. Будет исследован адиабатический квантовый алгоритм неидеальной оптимизации. 6) Будет разработан формализм для описания ТКА эволюции систем, гамильтониан которых интегрируем в каждый фиксированный момент времени.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ


Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Доказано семейство неравенств, ограничивающих скорость квантовой эволюции. Одно из этих неравенств ограничивает сверху вероятность разрушения строгой квантовой адиабатичности (СКА) и, таким образом, представляет собой новое достаточное условие СКА. Это неравенство может быть применено на практике, когда известен вид мгновенного собственного состояния гамильтониана, то есть для гамильтонианов, интегрируемых в каждый фиксированный момент времени (при этом динамическая интегрируемость не обязательна). Другое неравенство ограничивает снизу эхо Лошмидта. Результаты представлены в статье N. Il`in, O. Lychkovskiy, Quantum speed limits for adiabatic evolution, Loschmidt echo and beyond, arXiv 1805.04083, submitted to Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. Найдено необходимое и достаточное условие строгой квантовой адиабатичности в системе, состоящей из одномерной квантовой жидкости и примесной частицы, на которую действует внешняя сила. Показано, что для сохранения адиабатичности в термодинамическом пределе сила должна убывать обратно пропорционально размеру системы. Проведен анализ условий экспериментального наблюдения динамики примеси в адиабатическом режиме, выявивший принципиальные трудности такого наблюдения. Результаты представлены в статье Oleg Lychkovskiy, Oleksandr Gamayun, Vadim Cheianov, Breakdown of adiabaticity in a driven one-dimensional impurity-fluid system, arXiv 1804.03726, submitted to Physical Review B. Получена оценка снизу времени работы адиабатического квантового алгоритма. Применение полученной оценки проиллюстрировано на примере адиабатического алгоритма Гровера. Показано, что эта оценка является асимптотически точной, в том смысле, что она воспроизводит асимптотику (в пределе большого числа кубит) известного оптимального времени работы алгоритма Гровера. Результаты представлены в статье Oleg Lychkovskiy, A necessary condition for quantum adiabaticity applied to the adiabatic Grover search, arXiv 1802.06011, submitted to Journal of Russian Laser Research. Усовершенствован вариационный метод [J. R. Hammond and D. A. Mazziotti, Phys. Rev. A 73, 062505 (2006), T. Baumgratz and M. B. Plenio, New J. Phys. 14, 023027 (2012)], позволяющий находить нижнее ограничение на энергию собственного состояния гамильтониана (в отличие от верхнего ограничения в общеизвестном вариационном методе). Усовершенствование позволяет эффективно учитывать полную группу симметрий гамильтониана. Предварительные результаты доложены на конференци XV International Conference on Quantum Optics and Quantum Information, Minsk. Работа готовится к публикации. Показано, что в линейных многочастичных устройствах квантового транспорта (насос Таулесса, спиновый насос), описываемых неинтегрируемыми гамильтонианами, на временах, пропорциональных размеру устройства, N, устанавливается квазистационарный режим. Установлено необходимое и достаточное (т.е. минимально ограничительное) условие квантования транспорта в этом режиме, оно слабее, чем строгая квантовая адиабатичность (СКА), но сильнее, чем термодинамическая квантовая адиабатичность (ТКА). Работа готовится к публикации. Предложено понятие алгоритмической квантовой адиабатичности. Эволюция системы, реализующей адиабатический алгоритм, называется алгоритмически адиабатической, если интеграл перекрытия между динамическим состоянием системы и основным состоянием в конечный момент времени убывает с количеством кубитов, N, не быстрее, чем 1/N^p для некоторого фиксированного p. Это означает, что если алгоритмически адиабатическую эволюцию можно провести за полиномиальное время, то задача может быть решена (с вероятностью, сколь угодно близкой к единице) за полиномиальное время, путем повторения алгоритма порядка N^p раз. При этом строго адиабатическая эволюция может требовать экспоненциального времени и не давать преимущества перед классическим вычислением. Мы предполагаем в дальнейшем развивать эту концепцию применительно к конкретным алгоритмам. Метод голографической дуальности (AdS/CFT-соответствие) применен для описания динамики системы сильно коррелированных электронов в двух измерениях с меняющимся во времени локальным возмущением химического потенциала. Вычислен ток, возбуждаемый таким возмущением, как функция времени. Изучен термодинамически адиабатический режим, а также разрушение адиабатичности и переход к неадиабатическому режиму. Показано, что процесс разрушения адиабатичности сопровождается возбуждением квазинормальных мод. Работа готовится к публикации.

