Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Доказано семейство неравенств, ограничивающих скорость квантовой эволюции. Одно из этих неравенств ограничивает сверху вероятность разрушения строгой квантовой адиабатичности (СКА) и, таким образом, представляет собой новое достаточное условие СКА. Это неравенство может быть применено на практике, когда известен вид мгновенного собственного состояния гамильтониана, то есть для гамильтонианов, интегрируемых в каждый фиксированный момент времени (при этом динамическая интегрируемость не обязательна). Другое неравенство ограничивает снизу эхо Лошмидта. Результаты представлены в статье N. Il`in, O. Lychkovskiy, Quantum speed limits for adiabatic evolution, Loschmidt echo and beyond, arXiv 1805.04083, submitted to Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. Найдено необходимое и достаточное условие строгой квантовой адиабатичности в системе, состоящей из одномерной квантовой жидкости и примесной частицы, на которую действует внешняя сила. Показано, что для сохранения адиабатичности в термодинамическом пределе сила должна убывать обратно пропорционально размеру системы. Проведен анализ условий экспериментального наблюдения динамики примеси в адиабатическом режиме, выявивший принципиальные трудности такого наблюдения. Результаты представлены в статье Oleg Lychkovskiy, Oleksandr Gamayun, Vadim Cheianov, Breakdown of adiabaticity in a driven one-dimensional impurity-fluid system, arXiv 1804.03726, submitted to Physical Review B. Получена оценка снизу времени работы адиабатического квантового алгоритма. Применение полученной оценки проиллюстрировано на примере адиабатического алгоритма Гровера. Показано, что эта оценка является асимптотически точной, в том смысле, что она воспроизводит асимптотику (в пределе большого числа кубит) известного оптимального времени работы алгоритма Гровера. Результаты представлены в статье Oleg Lychkovskiy, A necessary condition for quantum adiabaticity applied to the adiabatic Grover search, arXiv 1802.06011, submitted to Journal of Russian Laser Research. Усовершенствован вариационный метод [J. R. Hammond and D. A. Mazziotti, Phys. Rev. A 73, 062505 (2006), T. Baumgratz and M. B. Plenio, New J. Phys. 14, 023027 (2012)], позволяющий находить нижнее ограничение на энергию собственного состояния гамильтониана (в отличие от верхнего ограничения в общеизвестном вариационном методе). Усовершенствование позволяет эффективно учитывать полную группу симметрий гамильтониана. Предварительные результаты доложены на конференци XV International Conference on Quantum Optics and Quantum Information, Minsk. Работа готовится к публикации. Показано, что в линейных многочастичных устройствах квантового транспорта (насос Таулесса, спиновый насос), описываемых неинтегрируемыми гамильтонианами, на временах, пропорциональных размеру устройства, N, устанавливается квазистационарный режим. Установлено необходимое и достаточное (т.е. минимально ограничительное) условие квантования транспорта в этом режиме, оно слабее, чем строгая квантовая адиабатичность (СКА), но сильнее, чем термодинамическая квантовая адиабатичность (ТКА). Работа готовится к публикации. Предложено понятие алгоритмической квантовой адиабатичности. Эволюция системы, реализующей адиабатический алгоритм, называется алгоритмически адиабатической, если интеграл перекрытия между динамическим состоянием системы и основным состоянием в конечный момент времени убывает с количеством кубитов, N, не быстрее, чем 1/N^p для некоторого фиксированного p. Это означает, что если алгоритмически адиабатическую эволюцию можно провести за полиномиальное время, то задача может быть решена (с вероятностью, сколь угодно близкой к единице) за полиномиальное время, путем повторения алгоритма порядка N^p раз. При этом строго адиабатическая эволюция может требовать экспоненциального времени и не давать преимущества перед классическим вычислением. Мы предполагаем в дальнейшем развивать эту концепцию применительно к конкретным алгоритмам. Метод голографической дуальности (AdS/CFT-соответствие) применен для описания динамики системы сильно коррелированных электронов в двух измерениях с меняющимся во времени локальным возмущением химического потенциала. Вычислен ток, возбуждаемый таким возмущением, как функция времени. Изучен термодинамически адиабатический режим, а также разрушение адиабатичности и переход к неадиабатическому режиму. Показано, что процесс разрушения адиабатичности сопровождается возбуждением квазинормальных мод. Работа готовится к публикации.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Работа была проведена по следующим направлениям. (1) Квантовая адиабатичность при конечной температуре. Понятие квантовой адиабатичности обобщено на системы при конечной температуре. Доказано достаточное условие адиабатичности для систем специального вида (с изоспектральным гамильтонианом), приготовленных в состоянии с конечной температурой. В отличие от большинства известных условий адиабатичности для чистых состояний, доказанное условие не содержит энергетической щели (разности энергий между соседними мгновенными собственными энергиями гамильтониана). Другой особенностью доказанного условия является его пропорциональность обратной температуре. Таким образом, для систем с конечным гильбертовым пространством получается правильный предел бесконечной температуры. Действительно, в этом пределе эволюция является адиабатической при сколь угодно большой скорости изменения гамильтониана, т.