Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Основными целями первого этапа проекта было проектирование, изготовление и тестирование элементарных ячеек квантового метаматериала – сверхпроводящих мета-атомов, а также создание и измерение небольших массивов мета-атомов, включающих в себя до 20 кубитов. Мы рассматриваем два основных типа кубитов: потоковый кубит с джозефсоновской индуктивностью и трансмон. Используя архитектуру квантовой электродинамики в электрических цепях, мы связываем кубиты с копланарными резонаторами и передающими линиями, изготовленными на одной микросхеме с кубитами. Первым шагом было проектирование и создание одиночных кубитов сильно связанных с микроволновыми резонаторами и передающими линиями. В отличие от обычных ёмкостей, индуктивностей и передающих линий, которые входят в состав наших микросхем, джозефсоновские переходы, используемые в сверхпроводящих кубитах, слишком малы и не могут быть выполнены стандартным методом оптической фотолитографии. Для изготовления этих элементов мы использовали метод электронной литографии и теневого напыления Al-AlOx-Al-структур. Ключевым параметром, который был оптимизирован в процессе изготовления, была воспроизводимость критических токов джозефсоновских переходов на одном чипе. Вариации в критических токах в различных кубитах напрямую приводят к разбросу резонансных частот переходов 0->1 в кубитах. Этот разброс ухудшает когерентность отклика метаматериала, состоящего из таких кубитов. Для уменьшения негативного влияния вариаций критических токов переходов мы, с одной стороны, оптимизируем параметры кубита таким образом, чтобы его чувствительность к таким вариациям была минимальна, и, с другой стороны, пытаемся сделать более воспроизводимым и точным процесс изготовления. Помимо использования стандартных кубитов-трансмонов, нами был разработан несколько видоизмененный потоковый кубит («зеркальный» потоковый кубит, состоящий из двух сверхпроводящих колец), имеющий относительно слабую зависимость энергии фундаментального перехода от внешнего поля вблизи экстремума. Эксперименты с этими кубитами будут продолжены в течение второго года проекта. Когерентные свойства сверхпроводящей цепи зависят не только от джозефсоновских переходов, но и от линейных элементов схемы – ёмкостей и передающих линий. Ключевым параметром, характеризующим процесс изготовления таких структур, является собственная добротность изготовленных резонаторов, Qi. Мы реализовали два основных технологических процесса для исследуемых нами сверхпроводниковых микросхем: 1) фотолитография для резонаторов и передающих линий, и электронная литография для джозефсоновских переходов (выполненная в сотрудничестве с МФТИ и лабораторией Российского квантового центра в Черноголовке) и 2) напыление ниобия или нитрида ниобия, фотолитография, травление (выполненные целиком в МИСиС) с последующими электронной литографией и теневым напылением алюминия (вместе с МФТИ и лабораторией РКЦ в Черноголовке). Обе эти технологии были оптимизированы для получения высоких значений добротностей резонаторов. Измерения добротностей резонаторов были произведены в однофотонном режиме при температурах ниже 40 мК, что необходимо для исключения влияния тепловых шумов на результаты измерений. Полученные значения добротностей резонаторов составили величины порядка Q~20.000-30.000 для единого цикла теневого напыления образцов резонаторов с кубитами, Q~50.000-10.0000 для единого цикла теневого напыления образцов резонаторов без кубитов и Q~100.000-300.000 для однослойных структур ниобиевых резонаторов без кубитов. Процесс изготовления кубитов на микросхемах с ниобиевыми резонаторами на данный момент находится в отладке. Мы планируем совместно использовать технологическую инфраструктуру МИСиС, МФТИ и лабораторию РКЦ в Черноголовке на следующих этапах проекта. Первой исследованной нами физической системой с массивов кубитов стала одна мода электромагнитного поля (реализованная в виде копланарного резонатора), связанная с массивом из 20 кубитов-трансмонов. Микросхема была изготовлена в Технологическом институте Карлсруэ (Германия). Микроволновая спектроскопия, выполненная в МИСиС, показала, что разброс максимальных значений частот кубитов на этом образце составил 2 ГГц, при этом 80% из частот находились в интервале 1 ГГц. Следует отметить, что при измерении не были наблюдены вариации положения экстремума частоты кубитов и нарушения периодичности отклика по внешнему потоку. Это позволяет кубитам одновременно работать на одинаковой частоте, без необходимости использования индивидуальных контрольных линий. Хотя разброс максимальных частот отдельных кубитов сильно превзошёл величину константы связи g~20 MHz, нам удалось обнаружить интересующие нас кластерные состояния, т.