 

Публикации

1. Ильин Н.Б., Лычковский О.В. Quantum speed limits for adiabatic evolution, Loschmidt echo and beyond Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, - (год публикации - 2018).

2. Лычковский О.В. A necessary condition for quantum adiabaticity applied to the adiabatic Grover search Journal of Russian Laser Research, - (год публикации - 2018).

3. Лычковский О.В., Гамаюн О.В., Чеянов В.В. Breakdown of adiabaticity in a driven one-dimensional impurity-fluid system Physical Review B, - (год публикации - 2018).


Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Работа была проведена по следующим направлениям. (1) Квантовая адиабатичность при конечной температуре. Понятие квантовой адиабатичности обобщено на системы при конечной температуре. Доказано достаточное условие адиабатичности для систем специального вида (с изоспектральным гамильтонианом), приготовленных в состоянии с конечной температурой. В отличие от большинства известных условий адиабатичности для чистых состояний, доказанное условие не содержит энергетической щели (разности энергий между соседними мгновенными собственными энергиями гамильтониана). Другой особенностью доказанного условия является его пропорциональность обратной температуре. Таким образом, для систем с конечным гильбертовым пространством получается правильный предел бесконечной температуры. Действительно, в этом пределе эволюция является адиабатической при сколь угодно большой скорости изменения гамильтониана, т.к. при бесконечной температуре начальная матрица плотности является единичной с точностью до нормировки, и любая унитарная эволюция не меняет этого вида. Результаты готовятся к публикации. (2) Адиабатические квантовые алгоритмы. Предложен новый класс адиабатических квантовых алгоритмов. «Обычные» квантовые алгоритмы имеют следующее свойство: гамильтониан в конечный момент времени являлся диагональным в вычислительном базисе. Из-за этого конечный гамильтониан оказывается в фазе многочастичной локализации, а это, как известно, зачастую приводит к экспоненциально большому времени адиабатического квантового вычисления. Мы показали как построить конечный гамильтониан квантового вычисления таким образом, что только основное состояние этого гамильтониана является факторизованным в вычислительном базисе (измерение этого состояния и дает ответ вычислительной задачи), а все возбужденные состояния являются запутанными. Этот способ применим для произвольного квантового вычисления; мы проиллюстрировали его для алгоритма решения булевой формулы в 3-конъюнктивной нормальной форме (3-SAT). Запутанность возбужденных состояний гамильтониана подавляет паразитные неадиабатические переходы и, таким образом, улучшает производительность алгоритма. Результаты представлены в электронном препринте O. Lychkovskiy, Non-diagonal problem Hamiltonian for adiabatic quantum computation, arXiv 1811.09453. (3) Симметрии и адиабатичность. Развит удобный метод нахождения проекторов на инвариантные подпространства гамильтонианов с симметриями. Предложен общий метод нахождения правил сумм для корреляционных функций (при нулевой и конечной температурах). Развит вариационный принцип, позволяющий ограничить энергию основного состояния квантовой системы снизу. Общие результаты проиллюстрированы на примере систем спинов 1/2 с гейзенберговским SU(2)-инвариантным взаимодействием в неоднородном магнитном поле. В частности, выведено правило сумм для таких систем, справедливое, в том числе, при наличии беспорядка. Результаты представлены в работах E. Shpagina , F. Uskov , N. Il’in , O. Lychkovskiy, Merits of using density matrices instead of wave functions in the stationary Schrodinger equation for systems with symmetries, arXiv 1812.03056, under review in European Physical Journal B. F. Uskov, O. Lychkovskiy, A variational lower bound on the ground state of a many-body system and the squaring parametrization of density matrices, arXiv 1902.09246, accepted to Journal of Physics: Conference Series. (4) Интегрируемые системы с зависящим от времени гамильтонианом. Разработан новый метод идентификации динамически интегрируемых моделей с зависящим от времени гамильтонианом и нахождения их точных решений. Под динамически интегрируемой системой понимается квантовая система с зависящим от времени гамильтонианом, обладающая двумя свойствами: (а) гамильтониан интегрируем в каждый фиксированный момент времени и (б) решения нестационарного уравнения Шредингера могут быть найдены аналитически. В исследованном классе динамически интегрируемых систем решения нестационарного уравнения Шредингера даются динамическими векторами Бете, которые имеют структуру, идентичную структуре обычных (статических) векторов Бете, однако их параметры (корни Бете) зависят от времени. Зависящие от времени корни Бете подчиняются динамическим уравнениям Бете. Данные уравнения представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве примера применения метода была изучена динамика димера Бозе-Хаббарда с гамильтонианом, зависящим от времени. Если от времени зависит только разность энергий потенциальных ям в димере, то динамические уравнения Бете могут быть записаны в компактной и удобной форме. Эти уравнения изучены, дана интерпретация их решений на языке элементарных возбуждений. Результаты представлены в препринте Igor Ermakov, Tim Byrnes, Time dynamics of Bethe ansatz solvable models, arXiv 1905.03515.

