Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Наш проект направлен на разработку быстрых адаптивных методов топологической оптимизации на основе метода граничных элементов. В рамках работ по проекту был разработан быстрый гранично-элементный код, обеспечивающий численное решение гранично-интегрального уравнения для смещений на основе тождества Сомильяны. Код использует метод коллокаций для аппроксимации неизвестных функций на поверхности элементов. Быстрое решение гранично-интегрального уравнения достигается засчет применения пакета h2tools. В основе - идея аппроксимации матриц влияния блочно-малоранговыми матрицами. Такая аппроксимация строится путем выбора из кластера удаленных поверхностных элементов нескольких базисных, и представлении результирующего влияния кластера как линейной комбинации базисных. В результате аппроксимации удается получить компактное представление для матриц влияния – H2-факторизацию. Располагая H2 факторизацией матриц влияния, можно вычислять произведение матрицы влияния на вектор с линейной сложностью. Соответствующая процедура передается солверу (GMRES) и используется для итеративного решения итоговой системы линейных уравнений. На основе разработанного быстрого гранично-элементного солвера был разработан оригинальный алгоритм адаптивной топологической оптимизации. Алгоритм основан на быстром вычислении поля чувствительности данного домена к удалению материала - поля топологической производной - на адаптивной сетке, с последующим удалением материала в областях с малой топологической производной. Сначала топологические производные вычисляются в точках на равномерной грубой сетке, каждой точке сопоставляется один бит маски, в зависимости от того, больше или меньше найденное значение, чем пороговое, соответствующее эквипотенциали, по уровню которой будет удаляться материал. Затем строится 8-дерево для каждой ячейки, у которой есть ближайшие соседи со значением маски, отличным от их собственного. Эта процедура повторяется итеративно для заданного количества уровней 8-деревьев. В результате такой адаптивной процедуры удается точно реконструировать эквипотенциаль чувствительности материала домена к удалению, и удалить обьемную область ниже этой эквипотенциали. После удаления материала формируется новая граница домена, после чего процедура повторяется итеративно. Был разработан метод быстрого пересчета топологической производной в данной точке домена. Идея состоит в представлении топологической производной в точке как скалярного произведения решения на границе и некоего вектора коэффициентов, которые не зависят от решения, а только от геометрии проблемы. Вычисление этих коэффициентов составляет основную вычислительную сложность при расчете топологической производной. При относительно небольших изменениях границы домена может быть реализован метод, при котором необходимо пересчитывать коэффициенты, ассоциированные лишь с новыми граничными элементами, в то время как коэффициенты, ассоциированные с элементами, оставшимися неизменными, и коэффициенты, соответствующие удаленным элементам уже известны. Подобный метод быстрого пересчета сочетается с методом Барнса-Хата или быстрым мультипольным методом для вычисления полей в дальней зоне. Описанные алгоритмы были реализован в программном пакете и испытаны на ряде тестовых задач поиска оптимальных топологий. Таким образом, в рамках выполнения проекта был разработан оригинальный быстрый гранично-элементный решатель для задач линейной упругости, и на его основе разработаны оригинальные методы адаптивной топологической оптимизации. Всего за отчетный период были опубликованы 2 статьи в рецензируемых журналах, а также представлены 2 доклада на международных конференциях.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
В рамках второго года проекта был разработан универсальный и высокопроизводительный комплекс программного обеспечения для топологической оптимизации на основе метода граничных элементов и ядерно-независимого быстрого мультипольного метода, не имеющий аналогов в мире. Комплекс состоит из исключительно быстрого и параллелизованного решателя для задач упругости при помощи метода граничных элементов, оптимизатора и развитой периферии, включающей системы ввода-вывода, визуализации и интерфейса взаимодействия с устройствами 3D печати. Полученный комплекс демонстрирует исключительно высокое пространственное разрешение, а также очень высокую ( в некоторых задачах - рекордную ) скорость нахождения оптимального решения. Комплекс обеспечивает полный цикл создания прототипа оптимальной детали или микроструктуры, начиная с постановки задачи оптимизации и заканчивая твердым прототипом, воссозданным в металле или пластике при помощи устройств 3D печати. Комплекс предназначен для поиска формы и топологии упругого домена, которые, при заданном ограничении на объем домена, экстремизируют некоторый целевой функционал. Комплекс использует гранично-интегральную формулировку задачи упругости. Быстрое решение задачи упругости на поверхности домена достигается при помощи дискретизации граничного уравнения