е. коллективные когерентные возбуждения нескольких кубитов массива, которые связаны с фундаментальной модой резонатора. Результаты этого исследования приняты к публикации в журнале Письма в ЖЭТФ. Предварительные результаты измерений кубитов, изготовленных в сотрудничестве с МФТИ и лабораторией РКЦ в Черноголовке показали лучшие результаты по разбросу частот кубитов. На тестовом образце с отдельными кубитами, связанными с резонаторами, 80% кубитов имели частоту в интервале 600 МГц. В дальнейшем мы планируем модифицировать наши схемы увеличивая константу взаимодействия кубитов с резонатором и переходом от встречно-штыревых конденсаторов к объёмным структурам, которые характеризуются меньшей плотностью энергии электрического поля на границе раздела подложка-вакуум, что может позволить улучшить когерентность таких структур. Мы также провели теоретические исследования возможности подавления эффектов, связанных с вариацией параметров кубитов внутри массива методом модуляции микроволнового излучения, приложенного к образцу. Симуляция динамики системы в формализме матрицы плотности с использованием управляющего уравнения (master equation) показали, что такая компенсация возможна и ограничена лишь декогеренцией отдельных кубитов. Во время этого исследования мы обнаружили, что приближение среднего поля неверно в случае сильных возбуждающих полей из-за квантовых корреляций между состояниями кубитов и электромагнитным полем. Мы показали, что исключение моды резонатора из многочастичной матрицы плотности методом и введение феноменологических постоянных распада и дефазировки даёт другие результаты, нежели более точная симуляция, включающая степени свободы, связанные с электромагнитным полем, в матрицу плотности. Этот результат был опубликован в журнале Письма в ЖЭТФ. Для интерпретации результатов экспериментальных исследований мы разработали подход к расчёту энергетического спектра и динамики массива кубитов с помощью анзаца Бете для неоднородной модели Дике. Данный метод является обобщением известного подхода к решению уравнений Бете для спиновых моделей типа модели Годена. Показано, что, используя электростатическую аналогию, можно перейти от уравнений Бете на плоскости комплексных энергий к эффективному описанию, в котором фигурируют всего два параметра - щель в спектре возбуждений системы и химический потенциал. Щель отделяет основное состояние такой когерентной системы от хаотического квазинепрерывного спектра, обусловленного разбросом в частотах кубитов. Открытие щели сигнализирует о реализации коллективного поведения в системе кубитов и фотонов. Величина щели зависит от числа возбуждений в системе, выступающего в роли квантового числа. Щель и химический потенциал находятся из системы связанных уравнений. В работе найдены лидирующие поправки по обратному числу кубитов в системе к энергии основного состояния и щели в спектре возбуждений. Эти результаты планируется использовать для описания относительно небольших ансамблей кубитов, определения критериев применимости метода среднего поля для данной задачи и исследования размытия коллективных состояний квантовыми флуктуациями. Для еще меньших ансамблей перспективно также прямое численное решение уравнений Бете, что технически является куда менее затратной задачей, чем непосредственная диагонализация, если количество возбуждений в системе не слишком велико. Для динамики систем "кубит-резонатор" в условиях сильной параметрической накачки выявлена сильная зависимость эффекта параметрического возбуждения кубита и числа фотонов от частоты накачки. Предсказано значительное усиление обоих эффектов при частотах накачки, совпадающих с рабиевскими частотами.