к. при бесконечной температуре начальная матрица плотности является единичной с точностью до нормировки, и любая унитарная эволюция не меняет этого вида. Результаты готовятся к публикации. (2) Адиабатические квантовые алгоритмы. Предложен новый класс адиабатических квантовых алгоритмов. «Обычные» квантовые алгоритмы имеют следующее свойство: гамильтониан в конечный момент времени являлся диагональным в вычислительном базисе. Из-за этого конечный гамильтониан оказывается в фазе многочастичной локализации, а это, как известно, зачастую приводит к экспоненциально большому времени адиабатического квантового вычисления. Мы показали как построить конечный гамильтониан квантового вычисления таким образом, что только основное состояние этого гамильтониана является факторизованным в вычислительном базисе (измерение этого состояния и дает ответ вычислительной задачи), а все возбужденные состояния являются запутанными. Этот способ применим для произвольного квантового вычисления; мы проиллюстрировали его для алгоритма решения булевой формулы в 3-конъюнктивной нормальной форме (3-SAT). Запутанность возбужденных состояний гамильтониана подавляет паразитные неадиабатические переходы и, таким образом, улучшает производительность алгоритма. Результаты представлены в электронном препринте O. Lychkovskiy, Non-diagonal problem Hamiltonian for adiabatic quantum computation, arXiv 1811.09453. (3) Симметрии и адиабатичность. Развит удобный метод нахождения проекторов на инвариантные подпространства гамильтонианов с симметриями. Предложен общий метод нахождения правил сумм для корреляционных функций (при нулевой и конечной температурах). Развит вариационный принцип, позволяющий ограничить энергию основного состояния квантовой системы снизу. Общие результаты проиллюстрированы на примере систем спинов 1/2 с гейзенберговским SU(2)-инвариантным взаимодействием в неоднородном магнитном поле. В частности, выведено правило сумм для таких систем, справедливое, в том числе, при наличии беспорядка. Результаты представлены в работах E. Shpagina , F. Uskov , N. Il’in , O. Lychkovskiy, Merits of using density matrices instead of wave functions in the stationary Schrodinger equation for systems with symmetries, arXiv 1812.03056, under review in European Physical Journal B. F. Uskov, O. Lychkovskiy, A variational lower bound on the ground state of a many-body system and the squaring parametrization of density matrices, arXiv 1902.09246, accepted to Journal of Physics: Conference Series. (4) Интегрируемые системы с зависящим от времени гамильтонианом. Разработан новый метод идентификации динамически интегрируемых моделей с зависящим от времени гамильтонианом и нахождения их точных решений. Под динамически интегрируемой системой понимается квантовая система с зависящим от времени гамильтонианом, обладающая двумя свойствами: (а) гамильтониан интегрируем в каждый фиксированный момент времени и (б) решения нестационарного уравнения Шредингера могут быть найдены аналитически. В исследованном классе динамически интегрируемых систем решения нестационарного уравнения Шредингера даются динамическими векторами Бете, которые имеют структуру, идентичную структуре обычных (статических) векторов Бете, однако их параметры (корни Бете) зависят от времени. Зависящие от времени корни Бете подчиняются динамическим уравнениям Бете. Данные уравнения представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве примера применения метода была изучена динамика димера Бозе-Хаббарда с гамильтонианом, зависящим от времени. Если от времени зависит только разность энергий потенциальных ям в димере, то динамические уравнения Бете могут быть записаны в компактной и удобной форме. Эти уравнения изучены, дана интерпретация их решений на языке элементарных возбуждений. Результаты представлены в препринте Igor Ermakov, Tim Byrnes, Time dynamics of Bethe ansatz solvable models, arXiv 1905.03515.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В отчетном периоде были получены следующие основные результаты. (1) Доказана адиабатическая теорема для систем при конечной температуре, а точнее - достаточное условие адиабатичности при конечной температуре. При этом гамильтониан не обязательно должен быть изоспектральным (доказанная на предыдущем этапе адиабатическая теорема для изоспектрального гамильтониана следует как частный случай). Теорема применена для модели, описывающей квантовый магнитный сенсор, обносимый вокруг тонкого проводника. Сенсор взаимодействует с магнитным полем, возникающем из-за движения электронов в проводнике. Рассмотрены интегрируемый и не вполне интегрируемый варианты модели. Определены условия адиабатичности для этой модели при конечной температуре. Размер системы (количество электронов) не входит в это условие адиабатичности, т.е. адиабатичность при конечной температуре возможна в термодинамическом пределе. Результаты представлены в работе N. Il’in, A. Aristova, O. Lychkovskiy, Adiabatic theorem for closed quantum systems initialized at finite temperature, arXiv 2002.02947 (2) Проведено численное исследование энтропии запутанности собственных состояний гамильтониана предложенного на предыдущем этапе нового адиабатического алгоритма. Показано, что энтропия сравнима с энтропией хорошо изученной квантово-эргодической неинтегрируемой модели Изинга. Сделан вывод о возможности провести адиабатическое квантовое вычисление по предложенному алгоритму полностью вне фазы многочастичной локализации, что позволит избежать экспоненциального замедления работы алгоритма. Проведенные исследования отражены в существенно переработанной второй версии arXiv 1811.09453: O. Lychkovskiy, Entangling problem Hamiltonian for adiabatic quantum computation, arXiv 1811.09453v2 (3) Доказано ограничение на скорость квантовой эволюции для систем, приготовленных в тепловых состояниях. Показано, что для многочастичных систем это условие дает гораздо лучшие оценки, чем известные неравенства Мандельштама-Тамма и Марголуса-Левитина. Результаты представлены в препринте О. Lychkovskiy, Quantum speed limit for a thermal state after a quench, arXiv 2005.06416