КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 17-11-01052

НазваниеНестационарность и фрактальность динамики в эволюции сложных систем: приложения к физике Земли и Солнца

РуководительШаповал Александр Борисович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регионфедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Годы выполнения при поддержке РНФ 2017 - 2019  , продлен на 2020 - 2021. Карточка проекта продления (ссылка)

КонкурсКонкурс 2017 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-218 - Математическое моделирование физических явлений

Ключевые словаСолнечное динамо, солнечный цикл; авторегрессионные процессы; зависимые обновления; масштабная инвариантность; гипотеза Синая-Фриша; уравнение Бюргреса без вязкости; дробное Броуновское движение; регулярные точки Лагранжа, модель Курамото взаимодействия осцилляторов; меридиональная циркуляция

Код ГРНТИ27.35.63


СтатусУспешно завершен


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
В рамках данного проекта мы разрабатываем математические модели физических процессов и явлений, неоднородных по пространству и нестационарных во времени. Для построения таких моделей мы используем современные математические методы обработки данных и комбинируем их с теоретическими знаниями о фундаментальных свойствах сложных систем. Мы применяем построенные модели к анализу солнечной активности. В последнее время моделирование солнечного динамо и исследование свойств солнечной активности стало одним из ведущих направлений солнечной физики. Солнечная активность является одним из известнейших природных примеров малоразмерного хаоса и нестационарной динамики. В последнее время интерес к особенностям солнечной эволюции усилился в связи с необходимостью учитывать солнечное воздействие при создании моделей, связанных с экономической деятельностью человека, например, при моделировании климатических явлений, экологических изменений, или возможности использования Солнца в качестве источника экологически чистой энергии. Несмотря на значительные успехи в построении физических моделей солнечной активности, базирующихся на классических уравнениях магнитного гидродинамо, понимание сложных механизмов солнечного динамо все еще весьма очень ограничено. Одним из ярких свидетельств неполноты и противоречивости знаний о процессах внутри Солнца явился огромный разброс в прогнозах нынешнего солнечного цикла, в которых прогнозируемая активность в максимуме у разных прогнозов могла отличаться в 4 раза. Другим подобным свидетельством явилось противоречие между профилем движений в приповерхностном слое, полученным гелиосейсмологами, и тем профилем, который предполагался в упрощенных низко-размерных моделях солнечного динамо. Эти примеры показывают, что Солнце является сложной системой, в которой пространственная неоднородность нелинейно связана с нестационарностью поведения во времени. Математическое моделирование предлагаемое в рамках данного проекта представляет новые возможности для понимания солнечного динамо, обобщая задачу и выходя за рамки конкретной физической системы . Данный проект объединяет три направления в моделировании сложных систем: исследования автокорреляционных свойств временных рядов в применении к солнечной активности, теоретические исследования фрактальных свойств сложных систем, и исследования фазовой синхронизации и связи между нестационарностью во времени и пространственной неоднородностью в применении к солнечному динамо и солнечно-земным связям. В рамках первого направления мы сосредоточимся на построении модели сигнала - наблюдаемых временных рядов, являющимися индикаторами солнечной активности. Имея упрощённую модель сигнала, нам удалось ранее оценить увеличение продолжительности жизни солнечных пятен при увеличении солнечной активности в 1940х годах и выдвинуть гипотезу о положительной корреляции рождаемости солнечных пятен во времена последнего Большого Максимума. При построении новой модели мы представим солнечную активность как совместное действие двух факторов: интенсивности рождаемости солнечных пятен и продолжительности их жизни - и найдём взаимосвязь между ними. Модель будет основана на авторегрессионном процессе первого порядка с модулированным шумом и зависимыми обновлениями. Наша задача заключается в определении зависимости обновлений и модуляции, адекватном наблюдениям. Второе направление связано с развитием математический аппарата, позволяющего оценивать фрактальность в физических процессах. Я. Синай и У. Фриш в 1992 инициировали проблему описания фрактальной / мультифрактальной природы распределения частиц по пространству, динамика которых описывается одномерным уравнением Бюргерса без вязкости (многомерный случай предлагался Зельдовичем для моделирования фрактальной геометрии Вселенной). Гипотеза о дробной размерности положения частиц относилась к специальным случайным начальным данным и породила большой поток физических и математических исследований. Инструментом для решения физической задачи Синая-Фриша, является изучение важной инженерной проблемы об асимптотике вероятности выживания, т.е. вероятности пребывания случайным процессом ниже фиксированного уровня в большом пространственном объеме. В этой связи будут рассмотрены процессы немарковского типа, позволяющие решить проблему Синая-Фриша. Выбор примеров диктуется интересами общей теории, активно развиваемой сегодня в теории вероятностей . В рамках третьего направления мы предполагаем построить модель нелинейных связанных осцилляторов, типа модели Курамото, для описания роли меридионального потока в солнечном динамо и явлений синхронизации в нестационарности солнечной активности. Решение обратной задачи в построенной модели позволит восстановить свойства меридионального потока, недоступные прямым измерениям и сравнить их с оценками, полученными в других физических моделях. Первые наши результаты применения модели Курамото нелинейных осцилляторов к солнечному динамо позволили установить связь между проявлениями нерегулярности солнечной активности во времени (появлениями аномальных периодов и изменением длины солнечного цикла) и коэффициентом связи между солнечными осцилляторами. В этом проекте мы собираемся исследовать фазовую синхронизацию и ее взаимосвязь с критическими явлениями во временной эволюции с особенностями пространственной неоднородности.