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Второй год проекта был посвящён разработке и тестированию квантовых метаматериалов, состоящих из сверхпроводниковых кубитов, связанных с одной бозонной модой или с передающей линией, демонстрирующих поведение, характерное для больших систем. Для исследования таких систем были развиты аналитические и измерительные методы. Наиболее яркий результат второго года проекта состоит в том, что мы создали и протестировали цепочку из 15 «зеркальных» потоковых кубитов, встроенных в микроволновую передающую линию. Таким образом была реализована квантовая среда с управляемыми в широком частотном диапазоне электромагнитными характеристиками. Важным свойством «зеркального» потокового кубита является наличие управляемого магнитным полем перехода между различными основными состояниями кубита, 0 и π. Этот переход сопровождается сильным изменением коэффициента прохождения микроволнового излучения в широком частотном диапазоне. В узком частотном диапазоне мы обнаружили сильное резонансное увеличение коэффициента прохождения микроволнового сигнала. Управление такой резонансной прозрачностью осуществляется посредством внешнего магнитного поля. Эти результаты находятся в количественном соответствии с теоретической моделью. Результаты исследования приняты к публикации в журнале Nature Communications. Все измерения, представленные в работе, были выполнены в нашей лаборатории "Сверхпроводящие метаматериалы" в НИТУ "МИСиС" (г. Москва). Вторым важным результатом проекта является то, что система, состоящая из массива кубитов, связанных с модой резонатора, была модифицирована с целью улучшения когерентности одиночных кубитов и создания дополнительных индивидуальных контрольных линий. Характерной особенностью этой системы является наличие двух различных режимов: режима локализованных возбуждений, в котором расстройка различных кубитов сильно превышает силу взаимодействия между ними, и кубиты не обмениваются энергией, и режима коллективных возбуждений, в котором все кубиты быстро обмениваются энергией. Улучшение когерентности системы из многих кубитов достигается с помощью использования планарной технологии с двумя слоями металлизации. Крупномасштабные структуры формируются при помощи оптической литографии, в то время как наноразмерные джозефсоновские переходы кубитов формируются с помощью электронно-лучевой литографии. Осаждение двух слоёв алюминия со слоем оксида алюминия между ними, необходимого для джозефсоновских переходов, осуществляется посредством теневого напыления. В течение второго года проекта нам удалось, в сотрудничестве с РКЦ и МГТУ им. Баумана, наладить изготовление кубитов с временами когерентности масштаба микросекунд, что является достаточным для запланированных на третий год проекта экспериментов с массивами кубитов. Непростой проблемой, характерной именно для метаматериалов, являются вариации частот кубитов. В отличие от естественных структур, где резонансные частоты системы зависят в первую очередь лишь от фундаментальных констант, частоты переходов сверхпроводниковых кубитов зависят от геометрических размеров структур и управляющих магнитных полей. Мы опробовали два решения проблемы устранения неоднородностей магнитного поля, которые неизбежны при использовании сверхпроводящих структур из-за эффекта фокусировки. Для метаметариала на основе «зеркальных» потоковых кубитов основная часть микросхемы была изготовлена из нормального металла (золота), что позволило устранить этот эффект. Основным недостатком такого решения является ухудшение когерентных свойств кубитов, связанное с резистивными потерями высокочастотных токов. Альтернативный подход заключается в использовании индивидуальных контрольных линий для задания магнитного поля каждому кубиту. Трудность этого подхода заключается в необходимости компенсации паразитных взаимных индуктивностей между линиями. Для линий постоянного тока такая компенсация основана на итерационном измерении и уточнении матрицы взаимной индуктивности. Индивидуальный потоковый контроль и компенсация индуктивной связи была продемонстрирована на схеме с двумя связанными кубитами. Для массива кубитов, связанного с резонатором, были проведены следующие улучшения дизайна экспериментальных образцов. С помощью оптимизации геометрии ёмкостных элементов