по методу коллокаций и решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений при помощи алгоритма GMRES. Для ускорения возникающих в процессе итеративного решения системы матрично-векторных произведений, а также для быстрого вычисления полей внутри домена, используется массивно параллелизованная версия ядерно-независимого быстрого мультипольного метода. Процесс оптимизации состоит в последовательном удалении материала в областях, где удаление приводит к относительно малому изменению целевого функционала. В качестве меры чувствительности изучаемого функционала к удалению материала в данной точке внутри домена используется топологическая производная - предельное изменение функционала при введении бесконечно малой сферической полости, нормированное на объем полости. Новая поверхность оптимизируемой структуры извлекается как поверхность уровня топологической производной, вычисляемой на основе поля напряжений в точках внутри домена. Для качественного представления поверхности треугольными граничными элементами используется метод дуальных марширующих кубов. Разработанный комплекс программого обеспечения демонстрирует исключительно высокие пространственное разрешение и производительность. В отдельных задачах получена производительность, существенно превосходящая лучшие показатели систем оптимизации на основе метода конечных элементов. Метод позволяет изучать инженерные структуры или периодические ячейки метаматериалов на пространственной сетке до 300 х 300 х 300 ячеек, что соответствует десяткам миллионов объемных и поверхностных степеней свободы. Было показано, что метод эффективно параллелизуем вплоть до 128 ядер. В рамках работ по проекту был разработан оригинальный метод регуляризации оптимизируемого функционала апостериорной оценкой ошибки дискретизации. Полученный метод представляет собой альтернативный подход к преодолению трудностей решения задач оптимизации на основе численных методов, использующих объемную дискретизацию. Метод демонстрирует высокую эффективность в сочетании с методами конечного элемента.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
В рамках третьего года проекта была завершена разработка программного комплекса для эффективного дизайна инженерных структур, изделий и метаматериалов. Комплекс разработанного программного обеспечения включил в себя не только изначально планировавшиеся системы топологической оптимизации на основе интегральных формулировок упругости и различные модификации быстрых параллельных решателей на основе H2 матриц и ядерно-независимого быстрого мультипольного метода, но и ряд дополнительных инструментов -- топологическую оптимизацию на конечно-элементной сетке с апостериорной коррекцией ошибки вычисления функционала, инструменты ускорения топологической оптимизации при помощи нейронных сетей. Полученный набор алгоритмов позволяет изучать разнообразные задачи топологической оптимизации с высоким пространственным разрешением, имеющие десятки миллионов поверхностных и объемных степеней свободы. В рамках заключительной фазы проекта разработанные ранее алгоритмы для топологической оптимизации инженерных структур, сооружений и метаматериалов были применены к ряду прикладных задач. В процессе применения удалось не только решить ряд технических задач по улучшению работы нашего комплекса программного обеспечения, но и получить значительные фундаментальные результаты. Наиболее важной решенной в 2017 году задачей стала задача конструирования микроструктуры композита, позволяющая получать практически любые упругие свойства гомогенизированного материала в известных теоретических границах (границах Хашина-Штрикмана). Этот результат представляет фундаментальую научную ценность: была показана оптимальность правой границы, и возможная неоптимальность левой границы Хашина-Штрикмана для двумерных изотропных периодических композитов. Кроме того, результат важен также в практическом плане - для любых изотропных упругих свойств экстремального композита в очень широких границах, приближающихся к границам Хашина-Штрикмана, теперь известна периодическая микроструктура, реализующая их после осреднения. Полученные микроструктуры являются практически осуществимыми - они не создают высоких концентраций напряжений и пригодны для аддитивной сборки. Другим важнейшим результатом заключительно года проекта стало развитие идеи описания процессов естественной эрозии геологических формаций как оптимизации формы. Было показано, что при ряде естественных предположений, равномерная ветровая эрозия песчаника или другого сходного геоматериала может быть интерпретирована как оптимизация формы при помощи алгоритма последовательного удаления "неэффективного" материала, известного в теории топологической оптимизации как "эволюционная структурная оптимизация" Было показано, что при некоторых условиях ветровая эрозия способна минимизировать запасенную упругую энергию в массе геоматериала. Наконец, была продемонстрирована применимость нашего программного обеспечения для топологической оптимизации биодеградируемых имплантантов для поддержки сложного перелома.