Ожидаемые результаты
Мы намерены получить результаты по трём основным направлениям. А. Мы построим модель наблюдаемых индексов солнечной активности. Модель основана на авторегрессионных процессах первого порядка с модулированных шумом. Основной результат здесь заключается в выборе адекватной модуляции, которая выражается случайными процессами с зависимыми обновлениями. При построении модели мы представим солнечную активность как совместное действие двух факторов: интенсивности рождаемости солнечных пятен и продолжительности их жизни  и найдём взаимосвязь между ними. Будет также проверена гипотеза о масштабной инвариантности распределения групп солнечных пятен в области малых и средних групп. Обосновав масштабную инвариантность малых и средних групп, мы расширим область приложений теории самоорганизованной критичности и покажем, что физические механизмы, лежащие в основе самоорганизованной критичности, должны быть приняты во внимание при построении полной теории солнечного динамо. Устанавливая свойства солнечных индексов, аномальные с точки зрения полной теории солнечного динамо, и объясняя их с помощью модели наблюдаемых сигналов, мы намерены сузить выбор адекватной физической модели. Предложенные в проекте модели солнечной активности имеют самостоятельный интерес, поскольку позволяют решать задачи восстановления данных и прогноза солнечной активности, которые, в свою очередь важны в контексте влияния Солнца на климат на Земле и "пространственную погоду" (space weather). Б. Будут исследованы фрактальные свойства решений одномерного уравнения Бюргерса без вязкости. В частности, мы предполагаем доказать гипотезу Синая-Фриша от 1992г о дробной размерности регулярных точек Лагранжа (эти точки описывают положения частиц, не испытавших столкновений до фиксированного момента времени). Гипотеза относится к специальному выбору начальных скоростей частиц в виде случайного процесса с сильной корреляцией. В связи с этим будут исследованы асимптотики вероятностей « выживания» (persistence probability), т.е. вероятностей непревышения фиксированного уровня случайными процессами в больших пространственных областях. Будут рассмотрены процессы немарковского типа, что важно для создания общей persistence probability теории, активно развиваемой сегодня в теории вероятностей. История проблемы Синая-Фриша говорит о сложности задачи, о необходимости поиска новых подходов к важной инженерной проблеме анализа вероятностей выживания. В. Мы адаптируем Курамотовскую модель фазовой синхронизации нелинейных связанных осцилляторов для описания динамики солнечных индексов, отражающих компоненты магнитного поля Солнца. В рамках этой модели мы установим связь между свойствами меридионального потока (асимметрией, локальной неоднородностью, пространственной геометрией циркуляционных ячеек, силой взаимодействия и т.п.) и нерегулярным поведением солнечной активности во времени (аномальные периоды, смена режима, изменение длины солнечного цикла, рассогласование индексов и т.п.). Отдельные модели будут построены для описания взаимодействия компонент поля в одной полусфере, для описания взаимодействия приэкваториальной области в двух полусферах, и для описания всего Солнца. Мы оценим параметры меридионального потока через решение обратной задачи и сравним результаты с последними гелиосейсмологическими реконструкциями и другими современными моделями солнечного динамо. Наши результаты сделают вклад в решение вопроса о роли меридионального потока в солнечном динамо и позволят правильно интерпретировать последние данные гелиосейсмологии о современном профиле движений в приповерхностном слое Солнца по отношению к долговременным тенденциям и глубинной геометрии.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ


Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Построена модель Курамото с тремя осцилляторами и постоянной симметричной связью для описания синхронизации циркуляционных ячеек меридионального потока в северной и южной полусферах Солнца. Посредством решения обратной задачи в модели Курамото восстановлена эволюция естественных частот вращения ячеек меридионального потока с 1912 по 2007 годы, определены периоды нерегулярности и сценарии развития аномалий во взаимодействии северной и южной солнечных полусфер. Решена проблема Синая-Фриша от 1992 г. о фрактальной размерности регулярных точек Лагранжа в решениях уравнения Бюргерса с дробным Броуновским движением (H-FBM) в качестве начальных данных. Найдена степенная асимптотика для вероятности того, что первообразная от H-FBM , не превысит фиксированный уровень в двусторонне растущем интервале времени. Этот результат важен для прогресса теории ‘вероятностей выживания’ (persistence/survival probability) процессов немарковского типа. Выполнен анализ существующих данных дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) об уровне моря. Предложены адаптированные методы для обработки данных ДЗЗ об уровне моря на глобальных сетках. Выполнено экспериментальное сравнение разработанных распределенных методов с единственной на сегодняшний день свободно доступной распределенной СУБД SciDB для обработки растровых данных. Эксперименты выполнялись в облаке Microsoft Azure на кластерах из 8 и 16 машин. Предложенные методы быстрее SciDB до 70 раз.

 

Публикации

1. Молчан Г.М. The Inviscid Burgers Equation with Fractional Brownian Initial Data: The Dimension of Regular Lagrangian Points Journal of Statistical Physics, 167, 1546 (год публикации - 2017).

2. Родригес Залепинос Р.А. Array DBMS in environmental science: Satellite sea surface height data in the cloud IEEE, P. 1062-1065 (год публикации - 2017).


Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Мы установили, что распределение групп солнечных пятен по их размеру обладает масштабной инвариантностью. Диапазон масштабной инвариантности начинается с малых групп и заканчивается на аномально больших группах, размер которых соответствует супергранулам. Мы полагаем, что масштабная инвариантность является следствием медленного процесса объединения магнитных трубок, лежащего в основе образования пятен и быстрой конвективной диффузии, которая пятна разрушает. Известные к настоящему времени модели самоорганизованной критичности не воспроизводят наблюдаемое распределение с основной частью вида 1/x и последующим резким загибом вниз.

 

Публикации

1. Блантер Е. М., Ле Мюел Ж.-Л., Шнирман М. Г., Куртиё В. Long Term Evolution of Solar Meridional Circulation and Phase Synchronization Viewed Through a Symmetrical Kuramoto Model Solar Physics, Том: 293, выпуск: 10, номер статьи: 134. (год публикации - 2018).

2. Молчан Г.М. Persistence Exponents for Gaussian Random Fields of Fractional Brownian Motion Type Journal of Statistical Physics, 173,1587–1597 (год публикации - 2018).

3. Родригес Залепинос Р.А. Generic Distributed In Situ Aggregation for Earth Remote Sensing Imagery Lecture Notes in Computer Science, - (год публикации - 2018).

4. Шаповал А.Б., Ле Мюел Ж.-Л., Шнирман М. Г., Куртиё В. Observational evidence in favor of scale-free evolution of sunspot groups Astronomy & Astrophysics, Том: 618, номер статьи: A183 (год публикации - 2018).


Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Недавние успешные приложения модели Курамото к широкому спектру наблюдаемых процессов основаны на восстановлении параметров этих процессов по наблюдениям. Мы исследуем возможности устойчивого восстановления естественных частот в зависимости от связи между осцилляторами, а также возможности восстановлении самой связи в моделях Курамото с малым количеством осцилляторов. Результаты, полученные при математическом моделировании, применяются к солнечным наблюдениям и используются для построения физических моделей солнечного динамо. Модель с двумя осцилляторами. Мы исследуем обратную задачу для модели Курамото с двумя нелинейными осцилляторами, связь между которыми представлена в форме кусочно-постоянной функции, синусоидальной волны или авторегрессионного процесса. Предполагая либо редкое мгновенное, либо постоянное медленное изменение связи, мы оцениваем эффективность восстановления этой связи и время, необходимое системе для возвращения в квазистационарное состояние, как функцию возмущения системы. Развитая теория модели Курамото с медленно меняющейся связью применяется к исследованию временных рядов, которые представляют солнечные факелы. Мы связываем нарушение синхронизации в этих рядах данных, которое имело место в 1960х годах с изменением связи между осцилляторами, «ответственных» за динамику солнечных факелов. Модели с тремя осцилляторами. Мы исследовали две модификации модели Курамото с тремя нелинейными осцилляторами, в которых связь двух крайних осцилляторов осуществляется через средний: модель с задержкой и модель с несимметрией связей среднего осциллятора. Мы установили, что в широкой области значений параметров связи (задержки) существует устойчивое восстановление естественных частот крайних осцилляторов по их фазовой эволюции, в условиях синхронизации. В модели с задержкой в широкой области значений связи и задержки реализуется устойчивый порядок естественных частот, соответствующий последним наблюдениям гелиосейсмологии. В модели с несимметрией связи среднего осциллятора устойчивый порядок частот возникает только в узкой области значений параметров связи, характеризующейся их сильной несимметрией. В модели с несимметрией связи среднего осциллятора восстановление связи по фазам крайних осцилляторов при известных естественных частотах в условиях синхронизации однозначно в случае известной величины несимметрии связи. Однозначно определить величину несимметрии связи удается только в случае относительно слабой суммарной связи и в условиях невырожденности естественных частот. В зависимости от интерпретации наблюдений гелиосейсмологии, скорости циркуляционных ячеек меридионального потока относятся или к случаю общего положения, позволяющему восстановление связи, или к особому случаю, в котором такое восстановление принципиально неоднозначно.

 

Публикации

1. - Ледниковый период придет через 15 лет gazeta.ru, Zharkova, V.V., Shepherd, S.J., Zharkov, S.I. et al. Oscillations of the baseline of solar magnetic field and solar irradiance on a millennial timescale. Sci Rep 9, 9197 (2019) doi:10.1038/s41598-019-45584-3 (год публикации - ).

2. Блантер Е.М., Елаева М.С., Шнирман М.Г. Синхронизация и несимметрия в модели Курамото из трех неидентичных осцилляторов: особенности моделирования меридионального потока Солнца Компьютерные исследования и моделирование, - (год публикации - 2020).

3. Жаркова В.В., Шепхерд С.Ж., Жарков С.И., Попова Е. Oscillations of the baseline of solar magnetic field and solar irradiance on a millennial timescale Nature. Scientific Reports, Т.9,9197 (год публикации - 2019).

4. Родригес Залепинос Р. А. Evaluating Array DBMS Compression Techniques for Big Environmental Datasets IEEE, - (год публикации - 2019).

5. Савостьянов А.С., Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. The inverse problem for the Kuramoto model of two nonlinear coupled oscillators driven by applications to solar activity Physica D, - (год публикации - 2020).


Возможность практического использования результатов
Разрабатываемая в проекте теория прогнозируемости самоорганизованных критических систем расширяет представление о границах предсказуемости экстремальных событий и позволяет тестировать построенные алгоритмы прогноза. Полученные результаты позволяют надеяться на возможность построения эффективного долговременного предвестника аномалий солнечной активности, но в то же время свидетельствуют о сложности моделирования солнечного меридионального потока и требуют дополнительных исследований мериодинального потока и солнечной активности, которые позволили бы оценить эволюцию связи между циркуляционными ячейками. Полученные результаты представляют собой научный задел для создания эффективной комплексной модели солнечного воздействия на гелиосферу и геомагнитные возмущения, представляющей большое значение для своевременного прогноза возможных нарушений в работе спутниковых систем и обеспечения необходимой защиты и оповещения.