была улучшена когерентность. Встречно-штыревые конденсаторы были заменены на Н-образные структуры. Индивидуальное управление частотой кубитов реализовано с помощью отдельных потоковых линий. Для реализации быстрой перестройки частоты резонатора, в его цепь добавлен СКВИД; с помощью спектроскопии с временным разрешением продемонстрирована работоспособность системы и возможность быстрой перестройки частоты. Такая перестройка позволяет быстро менять безразмерный параметр Δ/g, который характеризует степень беспорядка в системе и определяет глобальное состояние системы. Измеренные времена когерентности индивидуальных кубитов составили T1 ~ 3 мкс и T2 ~ 5 мкс, что превышает другие характерные времена процессов в данной системе. Кроме того, теоретически исследованы эффекты сильного поля в ансамбле взаимодействующих кубитов со случайным разбросом энергий. С помощью специально подобранной накачки с постоянной амплитудой и периодическими переключениями фазы можно добиться эффективного подавления эффектов неоднородного уширения в ансамбле кубитов. Частота накачки должна быть равна усредненной частоте кубитов по ансамблю. Период переключения фазы подобран так, что накачка действует как непрерывная последовательность π-импульсов для кубита с усредненной частотой. Для периодического во времени гамильтониана системы вычислены квазиэнергии. Вычислены характеристики многочастичных – эхо Лошмидта и динамика амплитуды поляризации начального антиферромагнитного состояния. Включение накачки приводит к многочастичному эффекту синхронизации неупорядоченных кубитов. Динамика волновых функций в этом случае соответствует делокализованной системе, в которой беспорядок в энергиях кубитов эффективно подавлен. Предложенная модель может быть реализована в сверхпроводящих квантовых метаматериалах. Неизбежный разброс в частотах кубитов всегда присутствует и является ограничивающим фактором для квантовых вычислений. Можно ожидать, что рассмотренный динамический эффект позволит построить технику подавления негативных эффектов подобного разброса параметров. Разработан метод описания квантового метаматериала с помощью формализма Бете. В пределе большого числа кубитов, взаимодействующих с резонатором, получены решения уравнений Бете, а также вычислены поправки по обратному числу кубитов в системе. Вычисления проведены для равномерного распределения частот кубитов в некоторой полосе. Выявлено существование весьма богатой фазовой диаграммы системы, которая включает в себя квантовые переходы между разными фазами. Исследовано поведение квантовых флуктуаций в окрестностях этих точек. Результаты по решению уравнений Бете в пределе большого числа частиц применены к исследованию динамики разупорядоченного по частотам квантового метаматериала. Показано, что при поглощении квантов излучения метаматериалом имеет место переход от синхронизованной к хаотической динамике кубитов по мере увеличения их общего числа.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Третий и финальный этап экспериментальной части проекта был посвящен детальному исследованию массивов кубитов. С этой целью проводилась работа по двум основным направлениям: (1) реализация индивидуального управления частотами кубитов с помощью индивидуальных линий смещения (2) реализация быстрой модуляции глобальных параметров системы. Эти работы направлены на демонстрацию динамики квантового фазового перехода в больших системах. Мы изготовили и изучили многокубитные массивы, связанные с резонатором, имеющие две разные топологии: с перестраиваемым резонатором и 24-мя индивидуально перестраиваемыми кубитами, и с резонатором с фиксированной частотой, соединенным с 8-ю индивидуально перестраиваемыми кубитами. Полностью перестраиваемая топология показал себя не слишком хорошо. И резонатор, и кубиты имеют перестройку по частоте, однако использование СКВИДа в качестве элемента для перестройки резонатора приводит к сильной нелинейности, что ограничивает разрешение переходов кубитов при двухтоновой спектроскопии на фоне паразитного рассеяния микроволновых фотонов. Из-за этих трудностей мы вернулись к системам с меньшим числом кубитов, сохраняющих всё ещё коллективное поведение. 