 

Публикации

1. Усков Ф.Г., Лычковский О.В. A variational lower bound on the ground state of a many-body system and the squaring parametrization of density matrices Journal of Physics: Conference Series, - (год публикации - 2019).


Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В отчетном периоде были получены следующие основные результаты. (1) Доказана адиабатическая теорема для систем при конечной температуре, а точнее - достаточное условие адиабатичности при конечной температуре. При этом гамильтониан не обязательно должен быть изоспектральным (доказанная на предыдущем этапе адиабатическая теорема для изоспектрального гамильтониана следует как частный случай). Теорема применена для модели, описывающей квантовый магнитный сенсор, обносимый вокруг тонкого проводника. Сенсор взаимодействует с магнитным полем, возникающем из-за движения электронов в проводнике. Рассмотрены интегрируемый и не вполне интегрируемый варианты модели. Определены условия адиабатичности для этой модели при конечной температуре. Размер системы (количество электронов) не входит в это условие адиабатичности, т.е. адиабатичность при конечной температуре возможна в термодинамическом пределе. Результаты представлены в работе N. Il’in, A. Aristova, O. Lychkovskiy, Adiabatic theorem for closed quantum systems initialized at finite temperature, arXiv 2002.02947 (2) Проведено численное исследование энтропии запутанности собственных состояний гамильтониана предложенного на предыдущем этапе нового адиабатического алгоритма. Показано, что энтропия сравнима с энтропией хорошо изученной квантово-эргодической неинтегрируемой модели Изинга. Сделан вывод о возможности провести адиабатическое квантовое вычисление по предложенному алгоритму полностью вне фазы многочастичной локализации, что позволит избежать экспоненциального замедления работы алгоритма. Проведенные исследования отражены в существенно переработанной второй версии arXiv 1811.09453: O. Lychkovskiy, Entangling problem Hamiltonian for adiabatic quantum computation, arXiv 1811.09453v2 (3) Доказано ограничение на скорость квантовой эволюции для систем, приготовленных в тепловых состояниях. Показано, что для многочастичных систем это условие дает гораздо лучшие оценки, чем известные неравенства Мандельштама-Тамма и Марголуса-Левитина. Результаты представлены в препринте О. Lychkovskiy, Quantum speed limit for a thermal state after a quench, arXiv 2005.06416

 

Публикации

1. Ермаков И.В., Бирнс Т. Time dynamics of Bethe ansatz solvable models Physical Review B, 101, 054305 (год публикации - 2020).

2. Ильин Н.Б, Аристова А.В., Лычковский О.В. Adiabatic theorem for closed quantum systems initialized at finite temperature arXiv, 2002.02947 (год публикации - 2020).

3. Ильин Н.Б., Лычковский О.В. Quantum Speed Limits For Adiabatic Evolution, Loschmidt Echo and Beyond International Journal of Theoretical Physics, - (год публикации - 2020).

4. Крикун А.А. Relaxation regimes of the holographic electrons at charge neutrality after a local quench of chemical potential Journal of High Energy Physics, - (год публикации - 2020).

5. Лычковский О.В. Entangling problem Hamiltonian for adiabatic quantum computation arXiv, 1811.09453 (год публикации - 2020).

6. Лычковский О.В. Quantum speed limit for a thermal state after a quench arXiv, 2005.06416 (год публикации - 2020).

7. Усков Ф.Г., Лычковский О.В. A variational lower bound on the ground state of a many-body system and the squaring parametrization of density matrices Journal of Physics: Conference Series, 1163, 012057 (год публикации - 2019).

8. Шпагина Е.В., Усков Ф.Г., Ильин Н.Б., Лычковский О.В. Merits of using density matrices instead of wave functions in the stationary Schrodinger equation for systems with symmetries Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 53, 075301 (год публикации - 2020).


Возможность практического использования результатов
не указано