8-кубитный чип был изготовлен в сотрудничестве с KIT. Он появился как развитие топологии 20-кубитного чипа, который был изучен в первый год проекта. Основная цель создания этого образца состояла в том, чтобы наглядно продемонстрировать появление яркого состояния и увеличение эффективной связи с резонатором при подстройке кубитов в коллективную моду. Быстрая манипуляция кубитами рассматривалась отдельно в тестовой микросхеме, в который присутствовало всего 2 кубита, каждый со своей линией контроля. Управление частотой отдельных кубитов требует компенсации перекрестных связей между контрольными линиями разных кубитов. Проблема компенсации перекрестных связей масштабируется как квадрат числа контрольных линий. Для решения этой проблемы была разработана и протестирована на 8-кубитной образце автоматическая процедура настройки, основанная на однотоновой спектроскопии. Эта процедура применялась последовательно ко всем кубитам, начиная с одного кубита и заканчивая N = 6 кубитами. Мы экспериментально наблюдали корневую (√N) зависимость силы связи коллективной моды кубитов с резонатором при увеличении N. Быстрое управление было реализовано для микросхемы с двумя кубитами, связанными через перестраиваемый резонатор. Мы использовали схему измерений, основанную на осцилляциях Рамзея, чтобы продемонстрировать быструю перестройку силы связи кубитов через резонатор в дисперсионном режиме. Из-за ограниченной когерентности кубитов вне оптимально рабочей точки, настройка кубитов непосредственно в резонансе друг с другом приводит к сильной дефазировке. Чтобы преодолеть эту трудность, мы использовали параметрическую схему связи. В этой схеме частота резонатора модулируется разностью частот двух состояний многокубитной системы, что приводит к переносу возбуждения между уровнями. Кроме того, мы реализовали частотное мультиплексирование для микроволновых сигналов, возбуждающих переходы в многокубитной схеме, которое было протестировано с 8-ю различными переходами. Не смотря на то что быстрое глобальное управление и индивидуальный контроль постоянным током были отдельно продемонстрированы, их одновременная реализация пока не принесла успехов. Основными причинами этого являлись: (а) ограниченная когерентность кубитов, вызванная несовершенством технологического процесса, (б) различие критических плотностей тока джозефсоновских контактов для перестройки резонатора и для кубитов, что усложнило процесс изготовления и привело к плохой воспроизводимости. Обе проблемы носят технический характер и могут быть решены, однако, это потребует дополнительного времени и усилий. Увеличив количество кубитов, мы исследовали массив из 80 кубитов-трансмонов, встроенных в открытую микроволновую линию. Преимущество открытой линии состоит в том, что длина массива кубитов не ограничена характеристической длиной волны на частоте основной моды резонатора, что позволяет разместить большое количество кубитов, взаимодействующих с распространяющимся микроволновым полем. Наблюдавшееся подавление коэффициента прохождения охватывало широкий частотный диапазон, что указывает на коллективное взаимодействие кубитов с распространяющейся волной. Наблюдалось также ожидаемое насыщение за счет двухуровневой динамики участвующих кубитов. Предварительные исследования распространения микроволновых импульсов показали отклик в виде биений на нескольких частотах. В теоретической части проекта был рассмотрен квантовый метаматериал в условиях параметрической модуляции через константу взаимодействия между кубитной подсистемой и фотонной модой. Было показано, что такая параметрическая накачка позволяет стимулировать процессы с переменным числом возбуждений. Максимальный эффект достигается, если константа взаимодействия варьируется с частотой, вдвое превышающей среднюю частоту возбуждения кубитов. За счет подстройки амплитуды двух первых гармоник накачки можно добиться реализации необычных динамических режимов, в которых конечная скорость диссипации энергии в одной из подсистем способствует существованию квантовых явлений в другой подсистеме. Например, диссипация энергии в кубитах позволяет сохранять ненулевое значение среднего числа фотонов в резонаторе с потерями даже в стационарном состоянии. Наши результаты открывают возможность управления разнообразными характеристиками квантовых метаматериалов.